Le coccinelle innamorate

[Jeckyll]

Quattro coccinelle (A,B,C,D) occupano gli angoli di un quadrato di 20 centimetri di lato (vedi figura). A e C sono maschi. B e D sono femmine. Contemporaneamente A Cammina direttamente verso B, B verso C, C verso D e D verso A. Tutte e quattro le coccinelle camminano alla stessa velocità.
Quanto deve camminare ogni coccinella prima dell'incontro con le altre?

Questo problema è un classico tra gli enigmi e i giochi matematici quindi ci sono buone probabilità che lo abbiate già risolto. In tal caso vi proporrò una variante.

A......B
.........
.........
D......C





Modificato da - Jeckyll il 05/02/2004 11:20:48

[vecchio1]

mi sembra strano di essere il primo a rispondere...cmq...
sono quasi sicuro che per la risoluzione ci sia bisogno di usare integrali o simili...per cui non avendo a disposizione questi "strumenti" ho provato una soluzione alternativa...aiutandomi col buon vecchio Turbo Pascal...a mio parere, sempre se ho azzeccato a fare il disegno!!!, il percorso che deve percorrere ogni coccinella è all'apparenza un ramo di cubica (ma non ho calcolato l'equazione del luogo del tragitto della coccinella!!)perchè ogni coccinella ne insegue un'altra che si sta spostando a su volta...per cui il tragitto non potrà essere rettilineo...
il procedimento che ho usato è forse approssimativo però mi pare valido...ho diviso la curva del tragitto in tanti piccoli segmenti rettilinei, in modo da poter utilizzare la mia amica trigonometria...
ho usato come variabile l'angolo che ho considerato come l'angolo di "deviazione" del percorso della coccinella...a parole mi risulta difficile spiegare...e fare un disegno ancora più complicato...vista l'ora...però spero di essermi spiegato...
cmq alla fine hoo trovato una formula ricorsiva per cui ogni segmento, andando sempre più verso il centro del quadrato,(n=infinito),misura Xn=20*sin(cos-sin)^(n-1)

per cui il tragitto copmleto misura

  inf

S=Xn

  n=1

questo credo che sia un integrale come dicevo prima...però non lo so fare e allora mi sono fatto un programma in Pascal considerando un di 0.0001 rad fino a considerare il segmento lungo 0.00000001 o qualcosa del genere...credo quindi che il mio risultato sia apprezzabile...
io ottengo questo da turbo Pascal

19.99988652000

noto che si avvicina pericolosamente a 20...per cui mi viene il sospetto che senza tutte le approssimazioni fatte...il risultato sia proprio 20...

aspetto conferme o smentite...

il vecchio

[Jeckyll]

Bravo Vecchio,
la soluzione da te trovata è corretta. Ciascuna coccinella per incontrare la sua innamorata dovrà percorrere esattamente 20 cm.

Permettimi inoltre di congratularmi con te per il metodo approssimato che hai utilizzato. Veramente ingegnoso

La risoluzione del problema delle coccinelle attraverso lo studio delle loro traiettorie è in effetti un tantino complicato e necessita, oltre che di nozioni sul calcolo integrale, anche di nozioni sulla risoluzione di sistemi di equazioni differenziali. Se a qualcuno può interessare lo studio della traiettoria (spirali logaritmiche) io posso mandargli una mail con tutti i dettagli del calcolo.

Comunque, come dicevo inizialmente, questo problema è un classico dei giochi matematici proprio perché solo apparentemente è difficile. In realtà, se si ha la giusta intuizione, può essere risolto senza fare un solo calcolo.

Ecco la chiave: In qualsiasi istante dato le quattro coccinelle individuano i vertici di un quadrato che si restringe man mano che le coccinelle si avvicinano fra loro. Il percorso di ogni inseguitore sarà perciò sempre perpendicolare a quello dell'inseguito. Questo ci dice che mentre A, per esempio, si avvicina a B non vi è alcuna componente nel moto di B che lo avvicini o allontani da A. Di conseguenza A raggiungerà B nello stesso tempo che occorrerebbe se B rimanesse fermo. La lunghezza di ogni braccio di spirale è la stessa del lato del quadrato: 20 cm.
(Martin Gardner, Enigmi e giochi matematici, 1997 B.U.R.)

A questo punto rinnovo il quesito:
Adesso abbiamo 6 coccinelle (A,B,C,D,E,F) disposte ai vertici di un esagono regolare di 20 cm. A, C, E sono maschi. B, D, F sono femmina. Al solito A va verso B, B verso C, C verso D, D verso E, E verso F ed F verso A. Tutte camminano alla stessa velocità. Quanto deve camminare ogni coccinella prima dell'incontro con le altre?


Stavolta i calcoli sono necessari, ma se si ragiona come nel caso del quadrato, la soluzione è a portata di moltiplicazione e divisione.

Mi scuso per il lungo post

Cordiali Saluti,
Marcello

[fireball1]

citazione:

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sono quasi sicuro che per la risoluzione ci sia bisogno di usare integrali o simili...per cui non avendo a disposizione questi "strumenti" ho provato una soluzione alternativa...

