Lancio di un dado 2 - La rivincita
Si supponga di lanciare dieci volte un dado regolare. Si determini, motivando la risposta, la probabilità (esatta) che la somma dei punteggi sia 27.
Risposte
6+6+6+3+1+1+1+1+1+1
6+6+6+2+2+1+1+1+1+1
6+6+5+3+2+1+1+1+1+1
6+6+5+2+2+2+1+1+1+1
6+6+4+3+2+2+1+1+1+1
6+6+4+2+2+2+2+1+1+1
6+6+4+4+2+1+1+1+1+1
6+6+5+4+1+1+1+1+1+1
....mi sono stancato. Mi sa che non è vincente come metodo...
6+6+6+2+2+1+1+1+1+1
6+6+5+3+2+1+1+1+1+1
6+6+5+2+2+2+1+1+1+1
6+6+4+3+2+2+1+1+1+1
6+6+4+2+2+2+2+1+1+1
6+6+4+4+2+1+1+1+1+1
6+6+5+4+1+1+1+1+1+1
....mi sono stancato. Mi sa che non è vincente come metodo...
Allora
Possibilità 1 1111113666 con 840 combinazioni
Possibilità 2 1111114566 con 2520 combinazioni
Possibilità 3 1111115556 con 840 combinazioni
Possibilità 4 1111122666 con 2520 combinazioni
Possibilità 5 1111123566 con 15120 combinazioni
Possibilità 6 1111124466 con 7560 combinazioni
Possibilità 7 1111124556 con 15120 combinazioni
Possibilità 8 1111125555 con 1260 combinazioni
Possibilità 9 1111133466 con 7560 combinazioni
Possibilità 10 1111133556 con 7560 combinazioni
Possibilità 11 1111134456 con 15120 combinazioni
Possibilità 12 1111134555 con 5040 combinazioni
Possibilità 13 1111144446 con 1260 combinazioni
Possibilità 14 1111144455 con 2520 combinazioni
Possibilità 15 1111222566 con 12600 combinazioni
Possibilità 16 1111223556 con 37800 combinazioni
Possibilità 17 1111224456 con 37800 combinazioni
Possibilità 18 1111224555 con 12600 combinazioni
Possibilità 19 1111233366 con 12600 combinazioni
Possibilità 20 1111233456 con 75600 combinazioni
Possibilità 21 1111233555 con 12600 combinazioni
Possibilità 22 1111234446 con 25200 combinazioni
Possibilità 23 1111234455 con 37800 combinazioni
Possibilità 24 1111244445 con 6300 combinazioni
Possibilità 25 1111333356 con 6300 combinazioni
Possibilità 26 1111333455 con 12600 combinazioni
Possibilità 27 1111334445 con 12600 combinazioni
Possibilità 28 1111344444 con 1260 combinazioni
Possibilità 29 1112222466 con 12600 combinazioni
Possibilità 30 1112222556 con 12600 combinazioni
Possibilità 31 1112223366 con 25200 combinazioni
Possibilità 32 1112223456 con 100800 combinazioni
Possibilità 33 1112224455 con 25200 combinazioni
Possibilità 34 1112233356 con 50400 combinazioni
Possibilità 35 1112233446 con 75600 combinazioni
Possibilità 36 1112233455 con 75600 combinazioni
Possibilità 37 1112234445 con 50400 combinazioni
Possibilità 38 1112244444 con 2520 combinazioni
Possibilità 39 1112333346 con 25200 combinazioni
Possibilità 40 1112333355 con 12600 combinazioni
Possibilità 41 1112333445 con 50400 combinazioni
Possibilità 42 1112334444 con 12600 combinazioni
Possibilità 43 1113333336 con 840 combinazioni
Possibilità 44 1113333345 con 5040 combinazioni
Possibilità 45 1122222366 con 7560 combinazioni
Possibilità 46 1122222456 con 15120 combinazioni
Possibilità 47 1122223356 con 37800 combinazioni
Possibilità 48 1122223446 con 37800 combinazioni
Possibilità 49 1122223455 con 37800 combinazioni
Possibilità 50 1122224445 con 12600 combinazioni
Possibilità 51 1122233346 con 50400 combinazioni
Possibilità 52 1122233355 con 25200 combinazioni
Possibilità 53 1122233445 con 75600 combinazioni
