Lancio di un dado
In una serie di lanci successivi di un dado regolare determinare la probabilità che escano per la prima volta due 6 consecutivi ai lanci:
1) 1 e 2
2) 2 e 3
3) 3 e 4
4)Chi sa determinare una procedura per calcolare la probabilità ai lanci (n-1) e n con n naturale maggiore di 1?
1) 1 e 2
2) 2 e 3
3) 3 e 4
4)Chi sa determinare una procedura per calcolare la probabilità ai lanci (n-1) e n con n naturale maggiore di 1?
Risposte
1) $(1/6)^2$
2) $5/6*(1/6)^2$
3) $(5/6)^2*(1/6)^2$
4) $(5/6)^(n-2)*(1/6)^2$
secondo me ho capito male l'esercizio...troppo facile...
il vecchio
2) $5/6*(1/6)^2$
3) $(5/6)^2*(1/6)^2$
4) $(5/6)^(n-2)*(1/6)^2$
secondo me ho capito male l'esercizio...troppo facile...
il vecchio
1) e 2) ok
3) e 4) sbagliati
premetto fin da ora che il 4) non è facilissimo...
3) e 4) sbagliati
premetto fin da ora che il 4) non è facilissimo...
ah giusto...
3) $5/6*(1/6)^2$
stavolta dovrebbe andare che dici?
l'altro se mi dici così ci penso...
3) $5/6*(1/6)^2$
stavolta dovrebbe andare che dici?
l'altro se mi dici così ci penso...
ok anche per il 3)
il 4), cioè il caso generale è molto più complicato...
il 4), cioè il caso generale è molto più complicato...
4) divido in due casi...
se n è pari
$(5/6)^((n-2)/2)*(1/6)^2$
se n è dispari
$(5/6)^((n-1)/2)*(1/6)^2$
se n è pari
$(5/6)^((n-2)/2)*(1/6)^2$
se n è dispari
$(5/6)^((n-1)/2)*(1/6)^2$
se preferisci invece una soluzione "unita" è questa:
$(5/6)^((2n-3+(-1)^(n+1))/4)*(1/6)^2$
e con questo dovrebbe essre tutto.
giusto?
$(5/6)^((2n-3+(-1)^(n+1))/4)*(1/6)^2$
e con questo dovrebbe essre tutto.
giusto?
no, non ci siamo
già per n pari non ti seguo più
già per n pari non ti seguo più
in che senso?? che sai che è sbagliato o perchè non capisci il mio ragionamento?
il risultato non è quello, e poi non capisco cosa hai fatto, quando n è pari (5/6)^((n-2)/2) che moltiplica
poi 1/36 da dove salta fuori?
poi 1/36 da dove salta fuori?
mm..allora ho ragionato così...però evidentemente male se dici che non va bene...cmq...
ipotizziamo di tirare il dado 6 volte:
_ _ _ _ _ _
devo calcolare la probabilita che solo nelle utlime 2 caselle io abbia 2 "6"...
_ _ _ _ 6 6
la probabilità di avere 2 "6" lì è di $(1/6)^2$
ora...sulla cassella immediatamente prima del "6" non deve esserci un 6!
qiundi
_ _ _ /6 6 6
(/6) sta per "non 6"...
la probabilità fin qui è $5/6*(1/6)^2
sulla casella prima posso mettere quello che mi pare...senza preocuparmi, tanto su quella di posto 4° non c'è un 6...
_ _ X /6 6 6
la probabilità è invariata....
ora (e credo che sia a questo punto l'errore), per non rischiare impongo a questo posto di non essere un 6, moltiplico quindi per $5/6$
ora quindi sto
_ /6 X /6 6 6
l'ultimo posto libero può essere ciò che vuole...
quinid in definitiva la probabilità è data da
$(5/6)^(Numero di posti pari [esclusi gli ultimi 2])*(1/6)^2$
ipotizziamo di tirare il dado 6 volte:
_ _ _ _ _ _
devo calcolare la probabilita che solo nelle utlime 2 caselle io abbia 2 "6"...
_ _ _ _ 6 6
la probabilità di avere 2 "6" lì è di $(1/6)^2$
ora...sulla cassella immediatamente prima del "6" non deve esserci un 6!
qiundi
_ _ _ /6 6 6
(/6) sta per "non 6"...
la probabilità fin qui è $5/6*(1/6)^2
sulla casella prima posso mettere quello che mi pare...senza preocuparmi, tanto su quella di posto 4° non c'è un 6...
