L'età di Amerigo

[superpippone]

Buongiorno.
Sabato ho partecipato ai Giochi Matematici organizzati dalla Bocconi.
I "problemi" di mia competenza erano 12: quelli numerati dal 6 al 17.
Come spesso mi accade, ho fatto una figura un po' barbina....
Ne ho azzeccati solo 5.
Quello che più mi rode è il numero 12. Sono 5 giorni che mi rompo la testa, ma non ne vengo fuori.
Eppure non mi pare impossibile.....
Ve lo propongo.

Siamo nel 2016 e l'età di Amerigo, che ha appena compiuto gli anni, è un divisore di 2016. Se Amerigo somma questa età con tutti i suoi multipli (il doppio, il triplo, ecc.) minori di 365, trova il suo anno di nascita.
In che anno è nato Amerigo?

Se qualcuno riesce ad illuminarmi, con soluzione e relativo procedimento, gliene sarò grato.

N.B. Come detto i problemi erano 12. Il tempo a disposizione 2 ore. Proibito l'uso di PC, tablet, cellulari, calcolatrici, etc..

[nino_12]

"superpippone":Buongiorno.

In che anno è nato Amerigo?

Se qualcuno riesce ad illuminarmi, con soluzione e relativo procedimento, gliene sarò grato.

N.B. Come detto i problemi erano 12. Il tempo a disposizione 2 ore. Proibito l'uso di PC, tablet, cellulari, calcolatrici, etc..

Nel $1980$

$2016 = 2^5*3^2*7$

Provo

$42$ anni ---------> $42+84+126+168+210+252+294+336 = 1512$ troppo poco

$32$ anni ---------> $32+64+96+128+160+192+224+256+288+320+352 = 2112$ troppo

L'età è compresa fra $32$ e $42$ anni e è $36$ anni:
$36+72+108+144+180+216+252+288+324+360 = 1980$

Ciao Nino

[orsoulx]

Nell'inviare la soluzione ho visto che nino_ ha già trovato la soluzione in maniera più semplice e più rapida di quella che ho utilizzato, ottimo!

$ 2016=2^5 \cdot 3^2 \cdot 7 $. Indicando con $ x $ l'età di Amerigo la condizione che l'anno di nascita sia la somma di tutti i multipli di $ x $ si può tradurre dicendo che un numero triangolare aumentato di $ 1 $, il tutto moltiplicato per $ x $ deve dare 2016. $ [(n(n+1))/2 +1]x=2016 $.
I numeri triangolari sono: $ 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78,.... $ aumentandoli di $ 1 $ si possono scartare molti casi perché contengono divisori non presenti in $ 2016 $; restano solo $ 2, 4, 7, 16, 56,... $. I primi quattro sono ancora da scartare, perché portano ad età troppo elevate che, comunque, non rispetterebbero la condizione che i multipli da sommare devono essere minori di $ 365 $. Resta il solo $ 56 $ che corrisponde ad un'età di $ 36 $ anni e massimo multiplo $ 360 $. L'anno di nascita è perciò il $ 1980 $.

Ciao
B.

[axpgn]

Poniamo sia $a$ l'anno di nascita e $d$ l'età di Amerigo, allora $2016=a+d$ e $2016=kd$ con $k$ naturale, da cui $a+d=kd\ =>\ a=d(k-1)$.
Abbiamo anche $d+2d+...+nd=a\ =>\ d(n(n+1))/2=a\ =>\ d(n(n+1))/2=d(k-1)\ =>\ ((n(n+1))/2)+1=k$
Ora, dato che $nd<365\ =>\ 2016n/k<365\ =>\ 2016/3659$ e già con $n=10\ =>\ k=56$.
Dividendo $2016$ per $56=8*7$ abbiamo $2016-1008-504-252$ ed infine $252/7=36=d$, perciò $a=1980$.

Cordialmente, Alex

[veciorik]

Anno di nascita $y$ = somma di $n$ multipli dell'età $x$ : $\qquad y = 2016 - x = (n(n+1))/2 x$
Moltiplico per $2$ e divido per $nx$ : $ \qquad 4032/(nx) -(2x)/(nx) = n+1 $
Sposto di qua e di là : $ \qquad n+2/n = 4032/(nx) - 1 $
Se $ \qquad nx<365 \qquad $ allora : $ \qquad n+2/n>4032/365-1=3667/365=10.046... \qquad $ ossia $ \qquad n \geq 10 $
Provo $ \qquad n=10 \qquad $ calcolo l'età : $ \qquad x=2016/((n(n+1))/2+1) = 2016 / 56 = 36 \qquad $ OK !
Calcolo l'anno di nascita : $ \qquad y = 2016 - x = 2016 - 36 = 1980 $

[superpippone]

O.K. Vi ringrazio.
Avevo provato anch'io con i numeri triangolari, ma evidentemente mi perdevo da qualche parte....

