Lost
Siete dispersi all'interno di una foresta circolare di raggio 10 km. Scegliendo una direzione a caso quale probabilità avrete di uscire dalla foresta percorrendo una distanza minore di 10 km?
P.s. Consirerate distribuzioni uniformi.
P.s. Consirerate distribuzioni uniformi.
Risposte
$1/2+(sin^(-1)(d/20))/(2pi)$ dove d è la distanza tra posizione iniziale e il centro della foresta
Devi considerare anche d come variabile aleatoria a distribuzione uniforme.
non sono molto sicuro ma se è uniforme allora ogni distanza da centrro è equiprobabile, quindi il risultato dovrebbe essere:
$(int_0^10(1/2+(sin^(-1)(d/20))/(2pi))dd)/10$ che è una media integrale della distribuzione p(d)
$(int_0^10(1/2+(sin^(-1)(d/20))/(2pi))dd)/10$ che è una media integrale della distribuzione p(d)
"GuillaumedeL'Hopital":
non sono molto sicuro ma se è uniforme allora ogni distanza da centrro è equiprobabile,
...
Ogni distanza dal centro non è equiprobabile in quanto la distribuzione uniforme si riferisce ad una superficie.
Ti conviene inoltre, per semplicità, porre r = 1.
"MaMo":
[quote="GuillaumedeL'Hopital"]non sono molto sicuro ma se è uniforme allora ogni distanza da centrro è equiprobabile,
...
Ogni distanza dal centro non è equiprobabile in quanto la distribuzione uniforme si riferisce ad una superficie.
Ti conviene inoltre, per semplicità, porre r = 1.[/quote]
r cosa il raggio?
cmq il risultato diventa seguendo la distribuzione p(d)=d/50 p(x<10)=$(int_0^10d/50(1/2+(sin^(-1)(d/20))/(2pi))dd)/10$
Sì, il raggio. La probabilità, in questo caso, è infatti indipendente dal raggio.
Il tuo ultimo risultato numericamente corrisponde ad una percentuale di circa il 5,5% che è molto bassa.
P.s. Io ho ottenuto un risultato numerico di 60,9% del quale però non sono completamente sicuro.
Il tuo ultimo risultato numericamente corrisponde ad una percentuale di circa il 5,5% che è molto bassa.
P.s. Io ho ottenuto un risultato numerico di 60,9% del quale però non sono completamente sicuro.
proviamo a mettere r=1 p(x<1)=$int_0^1(2d(1/2+(sin^(-1)(d/2))/(pi)))dd$ dovrebbe essere più accettabile, perchè prima avevo diviso per 10 portandomi dietro la media integrale fatta in precedenza
quanto fa quella roba che ho scritto?
"GuillaumedeL'Hopital":
quanto fa quella roba che ho scritto?
Quella "roba che hai scritto" fa precisamente:
$1/3+sqrt3/(2*pi)=60,9%$
Non ho fatto calcoli...
ma siamo sicuri che la probabilità condizionata $P(X<=1|d)=1/2+sin^(-1)d/2$ sia esatta?
Se la distanza dal centro è 0 $P(X<=1|d=0)=1$, mentre con la precedente formula viene $1/2$.
Ma forse non ho capito qualcosa...
ma siamo sicuri che la probabilità condizionata $P(X<=1|d)=1/2+sin^(-1)d/2$ sia esatta?
Se la distanza dal centro è 0 $P(X<=1|d=0)=1$, mentre con la precedente formula viene $1/2$.
Ma forse non ho capito qualcosa...
"Piera":
Non ho fatto calcoli...
ma siamo sicuri che la probabilità condizionata $P(X<=1|d)=1/2+sin^(-1)d/2$ sia esatta?
Se la distanza dal centro è 0 $P(X<=1|d=0)=1$, mentre con la precedente formula viene $1/2$.
Ma forse non ho capito qualcosa...
il testo dice di calcolare la probabilità che d sia minore di 10, non uguale a 10, quindi p(x<1|d=0)=0 e non 1, inoltre la formula vale solo per $dne0$ non ho specificato l'insieme di definizione pechè mi era sembrato banale
ok...
Freezer è destinato a perdere contro Goku!!!!
Freezer è destinato a perdere contro Goku!!!!
Seconda puntata: determinare il valore medio della distanza percorsa.
L'idea è quella di determinare la distribuzione condizionata $X|D$, cioè la distribuzione della distanza percorsa $X$ data la distanza $D$ dal centro della foresta. Una volta trovata, il valore atteso $E(X)$ può essere ottenuto dalla formula:
$E(X)=E(E(X|D))$.
Salvo errori, la distribuzione condizionata è
$P(X<=t|D=d)=0$ se $t<1-d$,
$P(X<=t|D=d)=1/2+(sin^(-1)((t^2+d^2-1)/(2dt)))/pi$ se $1-d<=t
A questo punto mi sono fermato perchè vengono dei calcoli brutti.
Comunque, la strada da seguire è questa:
con la distribuzione trovata determino $E(X|D=d)$, l'integrale, anche se brutto, credo si possa calcolare, poi si calcola, forse in maniera approssimata, $E(X)=int_0^1E(X|D=d)*2d*d(d).
$E(X)=E(E(X|D))$.
Salvo errori, la distribuzione condizionata è
$P(X<=t|D=d)=0$ se $t<1-d$,
$P(X<=t|D=d)=1/2+(sin^(-1)((t^2+d^2-1)/(2dt)))/pi$ se $1-d<=t
A questo punto mi sono fermato perchè vengono dei calcoli brutti.
Comunque, la strada da seguire è questa:
con la distribuzione trovata determino $E(X|D=d)$, l'integrale, anche se brutto, credo si possa calcolare, poi si calcola, forse in maniera approssimata, $E(X)=int_0^1E(X|D=d)*2d*d(d).
Adesso, con più calma, ho dato un'occhiata all'integrale per determinare $E(X|D)$. Ho paura che non si possa calcolare esplicitamente. A questo punto il mio procedimento va a farsi benedire.
Sinceramente, non mi vengono in mente altre strade per calcolare il valore atteso.
Sinceramente, non mi vengono in mente altre strade per calcolare il valore atteso.
"Piera":
Adesso, con più calma, ho dato un'occhiata all'integrale per determinare $E(X|D)$. Ho paura che non si possa calcolare esplicitamente. A questo punto il mio procedimento va a farsi benedire.
Sinceramente, non mi vengono in mente altre strade per calcolare il valore atteso.
Il mio ragionamento, della cui correttezza non sono affatto certo, è stato questo:
Ho calcolato la lunghezza del percorso in funzione della distanza x dal centro e dell'angolo $theta$ che essa forma con la retta che unisce il centro del cerchio e il punto di partenza. Essa è:
$sqrt(1-x^2sin^2theta)-xcostheta$
L'integrale diventa:
$2/pi int_0^pi int_0^1 x(sqrt(1-x^2sin^2theta)-xcostheta)dx d theta$
Il risultato di questo integrale è $8/(3pi)=0,8488$ per cui la distanza media percorsa diventa di 8,488 km.
Secondo me è giusta!
Anche se non ho capito perchè non fai variare l'angolo tra 0 e $2pi$.
Ho capito: immagino per motivi di simmetria.
Anche se non ho capito perchè non fai variare l'angolo tra 0 e $2pi$.
Ho capito: immagino per motivi di simmetria.
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