L'età del professore

[john_doe22661]

Oggi è il compleanno del professor Renato che non è ancora centenario ma ha un figlio e dei nipoti. Ai colleghi invitati alla festa per il suo compleanno ha precisato:"le età di mio figlio e dei miei nipoti (tra i quali non ci sono gemelli) sono dei termini appartenenti alla successione di Fibonacci: 1,2,3,5,8,13,... .Inoltre, la mia età è uguale alla somma delle età di mio figlio e dei miei nipoti". L'informazione è sufficiente a un collega, Nando, che conosce l'età del professor Renato ma non la composizione della sua famiglia, per dichiarare:"allora tu hai almeno quattro nipoti!"
Qual è l'età del professor Renato? (Finale italiana dei Campionati Internazionali di Giochi Matematici - sabato, 14 maggio 2011)

[xXStephXx]

88?

[john_doe22661]

Giusto! Ma sei stato velocissimo! (oppure la sapevi già?)

[Quinzio]

Chiedo scusa.
Anche l'età del prof è un n. di Fibonacci ?
Non viene detto nel testo, e quindi in base a cosa uno determina la sua età ?
Es: nipoti: 2,3,21 figlio: 55, prof: 81

Dove sta la difficoltà del problema, come fa questo Nando a dire che i nipoti sono >=4 ?

[john_doe22661]

No, l'età del professore non è necessariamente un numero della successione di Fibonacci.
Nando ha dichiarato che il numero dei nipoti è almeno quattro proprio perché, conoscendo l'età del professore, non riusciva ad ottenerla in nessun modo sommando tre o quattro numeri appartenenti alla serie di Fibonacci.

[xXStephXx]

Io ho provato a cercare un insieme di numeri della serie di Fibonacci tali che la somma si potesse ottenere solo con lo stesso numero di elementi. (Se non in modo univoco). Il problema sta nel fatto che se prendo due numeri consecutivi potrei prendere anche il successivo ad entrambi e sostituirlo con i due numeri, quindi posso ottenere la stessa somma con un elemento in meno.
Per cui ho preso un elemento si e uno no a partire da $1$. La proprietà "curiosa" della successione di Fibonacci che ho notato con questo problema è che sommando tutti gli elementi di ordine pari fino a un certo elemento si ottiene l'elemento successivo diminuito di $1$.

[Gi81]

L'ho fatto un po' così, senza ragionarci troppo

i numeri di Fibonacci minori di 100 sono: $1,2,3,5,8,13,21,34,55,89$
Chiamiamo $x$ l'età del Professor Renato.
Se $89<=x<100$ si possono trovare combinazioni di numeri in modo tale che i nipoti siano alpiù tre.
Infatti basta prendere $55$ come età del figlio, $34$ come età del primo nipote
e due numeri opportuni $y,z in {1,2,3,5,8}$ ($y!=z$) per le età di altri due nipoti (al massimo).
Passando a $x=88$ si nota che l'età del figlio deve essere $55$,
altrimenti non si potrebbe arrivare a $88$ nemmeno sommando tutti i rimanenti numeri di Fibonacci minori di quello dell'età del figlio.
Quindi la somma delle età dei nipoti deve essere $33$
Con un ragionamento analogo, l'età del primo nipote deve essere $21$.
Quindi la somma delle età dei nipoti rimanenti deve essere $12$.
Per fare $12$ con i numeri $1,2,3,5,8,13$ c'è una sola possibilità:
ci deve essere un secondo nipote la cui età è $8$, un terzo la cui età è $3$ e un quarto la cui età è $1$
Pertanto per $x=88$ ci devono essere quattro nipoti.

Quindi una possibile soluzione è $88$, ma potrebbero essercene altre (minori di $88$)

[EISguys]

anke io ero giunto a questo tipo di soluzione, ma nn mi aveva convinto, e nemmeno ora..xché se fosse questa l'età del prof, l'amico avrebbe concluso con certezza ke il prof ha 4 nipoti..con questa soluzione non teniamo conto dell'informazione contenuta nella parola 'almeno'!!no?

[Andreabax]

Scusate se mi permetto di sollevare l'obiezione: mi sembra che il quesito non sia posto in modo corretto. Se l'età del professore deve essere < 100, somma delle età dei figli e dei nipoti ( tutte diverse perchè non ci sono gemelli ), che devono essere almeno 4 e tutte le età sia del figlio che dei nipoti devono essere numeri appartenenti alla seri di Fibonacci, c'è almeno una soluzione per la quale l'età del professore NON è 88.
La soluzione è questa:

Figlio 55, nipoti: 21, 13, 8 e 2 Totale 99 L'età del professore è quindi 99

Qualcuno può darmi una spiegazione?

[Gi81]

@Andreabax:

Se l'età del professore è $99$, c'è anche la possibilità che i nipoti siano solo $3$:
figlio $55$, nipoti $34$, $8$, $2$

[Andreabax]

E' vero! Hai ragione: non avevo considerato che il fatto che i nipoti fossero 4 è una condizione necessaria e non solo sufficiente.
Grazie e complimenti. E' un bellissimo quiz.