[curie88]

Ciao a tutti,

"superpippone":
Siamo nel 2016 e l'età di Amerigo, che ha appena compiuto gli anni, è un divisore di 2016. Se Amerigo somma questa età con tutti i suoi multipli (il doppio, il triplo, ecc.) minori di 365, trova il suo anno di nascita.
In che anno è nato Amerigo?

Il testo evidenzito non mi è chiaro...la somma dei numeri da $1$ a $n$ è:
$S_n = (1 + n)n/2$
Se si deve sommare l' età a questa somma allora:
$S_n = (1+n)n/2 + x$
Se si deve sommare l' età a tutti i numeri allora:
$S_n = (1+n)n/2 + nx$

Quindi non mi trovo...nonostante anche io ho proceduto con lo stesso ragionamento...

[axpgn]

Detta $a$ l'età di Amerigo, i multipli di questa sono $2a<3a<... La somma di questi numeri dà l'anno di nascita di Amerigo.

Cordialmente, Alex

[kobeilprofeta]

se amerigo avesse 60 anni
avresti 60+120+180+240+360 basta (perche 420>365)

la somma che ho scritto dovrebbe fare l'anno di nascita di ame, cioè il 2016-60 (nel mio esempio ha 60 anni)

[curie88]

Grazie axpgn,
Da quello che tu dici, devo fare la somma:
$S_1 = 2a+3a+4a..+na = (2a + na)(n-1)/2 = a(2+n)(n-1)/2$
ma questa non è stata interpretata allo stesso modo da "veciorik", ad esempio...(vedi sotto)

In realtà il testo dice che Amerigo deve sommare l' età "a" con tutti i suoi multipli, questo può intendersi in due modi:
1) Sommo a, a ciascun suo multiplo e trovo la somma totale:
$S_2 = (a + 2a) + (a + 3a) + (a + 4a) +....+ (a + na)$
cioè:
$S_2 = (n-1)a + S1$
oppure:
2) Sommo a, alla somma dei suoi multipli:
$S_3 = (a) + (2a + 3a + 4a...+na)$
$S_3 = a + S1$
Visto che, ad esempio, "veciorik" ha usato la formula:
$S_4 = an(n+1)/2 = a(1 + 2 + 3 + 4... +n) = a + 2a + 3a + na$..., devo interpretare il testo con la $S_3 = S_4$

Grazie "kobeilprofeta", quello è chiaro.

[curie88]

$2016 - x = n(1+n)x/2$

$4032 - 2x = n^2x + nx$

$n^2x + nx = 4032 - 2x$

$x(n^2 + n + 2) = 4032$

$x = 4032/(n^2 + n + 2)$

$x <= 364/n$

$4032/(n^2 + n + 2) <= 364/n$

$n >= 9.87$

quindi $n = 10$

$x <= (364/10 = 36,4) $

$ x <= 36,4 $

$ x = 36 $

[axpgn]

"curie88":Da quello che tu dici, devo fare la somma:
$S_1 = 2a+3a+4a..+na = (2a + na)(n-1)/2 = a(2+n)(n-1)/2$
ma questa non è stata interpretata allo stesso modo da "veciorik", ad esempio...(vedi sotto)

No, devi sommare anche $a$ ... da quel testo a me pare ovvio (ma anche agli altri, mi pare ...)

[curie88]

Sarà che io non do mai un solo senso, alle cose...

[axpgn]

Un conto è capire che senso hanno le cose, un altro è darglielo ...

[curie88]

Ciao axpgn, mi spiace, ma nella tua risposta non sei stato preciso. Puo' capitare anche a me, non te ne faccio una colpa.
Sbagliare è umano.
Ho comunque intuito quello che intendevi(fortunatamente), ma la matematica, come tu ben saprai, si basa sul linguaggio logico, e questo deve eliminare le ambiguità, altrimenti le proposizioni, non sono più tali e diventano non sensi.

[axpgn]

Può darsi che io non sia stato preciso (e ti ringrazio di non farmene una colpa) però dovresti dirmi precisamente dove ...

[curie88]

"axpgn":Detta $a$ l'età di Amerigo, i multipli di questa sono $2a<3a<... La somma di questi numeri dà l'anno di nascita di Amerigo.

La somma di quali numeri? Si poteva intuire che bisognava sommare anche $a$, ma nulla vietava che tu intendessi la somma di solo questi: $2a,3a,..,ma$

Ciao, buona giornata e buon divertimento con la matematica.

[axpgn]

"curie88":La somma di quali numeri? Si poteva intuire ...

Non si doveva intuire niente ma semplicemente aver letto il primo post con il testo del problema dove sta scritto:

"superpippone":... l'età di Amerigo, ..., è un divisore di 2016. Se Amerigo somma questa età con tutti i suoi multipli (il doppio, il triplo, ecc.) minori di 365, ...

.

Cordialmente, Alex

[curie88]

L' ho letto, diciamo che ho interpretato male in effetti. Ho inteso quel tutti come ognuno. Grazie.