Possibilità 54 1122234444 con 12600 combinazioni
Possibilità 55 1122333336 con 7560 combinazioni
Possibilità 56 1122333345 con 37800 combinazioni
Possibilità 57 1122333444 con 25200 combinazioni
Possibilità 58 1123333335 con 2520 combinazioni
Possibilità 59 1123333344 con 7560 combinazioni
Possibilità 60 1133333334 con 360 combinazioni
Possibilità 61 1222222266 con 360 combinazioni
Possibilità 62 1222222356 con 5040 combinazioni
Possibilità 63 1222222446 con 2520 combinazioni
Possibilità 64 1222223346 con 15120 combinazioni
Possibilità 65 1222223355 con 7560 combinazioni
Possibilità 66 1222223445 con 15120 combinazioni
Possibilità 67 1222224444 con 1260 combinazioni
Possibilità 68 1222233336 con 6300 combinazioni
Possibilità 69 1222233345 con 25200 combinazioni
Possibilità 70 1222233444 con 12600 combinazioni
Possibilità 71 1222333335 con 5040 combinazioni
Possibilità 72 1222333344 con 12600 combinazioni
Possibilità 73 1223333334 con 2520 combinazioni
Possibilità 74 1233333333 con 90 combinazioni
Possibilità 75 2222222256 con 90 combinazioni
Possibilità 76 2222222355 con 360 combinazioni
Possibilità 77 2222222445 con 360 combinazioni
Possibilità 78 2222223336 con 840 combinazioni
Possibilità 79 2222233335 con 1260 combinazioni
Possibilità 80 2222233344 con 2520 combinazioni
Possibilità 81 2222333334 con 1260 combinazioni
Possibilità 82 2223333333 con 120 combinazioni
Intotale fanno 1437720 Possibilità differenti di ottenere 27 con 10 lanci.Le combinazioni sono ovviamente 6^10 = 60466176
Quindi ho la probabilità di ottenere 27 nel 2.38% dei casi.
Spero di non aver dimenticato una qualche combinazione....
Possibilità 1 1111113666 con 840 combinazioni
Possibilità 2 1111114566 con 2520 combinazioni
Possibilità 3 1111115556 con 840 combinazioni
Possibilità 4 1111122666 con 2520 combinazioni
Possibilità 5 1111123566 con 15120 combinazioni
Possibilità 6 1111124466 con 7560 combinazioni
Possibilità 7 1111124556 con 15120 combinazioni
Possibilità 8 1111125555 con 1260 combinazioni
Possibilità 9 1111133466 con 7560 combinazioni
Possibilità 10 1111133556 con 7560 combinazioni
Possibilità 11 1111134456 con 15120 combinazioni
Possibilità 12 1111134555 con 5040 combinazioni
Possibilità 13 1111144446 con 1260 combinazioni
Possibilità 14 1111144455 con 2520 combinazioni
Possibilità 15 1111222566 con 12600 combinazioni
Possibilità 16 1111223556 con 37800 combinazioni
Possibilità 17 1111224456 con 37800 combinazioni
Possibilità 18 1111224555 con 12600 combinazioni
Possibilità 19 1111233366 con 12600 combinazioni
Possibilità 20 1111233456 con 75600 combinazioni
Possibilità 21 1111233555 con 12600 combinazioni
Possibilità 22 1111234446 con 25200 combinazioni
Possibilità 23 1111234455 con 37800 combinazioni
Possibilità 24 1111244445 con 6300 combinazioni
Possibilità 25 1111333356 con 6300 combinazioni
Possibilità 26 1111333455 con 12600 combinazioni
Possibilità 27 1111334445 con 12600 combinazioni
Possibilità 28 1111344444 con 1260 combinazioni
Possibilità 29 1112222466 con 12600 combinazioni
Possibilità 30 1112222556 con 12600 combinazioni
Possibilità 31 1112223366 con 25200 combinazioni
Possibilità 32 1112223456 con 100800 combinazioni
Possibilità 33 1112224455 con 25200 combinazioni
