L'extraterrestre
La ragione fondamentale per cui l'umanità ha sviluppato un sistema di numerazione decimale risiede nel fatto che l'uomo ha dieci dita. Un celebre matematico affermò che se per ipotesi l'uomo avesse avuto due moncherini al posto delle mani, probabilmente avrebbe trovato naturale adottare il sistema di numerazione binario.
Supponiamo ora che una sonda interplanetaria automatizzata venga catturata da un disco volante e che gli extraterrestri, ispezionandola, trovino in essa un foglietto di appunti (dimenticata da uno scienziato prima del suo lancio nello spazio) su cui è scritta l'equazione:
$x^2-16x+41=0$
Gli extraterrestri, mattacchioni, decidono di mettere alla prova l'intelligenza umana e rispediscono la sonda sulla Terra lasciando in essa un foglietto in cui è scritto che la differenza fra le radici del l'equazione è $10$.
Essi forniscono anche l'indicazione che da $0$ a $6$ la loro scrittura coincide con la nosta.
Quante sono le loro dita?
Supponiamo ora che una sonda interplanetaria automatizzata venga catturata da un disco volante e che gli extraterrestri, ispezionandola, trovino in essa un foglietto di appunti (dimenticata da uno scienziato prima del suo lancio nello spazio) su cui è scritta l'equazione:
$x^2-16x+41=0$
Gli extraterrestri, mattacchioni, decidono di mettere alla prova l'intelligenza umana e rispediscono la sonda sulla Terra lasciando in essa un foglietto in cui è scritto che la differenza fra le radici del l'equazione è $10$.
Essi forniscono anche l'indicazione che da $0$ a $6$ la loro scrittura coincide con la nosta.
Quante sono le loro dita?
Risposte
Sia $b$ la base. Allora l'equazione si può scrivere come
$x^2-bx-6x+4b+1$
Questa deve essere uguale a
$(x-c)(x-b-c)$, perché la differenza delle radici è $10$, ossia $b$
A questo punto sviluppando i calcoli si ottiene
$x^2-bx-6x+4b+1=(x-c)(x-b-c)$
$x^2-bx-6x+4b+1=x^2-bx-2cx+bc+c^2$
$-6x+4b+1=-2cx+bc+c^2$
e quindi confrontando i termini con la $x$ e quelli senza si ottiene:
$c=3$ e $b=8$
e quindi loro hanno $16$ dita, in quanto hanno anche i piedi, che suppongo per semplicità avere lo stesso numero di dita delle mani. Come vedi sono anch'io un po' mattacchione!
$x^2-bx-6x+4b+1$
Questa deve essere uguale a
$(x-c)(x-b-c)$, perché la differenza delle radici è $10$, ossia $b$
A questo punto sviluppando i calcoli si ottiene
$x^2-bx-6x+4b+1=(x-c)(x-b-c)$
$x^2-bx-6x+4b+1=x^2-bx-2cx+bc+c^2$
$-6x+4b+1=-2cx+bc+c^2$
e quindi confrontando i termini con la $x$ e quelli senza si ottiene:
$c=3$ e $b=8$
e quindi loro hanno $16$ dita, in quanto hanno anche i piedi, che suppongo per semplicità avere lo stesso numero di dita delle mani. Come vedi sono anch'io un po' mattacchione!
Ottimo! Posto anche la mia soluzione. Se ce ne fossero altre, ben vengano.
[ot]Mettiamoci nei panni dell'extraterrestre e risolviamo l'equazione usando una generica base $k$.
Si avrà $x=(16+-sqrt(16^2-4*41))/2$.
La differenza delle radici é $x_2-x_1=(16+sqrt(16^2-4*41))/2 - (16-sqrt(16^2-4*41))/2->sqrt(16^2-4*41)=10 -> 16^2-4*41= 10^2$
Ora trasformiamo i numeri sviluppandoli in forma polinomiale in base $k$: $(1*k+6)-4(4*k+1)= k^2$. Rimane una semplicissima equazione di primo grado che risolta fornisce $k=8$; quindi il loro sistema di numerazione é ottale.[/ot]
[ot]Mettiamoci nei panni dell'extraterrestre e risolviamo l'equazione usando una generica base $k$.
Si avrà $x=(16+-sqrt(16^2-4*41))/2$.
La differenza delle radici é $x_2-x_1=(16+sqrt(16^2-4*41))/2 - (16-sqrt(16^2-4*41))/2->sqrt(16^2-4*41)=10 -> 16^2-4*41= 10^2$
Ora trasformiamo i numeri sviluppandoli in forma polinomiale in base $k$: $(1*k+6)-4(4*k+1)= k^2$. Rimane una semplicissima equazione di primo grado che risolta fornisce $k=8$; quindi il loro sistema di numerazione é ottale.[/ot]
Avevo risolto così:
dette $x_1$, $x_2$ le soluzioni,
si sa che, nel sistema di numerazione alieno con base $b$:
$x_1+x_2=16$
$x_1-x_2=10$
ossia:
$x_1+x_2=b+6$
$x_1-x_2=b$
soluzione del sistema:
$x_1=b+3$
$x_2=3$
vale anche:
$x_1*x_2=4b+1$
$x_1*x_2=3b+9$
quindi:
$4b+1=3b+9$
$b=8$
ma è una soluzione simile alla precedente
dette $x_1$, $x_2$ le soluzioni,
si sa che, nel sistema di numerazione alieno con base $b$:
$x_1+x_2=16$
$x_1-x_2=10$
ossia:
$x_1+x_2=b+6$
$x_1-x_2=b$
soluzione del sistema:
$x_1=b+3$
$x_2=3$
vale anche:
$x_1*x_2=4b+1$
$x_1*x_2=3b+9$
quindi:
$4b+1=3b+9$
$b=8$
ma è una soluzione simile alla precedente
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