L'età di Maria

[axpgn]

La somma delle età di Anna e Maria è pari a $44$ anni.
Maria ha il doppio dell'età che aveva Anna quando Maria aveva la metà dell'età che avrà Anna quando quest'ultima avrà tre volte l'età che aveva Maria quando Maria aveva il triplo dell'età di Anna.
Qual è l'età di Maria?

Cordialmente, Alex

[Sk_Anonymous]

Ecco il mio tentativo di risoluzione del quesito...
Per prima cosa sappiamo che "La somma delle età di Anna e Maria è pari a 44 anni", perciò:
$A = \text{età di Anna nel presente}$
$M = \text{età di Maria nel presente}$

$A + M = 44$

È importante notare che questa è la somma delle età delle due ragazze nel presente, perché poi nel problema verranno fatti dei "salti temporali" nel passato e nel futuro
Poi dividiamo in quattro parti il testo del problema e iniziamo a risolverlo "dal basso":

1. "quando Maria aveva il triplo dell'età di Anna"
2. "quando quest'ultima (Anna) avrà tre volte l'età che aveva Maria"
3. "quando Maria aveva la metà dell'età che avrà Anna"
4. "Maria ha il doppio dell'età che aveva Anna"

Dalla riga numero 1 veniamo a sapere che, in un certo momento del passato, Maria aveva il triplo dell'età di Anna:
$X = \text{età di Anna in un certo momento del passato}$
$Y = \text{età di Maria in un certo momento del passato}$

$Y = 3 \cdot X$

Inoltre, sempre grazie a questa frase, possiamo dedurre la differenza di età tra Maria e Anna (che è costante):
$D = \text{differenza di età tra Maria e Anna}$

$D = Y - X = 3 \cdot X - X = 2 \cdot X$

Dalla riga numero 2 veniamo a sapere che Anna, in un certo momento del futuro, avrà tre volte l'età che aveva Maria (nello stesso momento del passato di prima):
$Z = \text{età di Anna in un certo momento del futuro}$

$Z = 3 \cdot Y$

Dalla riga numero 3 veniamo a sapere che Maria aveva, in un certo momento del passato differente da quello precedente, la metà dell'età di Anna "nel futuro":
$W = \text{età di Maria in un certo momento del passato differente da Y}$

$W = \frac{Z}{2}$

Dalla riga numero 4 veniamo a sapere che Maria, nel presente, ha il doppio dell'età di Anna in un certo momento del passato differente dal precedente:
$Q = \text{età di Anna in un certo momento del passato differente da X}$

$M = 2 \cdot Q$

Ora il problema è quello di collegare le varie equazioni...
Si nota subito che le equazioni trovate nelle righe 1,2 e 3 sono sempre unite da una variabile in comune, mentre l'equazione della riga 4 non ha nulla in comune con quelle precedenti.
Il collegamento che mi è venuto in mente è il seguente:
la variabile $W$ dell'età di Maria in un certo momento del passato e la variabile $Q$ dell'età di Anna in un certo momento del passato si riferiscono allo stesso momento del passato!
Perciò, attraverso una semplice sottrazione, possiamo ottenere la differenza $D$ tra le età delle due ragazze (che già conoscevamo...):

$D = 2 \cdot X = W - Q$

Ora possiamo collegare tutte le equazioni, partendo dall'ultima:

$M = 2 \cdot Q = 2 \cdot (W - D) = 2 \cdot (\frac{Z}{2} - D) = 2 \cdot (\frac{3Y}{2} - D) = 2 \cdot (\frac{3 \cdot 3 \cdot X}{2} - D) = $
$= 2 \cdot (\frac{\frac{9D}{2}}{2} - D) = 2 \cdot (\frac{9}{4}D - D) = 2 \cdot (\frac{9D - 4D}{4}) = \frac{5}{2}D = 2,5 \cdot D$

Come detto all'inizio, $M + A = 44$, e perciò la differenza tra le età delle due ragazze è:

$M - A = D$

E inserendo il valore trovato per M otteniamo:

$2,5 \cdot D - A = D$

Da cui:

$A = 2,5 \cdot D - D = 1,5 \cdot D$

Perciò:

$M + A = 44$
$2,5 \cdot D + 1,5 \cdot D = 44$
$4 \cdot D = 44$
$D = 11$

Adesso conosciamo anche la differenza tra le età delle due ragazze, e possiamo calcolare sia l'età di Maria sia l'età di Anna:

$M = 2,5 \cdot D = 2,5 \cdot 11 = 27,5$
$A = 1,5 \cdot D = 1,5 \cdot 11 = 16,5$

[axpgn]

Evviva, una risposta! Non ci speravo più ...