Possibilità 34 1112233356 con 50400 combinazioni
Possibilità 35 1112233446 con 75600 combinazioni
Possibilità 36 1112233455 con 75600 combinazioni
Possibilità 37 1112234445 con 50400 combinazioni
Possibilità 38 1112244444 con 2520 combinazioni
Possibilità 39 1112333346 con 25200 combinazioni
Possibilità 40 1112333355 con 12600 combinazioni
Possibilità 41 1112333445 con 50400 combinazioni
Possibilità 42 1112334444 con 12600 combinazioni
Possibilità 43 1113333336 con 840 combinazioni
Possibilità 44 1113333345 con 5040 combinazioni
Possibilità 45 1122222366 con 7560 combinazioni
Possibilità 46 1122222456 con 15120 combinazioni
Possibilità 47 1122223356 con 37800 combinazioni
Possibilità 48 1122223446 con 37800 combinazioni
Possibilità 49 1122223455 con 37800 combinazioni
Possibilità 50 1122224445 con 12600 combinazioni
Possibilità 51 1122233346 con 50400 combinazioni
Possibilità 52 1122233355 con 25200 combinazioni
Possibilità 53 1122233445 con 75600 combinazioni
Possibilità 54 1122234444 con 12600 combinazioni
Possibilità 55 1122333336 con 7560 combinazioni
Possibilità 56 1122333345 con 37800 combinazioni
Possibilità 57 1122333444 con 25200 combinazioni
Possibilità 58 1123333335 con 2520 combinazioni
Possibilità 59 1123333344 con 7560 combinazioni
Possibilità 60 1133333334 con 360 combinazioni
Possibilità 61 1222222266 con 360 combinazioni
Possibilità 62 1222222356 con 5040 combinazioni
Possibilità 63 1222222446 con 2520 combinazioni
Possibilità 64 1222223346 con 15120 combinazioni
Possibilità 65 1222223355 con 7560 combinazioni
Possibilità 66 1222223445 con 15120 combinazioni
Possibilità 67 1222224444 con 1260 combinazioni
Possibilità 68 1222233336 con 6300 combinazioni
Possibilità 69 1222233345 con 25200 combinazioni
Possibilità 70 1222233444 con 12600 combinazioni
Possibilità 71 1222333335 con 5040 combinazioni
Possibilità 72 1222333344 con 12600 combinazioni
Possibilità 73 1223333334 con 2520 combinazioni
Possibilità 74 1233333333 con 90 combinazioni
Possibilità 75 2222222256 con 90 combinazioni
Possibilità 76 2222222355 con 360 combinazioni
Possibilità 77 2222222445 con 360 combinazioni
Possibilità 78 2222223336 con 840 combinazioni
Possibilità 79 2222233335 con 1260 combinazioni
Possibilità 80 2222233344 con 2520 combinazioni
Possibilità 81 2222333334 con 1260 combinazioni
Possibilità 82 2223333333 con 120 combinazioni
Intotale fanno 1437720 Possibilità differenti di ottenere 27 con 10 lanci.Le combinazioni sono ovviamente 6^10 = 60466176
Quindi ho la probabilità di ottenere 27 nel 2.38% dei casi.
Spero di non aver dimenticato una qualche combinazione....
Penso ci sia un modo più semplice...
La probabilità dovrebbe venire $2665/104976~~0,0254$, credo che Goxer abbia perso qualche caso.
Pachito ha ragione, c'è un altro metodo, forse più semplice però più tecnico.
Pachito ha ragione, c'è un altro metodo, forse più semplice però più tecnico.
Avevo pensato di costruire una variabile aleatoria discreta che assuma i valori da $1$ a $6$ con probabilità $1/6$. Però poi si dovrebbe caratterizzare la variabile aleatoria data dalla somma di $10$ variabili aleatorie del tipo poc'anzi descritto... ed è comunque una cosa laboriosa...
