L'insalata

[Arebati]

Buonasera
sperando di postare le informazioni correttamente vorrei un aiuto per risolvere il seguente quesito, proposto a ragazzi di 3a media in occasione delle semifinali della Coppa Ruffini, gara di giochi matematici organizzata dall'Università di Modena e Reggio Emilia

Ecco il testo:
L’orto di Pietro ha la forma del triangolo ABC in figura: la sua area misura 192 m2. Pietro ha suddiviso il lato AB in due parti uguali, il lato BC in quattro parti uguali e il lato AC in tre parti uguali. Utilizzando alcuni dei punti di suddivisione, ha isolato così la porzione triangolare PQR, quella ombreggiata in figura, che ha coltivato a insalata: ogni metro quadrato di quella porzione gli fornirà un chilo e mezzo di insalata. Quanti chili di insalata potrà ricavare Pietro?



Soluzione: 84 Kg (fornita dall'Università, SENZA però fornire la traccia della risoluzione)

Ringrazio chi mi volesse dare uno spunto per la risoluzione, ricordando appunto che si deve far riferimento a competenze di ragazzi di 3a media.

[axpgn]

Mi pare che utilizzi il teorema di Talete (o qualcosa del genere) che forse è più conosciuto come due "due rette che tagliano un fascio di rette parallele", sfruttando la proporzionalità che si genera ...
Prendi per esempio il triangolino $BRP$, la base $BP$ di questo è un quarto della base del triangolo grande $ABC$ (per costruzione) mentre l'altezza è la metà (per via del teorema precedente); in questo modo si trova che l'area del triangolino è un ottavo dell'area grande e così via per gli altri due; poi ovviamente la sottrai da quella grande e trovi quanto vale il "verde" ... ed è fatta.

Cordialmente, Alex

[Arebati]

Grazie mille!!! Veloce ed esaustivo.
Ho risolto...non pensavo a Talete perchè non sempre viene sviluppato in 3a media..e forse me lo ero anche dimenticato..

[axpgn]

Oppure con i criteri di similitudine dei triangoli (che mi pare si facciano alla fine della terza media) i quali però discendono ancora da Talete ...
In tal caso se tracci le altezze da $A$ e $R$ su $BC$ ottieni due triangoli simili $ABH_1$ e $RBH_2$ (rettangoli e con l'angolo in $B$ comune), perciò i lati sono proporzionali e sapendo che $BR$ è la metà di $BA$ allora anche l'altezza $RH_2$ è la metà di $AH_1$ ...

Cordialmente, Alex