_ _ X /6 6 6
la probabilità è invariata....
ora (e credo che sia a questo punto l'errore), per non rischiare impongo a questo posto di non essere un 6, moltiplico quindi per $5/6$
ora quindi sto
_ /6 X /6 6 6
l'ultimo posto libero può essere ciò che vuole...
quinid in definitiva la probabilità è data da
$(5/6)^(Numero di posti pari [esclusi gli ultimi 2])*(1/6)^2$
ti sei risposto da solo,
cosi facendo perdi tutte le sequenze che hanno 6 in seconda posizione.
vediamo se in questi giorni qualcuno lo risolve
cosi facendo perdi tutte le sequenze che hanno 6 in seconda posizione.
vediamo se in questi giorni qualcuno lo risolve
Dato che il quesito è più complicato di quanto si possa pensare, stasera posto la soluzione. Adesso scrivo solo il risultato:
la probabilità richiesta (salvo errori di calcolo da parte mia) è :
p = $ 2/(45-5*sqrt(45))*((5-sqrt(45))/12)^(n)+ 2/(45+5*sqrt(45))*((5+sqrt(45))/12)^(n)$
siccome non posso vedere se ho scritto bene la formula , scrivo anche questo:
p = 2/(45-5*sqrt(45))*((5-sqrt(45))/12)^n+
+ 2/(45+5*sqrt(45))*((5+sqrt(45))/12)^n
la probabilità richiesta (salvo errori di calcolo da parte mia) è :
p = $ 2/(45-5*sqrt(45))*((5-sqrt(45))/12)^(n)+ 2/(45+5*sqrt(45))*((5+sqrt(45))/12)^(n)$
siccome non posso vedere se ho scritto bene la formula , scrivo anche questo:
p = 2/(45-5*sqrt(45))*((5-sqrt(45))/12)^n+
+ 2/(45+5*sqrt(45))*((5+sqrt(45))/12)^n
Indichiamo con $P_(n)$ la probabilità richiesta,
cioè la probabilità che la sequenza finisca con due 6 consecutivi al lancio n-esimo e che non si sia ancora verificato una coppia di 6 consecutivi.
Le sequenze iniziali possono cominciare in tre modi:
1) nel primo lancio non è uscito 6 (nel seguito indico quest’evento con A)
2) nel primo lancio è uscito un 6 e nel secondo non è uscito 6 (evento B)
3) nel primo e nel secondo lancio è uscito 6 (evento C)
adesso calcoliamo $P_(n)$ con il teorema delle probabilità totali:
$P_(n)$ = P( E | A) * P(A) + P(E | B)*P(B) + P(E |C)*P(C)
dove E è l’evento che la sequenza finisca con due 6 consecutivi al lancio n-esimo e che non si sia ancora verificato una coppia di 6 consecutivi.
P(A)=$5/6$ , P(B)=$5/(36)$ , P(C)=1/(36)
P( E | A), cioè la probabilità che la sequenza finisca con due 6 consecutivi al lancio n-esimo e che non si sia verificato una coppia di 6 consecutivi sapendo che al primo lancio non è uscito un 6,
è uguale a $P_(n-1)$ ( se io so che al primo lancio non è uscito 6, l’evento si verificherà se negli $(n-1)$ lanci rimasti la sequenza finisce con due 6 consecutivi senza avere mai osservato prima di allora una coppia di 6 consecutivi).
Ragionando allo stesso modo si ottiene
P( E | B) =$P_(n-2)$
P( E | C) = 0
In definitiva abbiamo la seguente relazione ricorsiva
$P_(n) =P_(n-1) * 5/6 + P_(n-2) * 5/(36)$ per $n>2$
con le condizioni iniziali
$P_(1)=0$,
$P_(2)=1/(36)$
per chi vuole fare una verifica, si calcoli $P_(3)$ e $P_(4)$, si vede che vengono fuori le probabilità trovate da vecchio nei punti 2) e 3).
La relazione trovata è una equazione alle differenze finite lineare omogenea, che può essere risolta con tecniche simili a quelle per le equazioni differenziali omogenee
cioè la probabilità che la sequenza finisca con due 6 consecutivi al lancio n-esimo e che non si sia ancora verificato una coppia di 6 consecutivi.
