Le radici settime dell'unita'
Siano (a,b,c),A le misure dei lati e della superficie di
un trangolo ABC.
Sapendo che gli angoli in A e in B misurano rispettivamente
$(pi)/7$ e $(2pi)/7$,dimostrare che risulta:
$(a^2+b^2+c^2)/A=4sqrt7$
karl
un trangolo ABC.
Sapendo che gli angoli in A e in B misurano rispettivamente
$(pi)/7$ e $(2pi)/7$,dimostrare che risulta:
$(a^2+b^2+c^2)/A=4sqrt7$
karl
Risposte
Il titolo mi fa pensare ai complessi, ma non sono riuscito a trovare nulla di particolare usandoli.
Ho trovato solo una soluzione piuttosto contosa e per la verità anche un po' banale.
La legge dei seni mi permette di scrivere $a=2R sin alpha$, $b=2R sin beta$, $c=2R sin gamma$, dove $R$ è il raggio della circonferenza circoscritta.
Sempre dalla trigonometria è nota $A=1/2 a b sin gamma$, che sostituendo diventa $A=2R^2 sin alpha sin beta sin gamma$.
Quindi $(a^2+b^2+c^2)/A=((2R sin alpha)^2+(2R sin beta)^2+(2R sin gamma)^2)/(2R^2 sin alpha sin beta sin gamma)=2(sin(pi/7)^2+sin((2pi)/7)^2+sin((4pi)/7)^2)/(sin(pi/7) sin((2pi)/7) sin((4pi)/7))$.
Con molti conti si arriva a vedere che questo rapporto è uguale a $4sqrt7$.
Ho trovato solo una soluzione piuttosto contosa e per la verità anche un po' banale.
La legge dei seni mi permette di scrivere $a=2R sin alpha$, $b=2R sin beta$, $c=2R sin gamma$, dove $R$ è il raggio della circonferenza circoscritta.
Sempre dalla trigonometria è nota $A=1/2 a b sin gamma$, che sostituendo diventa $A=2R^2 sin alpha sin beta sin gamma$.
Quindi $(a^2+b^2+c^2)/A=((2R sin alpha)^2+(2R sin beta)^2+(2R sin gamma)^2)/(2R^2 sin alpha sin beta sin gamma)=2(sin(pi/7)^2+sin((2pi)/7)^2+sin((4pi)/7)^2)/(sin(pi/7) sin((2pi)/7) sin((4pi)/7))$.
Con molti conti si arriva a vedere che questo rapporto è uguale a $4sqrt7$.
Il problema e' proprio calcolare quel rapporto in maniera esatta.
Non so come Eredir ci sia arrivato e magari se posta il procedimento,
senza volerlo costringere a scrivere montagne di calcoli,si puo' vedere.
Domani ,cioe' oggi !!,metto il mio procedimento che si appoggia sulle
radici settime di 1.
karl
Non so come Eredir ci sia arrivato e magari se posta il procedimento,
senza volerlo costringere a scrivere montagne di calcoli,si puo' vedere.
Domani ,cioe' oggi !!,metto il mio procedimento che si appoggia sulle
radici settime di 1.
karl
"karl":
Il problema e' proprio calcolare quel rapporto in maniera esatta.
Non so come Eredir ci sia arrivato e magari se posta il procedimento,
senza volerlo costringere a scrivere montagne di calcoli,si puo' vedere.
Domani ,cioe' oggi !!,metto il mio procedimento che si appoggia sulle
radici settime di 1.
karl
Sinceramente il conto non l'ho terminato, anche se mi sembrava ci si potesse riuscire.
In ogni caso non sarebbe una soluzione molto onorevole.
Credo che una risoluzione sarebbe trovare il seno di $pi/7$ che sicuramente si può esprimere nella forma $ksqrt7$ con $k$ reale.
"Aethelmyth":
Credo che una risoluzione sarebbe trovare il seno di $pi/7$ che sicuramente si può esprimere nella forma $ksqrt7$ con $k$ reale.
Forse sbaglio ma ,stante la forma dell'espressione a cui si deve arrivare,penso
che k dovrebbe essere o razionale o al piu' esprimibile con radici quadrate.
E cio' significherebbe la possibilita' di costruire l'ettagono regolare con riga e compasso,
possibilita gia' negata da Gauss.
(Sto Gauss s'impiccia di tutto,mi sta un po' sui nervi!!!)
karl
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