Ok, bravo!

Modi per risolvere questo problema ce ne sono tanti, sintetizzo il tuo ...

Dal testo possiamo estrarre queste equazioni:

$$M_0+A_0=44$$ $$M_0=2A_1$$ $$2M_1=A_2$$ $$A_2=3M_3$$ $$M_3=3A_3$$
dove $M_n$ e $A_n$ sono rispettivamente le età di Maria e di Anna all'istante $t_n$.

Troppe incognite ma dall'ultima notiamo che la differenza tra le due età è pari a $2A_3$ e dato che la differenza è costante nel tempo, questo ci permette di eliminare tutte le occorrenze di Maria riportandoci ad un sistema con sufficienti equazioni.
Il risultato è che l'età di Maria è di $27$ anni e $6$ mesi e quella di Anna è di $16$ anni e $6$ mesi.

Cordialmente, Alex

[Black Magic]

Ciao, io ho provato così:

Quando Maria aveva il triplo dell'età di Anna¹, significa che $x$ anni fa valeva:
$(M-x) = 3(A-x)$, dove $M$ e $A$ sono, rispettivamente, le età di Maria e Anna nel presente
Quando Anna avrà il triplo dell'età che aveva Maria quando Maria aveva il triplo dell'età di Anna, vuol dire che:
$(A+y) = 3(M-x)$
Quando Maria aveva la metà dell'età che avra Anna ...
$(M-z) = \frac{1}{2}(A+y)$
l'età di Maria è il doppio dell'età che aveva Anna...
$M=2(A-z)$

Dalla prima equazione ricavo: $x= \frac{3A-M}{2}$
Dalla seconda: $y=3M-A-3x$
Dalla terza:$z=-M/2+3x/2$
Sostituendo quest'ultimo valore trovato nella quarta:
$M=2(A+M/2-3x/2) = 2A+M-3x \Rightarrow 2A=3x$
Sostituendo ad $x$ il valore trovato nella prima equazione, ottengo:
$3M=5A$
E tenendo conto che $A+M=44$,
$5A/3+A = 44$
$A=33/2 = 16.5$, $ M= 27.5$.


¹ E se volesse dire: l'età che aveva Maria quando questa era il triplo dell'età attuale di Anna?
... Non spoilerate però

[axpgn]

Se avessi voluto dire quello avrei scritto quello, ma non l'ho scritto

Comunque ... ... bravo!

Cordialmente, Alex

[marco9551]

Chiamiamo $x$ l'età attuale di Maria e $y$ l'età attuale di Anna. Se è capitato in passato che l'età di Maria risultasse il triplo di quella di Anna, allora esiste $t|tinR$, tale che:
$x-t=3(y-t)$

Ricaviamo da quest'equazione la $x$ in funzione della y e della t, ottenendo:
$x=3y-2t$
Calcoliamo ora la differenza di età tra le due. che rimane costante in ogni istante della loro vita.
$x-y=(3y-2t)-y=2y-2t=2(y-t)$

Calcoliamo l'età di Maria quando è metà dell'età che avrà Anna quando sarà il triplo di quella di Maria di quando quella di Maria era $x-t=3(y-t)$, e cioè
$(9(y-t))/(2)$

Per calcolare che età avesse Anna quando l'età di Maria era $(9(y-t))/(2)$ , sfruttiamo la differenza di età trovata in precedenza, chiamando l'età che aveva Anna $z$, Abbiamo:
$(9(y-t))/(2)-z=x-y<=>(9(y-t))/(2)-z=2(y-t)<=>z=5/2*(y-t)$

Sappiamo infine che
$x=2z<=>x=5(y-t)$

Risolvendo il seguente sistema
$ { ( x=5(y-t) ),( x=3y-2t ),( x+y=44 ):} $
troveremo che l'età di Maria è $55/2=27,5$ e l'età di Anna,anche se non richiesta, $33/2=16,5$