Lati e mediane

[xXStephXx]

Siano $a,b,c$ le lunghezze dei lati di un triangolo e $x,y,z$ le lunghezze delle mediane di quel triangolo.
Dimostrare che vale la seguente disuguaglianza:
[tex]2(x^2+y^2+z^2) \leq 3(ab+bc+ca) \leq 4(x^2+y^2+z^2)[/tex]

[totissimus]

\( M,N,P\) sono i punti medi dei lati del triangolo.

\( BC=a, AC=b, AB=c, AM=x,CP=y,BN=z\)

Per la proprietà del baricentro abbiamo:

\( AG=\frac{2}{3}x, GM=\frac{1}{3}x\)

\( BG=\frac{2}{3}y, GN=\frac{1}{3}y\)

\( CG=\frac{2}{3}z, GP=\frac{1}{3}z\)

Applico il th. di Carnot al triangolo \(BGN\)

\( BG^2=BM^2+GM^2-2BM \cdot GM\cdot cos(BMG)\)

\( \frac{4}{9}y^2=\frac{a^2}{4}+\frac{1}{9}-\frac{1}{3}ax\cdot cos(BMG)\)

Applico lo stesso teorema al triangolo \( GMC\):

\( \frac{4}{9}z^2=\frac{a^2}{4}+\frac{1}{9}x^2+\frac{1}{3}ax\cdot cos(BGM)\)

Addizionando le due equazioni otteniamo:

1) \( \frac{4}{9}(y^2+z^2)=\frac{a^2}{2}+\frac{2}{9}x^2\)

Analogamente si ricave:

2) \( \frac{4}{9}(x^2+y^2)=\frac{c^2}{2}+\frac{2}{9}z^2\)

3) \( \frac{4}{9}(x^2+z^2)=\frac{b^2}{2}+\frac{2}{9}y^2\)

Addizionando le tre equazioni :

\( \frac{4}{9}(x^2+y^2+z^2)=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}+\frac{2}{9}(x^2+y^2+z^2)\)

4) \( 4(x^2+y^2+z^2)=3(a^2+b^2+c^2)\)

In un triangolo un lato e maggiore o uguale alla differenza degli altri due, quindi:

\( a^2 \geq (b-c)^2=b^2+c^2-2bc\)

\( b^2 \geq a^2+c^2-2ac\)

\( c^2 \geq b^2+a^2-2ab\)

addizionando membro a membro otteniamo:

\( a^2+b^2+c^2 \geq 2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+ac+bc)\)

5) \( a^2+b^2+c^2\ \leq 2(ab+ac+bc \))

d'altra parte è sempre vero che:

\( a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc\)

quindi

6) \( ab+ac+bc \leq a^2+b^2+c^2 \leq 2(ab+ac+bc)\)

Combinando la 6) con la 4) segue facilmente la disuguaglianza richiesta.

[xXStephXx]

Va bene xD Che supermessaggione
Comunque, volendo con un po' di paraculaggine potevi pure citare il Teorema della mediana e dare per buona tutta la prima parte della dimostrazione.