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Andrea, ma tu che fai il quinto ancora non hai studiato gli integrali??!! E io che
faccio il quarto quanto dovrò ancora aspettare per studiarli???

[MaMo2]

Il problema può essere facilmente generalizzato.
Dato un poligono regolare di n lati di lunghezza a, le velocità delle due coccinelle, lungo la direzione del lato del poligono, sono:
V(A) = v, V(B) = v*cos(x)
dove x è l'ampiezza dell'angolo esterno del poligono.
La loro velocità di avvicinamento è perciò:
Vrel = v*(1 - cosx)
Lo spazio percorso dalle coccinelle è:
s = v*t
Essendo t = a/Vrel si ottiene:
s = v*(a/Vrel) = a/(1 - cosx)
Essendo x = 2*pi/n, si trova infine la relazione:
s = a/[1 - cos(2*pi/n)]
Se n = 4, si ha s = a = 20 cm.
Se n = 6, si ha s = 2a = 40 cm.

[vecchio1]

gli integrali si fanno in quinto...ma ancora non li ho fatti...prima bisogna fare i limiti e le derivate...quindi eccoci...ci siamo quasi...cmq sono contento di aver azzeccato il problema!!! soprattutto perchè l'ho fatto col Pascal!!!! e vai!!!
per l'esagono sarei costretto a fare un procedimento analogo...ma non ho tempo ora e poi c'è Mamo che l'ha già risolto e quindi non mi dà più gusto!!!

cmq m'è piaciuto il gioco, grazie Jeckyll

ciao
il vecchio

[Jeckyll]

Ottimo lavoro!

Complimenti a tutti

[Principe2]

propongo una nuova soluzione, sicuramente la più intelligente di tutte!! le coccinelle capiscono che a gironzolare intorno ci mettono un'eternità e vanno dritte verso il centro del poligono e si incontrano dopo a cm, dove a è la lunghezza del lato del perimetro regolare!
a parte gli scherzi, complimenti, soprattutto al vecchio, davvero ingegnosa come soluzione, contando che non hai studiato gli integrali.. ma, mi spiace deluderti, credo che quel tipo di integrale non lo farai ancora per un pò - io sto al primo anno di matematica e ancora lo devo fare!!
ubermensch

[vecchio1]

Doh!! non dirmi così...io aspettavo con ansia il "miracoloso" integrale e mi dici che non lo studierò neanche quest'anno (quel tipo i integrale)???
UFFA!!!
va bè io cmq mi sento realizzato....
sicchè tu fai matematica...interessante...

ciao
il vecchio

[WonderP1]

Io ho risolto il problema la corsa del cane in maniera silimare alla tua. hai provato questo problema?

[vecchio1]

niente da fare signori miei...non ho saputo resistere e oggi all'ora di filosofia ho risolto anch'io il problema...stavolta però, avendolo ricominciato da capo, ho evidentemente trovato un altro algoritmo perchè ora i risultati mi vengono per eccesso anzichè per difetto come prima...
considerato che per me è l'ampiezza dell'angolo ineterno del poligono di N_lati, allora in radianti=(N_lati-2)*/N_lati.

quindi, secondo quanto ho trovato

Xn (lo spazietto infinitesimo percorso da una coccinella)=

        L0*sin*(sin)^n

Xn=------------------------------

    [sin(--)+sin]^(n+1)

bellina no?? per intendo sempre l'angolo di "curvatura", per L0, invece la lunghezza iniziale del lato del poligono (in questo caso 20cm).

ed ecco dunque il mio programma in pascal!!!!!

program coccinelle;

uses crt;

const

     l=20; alfa=0.0001; N_lati=6;

var

   S,x,beta:real;

begin

     clrscr;

     beta:=(N_lati-2)*pi/N_lati;

     x:=l*sin(alfa)/(sin(pi-alfa-beta)+sin(alfa));

     S:=x;

     repeat

           begin

                x:=x*sin(beta)/(sin(pi-alfa-beta)+sin(alfa));

                S:=S+x;

           end;

     until x<0.000000000001;

     writeln(S:20:15);

     readln

end.

ehh...direi che oggi la lezione di filosoofia ha portato i suoi frutti...!!

ciao a tutti

il vecchio



Modificato da - vecchio il 07/02/2004 16:34:59

[vecchio1]

ho visto il problema e ti assicuro che l'avrei risolto allo stesso modo...però ho anche visto le due soluzioni di MArcello Pedone e JAck..qualcosa...(non me ne voglia...ma non mi ricordo più il suo nick..)decisamente affascinanti...
quella di Marcello conferma i miei sospetti sull'uso degli integrali per questo tipo di problema...ma l'altra soluzione (che ho apprezzato decisamente di più, forse perchè l'ho capita di più)mi ha letteralmente strabiliato...complimenti al risolutore!!!
ma quella pagina che mi hai segnalato fa parte del sito o è un'altra cosa ancora??o magari è uno dei quesiti che vi scambiavate per la gara?...ma a proposito...di solito qui la gara in che periodo comincia?? ricordo che io mi ero iscritto al forum essenzialmente per questo!!!! poi invece mi sono affezionato!!!

saluti
il vecchio