Le sequenze iniziali possono cominciare in tre modi:
1) nel primo lancio non è uscito 6 (nel seguito indico quest’evento con A)
2) nel primo lancio è uscito un 6 e nel secondo non è uscito 6 (evento B)
3) nel primo e nel secondo lancio è uscito 6 (evento C)
adesso calcoliamo $P_(n)$ con il teorema delle probabilità totali:
$P_(n)$ = P( E | A) * P(A) + P(E | B)*P(B) + P(E |C)*P(C)
dove E è l’evento che la sequenza finisca con due 6 consecutivi al lancio n-esimo e che non si sia ancora verificato una coppia di 6 consecutivi.
P(A)=$5/6$ , P(B)=$5/(36)$ , P(C)=1/(36)
P( E | A), cioè la probabilità che la sequenza finisca con due 6 consecutivi al lancio n-esimo e che non si sia verificato una coppia di 6 consecutivi sapendo che al primo lancio non è uscito un 6,
è uguale a $P_(n-1)$ ( se io so che al primo lancio non è uscito 6, l’evento si verificherà se negli $(n-1)$ lanci rimasti la sequenza finisce con due 6 consecutivi senza avere mai osservato prima di allora una coppia di 6 consecutivi).
Ragionando allo stesso modo si ottiene
P( E | B) =$P_(n-2)$
P( E | C) = 0
In definitiva abbiamo la seguente relazione ricorsiva
$P_(n) =P_(n-1) * 5/6 + P_(n-2) * 5/(36)$ per $n>2$
con le condizioni iniziali
$P_(1)=0$,
$P_(2)=1/(36)$
per chi vuole fare una verifica, si calcoli $P_(3)$ e $P_(4)$, si vede che vengono fuori le probabilità trovate da vecchio nei punti 2) e 3).
La relazione trovata è una equazione alle differenze finite lineare omogenea, che può essere risolta con tecniche simili a quelle per le equazioni differenziali omogenee
ah giusto...
3) $5/6*(1/6)^2$
Scusa Piera, ma allora il terzo caso è uguale al secondo? non è che al primo e al secondo tiro la P è 5/6?
3) $5/6*(1/6)^2$
Scusa Piera, ma allora il terzo caso è uguale al secondo? non è che al primo e al secondo tiro la P è 5/6?
1) no, al primo e al secondo tiro la probabilità è
1/6 * 1/6 (devono uscire due 6 e la probabilità che esca 6 è 1/6)
2) per avere per la prima volta due 6 al lancio 2 e 3 occorre che al primo lancio non esca 6 (questo si verifica con probabilità 5/6) e negli altri due lanci devono uscire due 6 ( questo si verifica con probabilità 1/6 * 1/6) quindi complessivamente la probabilità è 5/6 * 1/6 * 1/6
3) in questo caso al primo lancio può uscire un numero qualsiasi (probabilità =1), al secondo non deve uscire 6 (probabilità =5/6) e negli ultimi due lanci devono uscire due 6 (probabilità =1/6 *1/6) e complessivamente la probabilità è 1 * 5/6 * 1/6 *1/6
1/6 * 1/6 (devono uscire due 6 e la probabilità che esca 6 è 1/6)
2) per avere per la prima volta due 6 al lancio 2 e 3 occorre che al primo lancio non esca 6 (questo si verifica con probabilità 5/6) e negli altri due lanci devono uscire due 6 ( questo si verifica con probabilità 1/6 * 1/6) quindi complessivamente la probabilità è 5/6 * 1/6 * 1/6
3) in questo caso al primo lancio può uscire un numero qualsiasi (probabilità =1), al secondo non deve uscire 6 (probabilità =5/6) e negli ultimi due lanci devono uscire due 6 (probabilità =1/6 *1/6) e complessivamente la probabilità è 1 * 5/6 * 1/6 *1/6
OK Piera, grazie. Però non mi è chiaro il testo.....quindi al terzo caso vuol dire che al primo lancio può anche uscire 6? invece pare che il testo dica che SOLO al terzo e quarto lancio esca il 6.
il testo dice che al lancio 3 e 4 deve uscire per la prima volta due 6 CONSECUTIVI, questo significa che al primo lancio può anche uscire 6 e al secondo no visto che voglio avere due 6 consecutivi per la prima volta ai lanci 3 e 4.
ok, inganna "prima volta" sembra un'esclusività. E' il solito di questi problemini, ma l'italiano potrebbe essere più chiaro ed evitare sbagliate interpretazioni. Sbagliate nel senso che non sono quelle intese dall'autore!
Comunque grazie per il chiarimento.
Comunque grazie per il chiarimento.
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