In questi casi non usare un calcolatore è offensivo per la memoria di Alan turing.
In parte condivido il tuo parere Maxos.
Tieni presente che questo problema in una forma più generale è stato discusso nel 1600 da Cardano e Galileo Galilei e risolto in seguito da Montmort e de Moivre con tecniche differenti (per maggiori informazioni: http://xoomer.alice.it/maurocer/Articoli/A43/Art43.htm). Ovviamente a quel tempo non esisteva il calcolatore.
Tuttavia uno degli scopi (forse il più importante) della matematica è quello di creare teorie per banalizzare i problemi.
Non nego l'importanza dell'informatica però in certi contesti è meglio accantonarla.
Domani, sperando che a qualcuno possa interessare, riporto la soluzione di de Moivre.
Anzi scriviamola adesso.
Data una variabile aleatoria discreta $X$, si dice funzione generatrice di probabilità di $X$ la funzione
$G_X(t)=sum_rP_r*t^r$ con $|t|<=1$
dove $P_r$ è la probabilità che $X=r$.
Questo significa che il coefficiente di $t^r$ ci dà la probabilità che $X=r$.
Pertanto se nel problema del dado riesco a ricavare la funzione generatrice di probabilità ad esso associata, la probabilità richiesta sarà data dal coefficiente di $t^27$.
Indichiamo con $S=X_1+X_2+...+X_10$ la variabile aleatoria somma dei punteggi.
Si dimostra che
$G_S(t)=(1/6sum_(r=1)^6t^r)^10=(1/6t)^6((1-t^6)/(1-t))^10$
A questo punto mediante opportuni sviluppi in serie si ottiene
$G_S(t)=1/6^10*sum_(r>=0)(sum_(s>=0)(-1)^s*((10),(s))*((r-6s-1),(9)))*t^r$,
da cui si rivava la distribuzione di probabilità di $S$:
$P(S=r)=1/6^10*sum_(s>=0)(-1)^s*((10),(s))*((r-6s-1),(9))$.
La probabilità richiesta è allora
$P(S=27)=1/6^10*(((26),(9))-((10),(1))*((20),(9))+((10),(2))*((14),(9)))$.
Tieni presente che questo problema in una forma più generale è stato discusso nel 1600 da Cardano e Galileo Galilei e risolto in seguito da Montmort e de Moivre con tecniche differenti (per maggiori informazioni: http://xoomer.alice.it/maurocer/Articoli/A43/Art43.htm). Ovviamente a quel tempo non esisteva il calcolatore.
Tuttavia uno degli scopi (forse il più importante) della matematica è quello di creare teorie per banalizzare i problemi.
Non nego l'importanza dell'informatica però in certi contesti è meglio accantonarla.
Domani, sperando che a qualcuno possa interessare, riporto la soluzione di de Moivre.
Anzi scriviamola adesso.
Data una variabile aleatoria discreta $X$, si dice funzione generatrice di probabilità di $X$ la funzione
$G_X(t)=sum_rP_r*t^r$ con $|t|<=1$
dove $P_r$ è la probabilità che $X=r$.
Questo significa che il coefficiente di $t^r$ ci dà la probabilità che $X=r$.
Pertanto se nel problema del dado riesco a ricavare la funzione generatrice di probabilità ad esso associata, la probabilità richiesta sarà data dal coefficiente di $t^27$.
Indichiamo con $S=X_1+X_2+...+X_10$ la variabile aleatoria somma dei punteggi.
Si dimostra che
$G_S(t)=(1/6sum_(r=1)^6t^r)^10=(1/6t)^6((1-t^6)/(1-t))^10$
A questo punto mediante opportuni sviluppi in serie si ottiene
$G_S(t)=1/6^10*sum_(r>=0)(sum_(s>=0)(-1)^s*((10),(s))*((r-6s-1),(9)))*t^r$,
da cui si rivava la distribuzione di probabilità di $S$:
$P(S=r)=1/6^10*sum_(s>=0)(-1)^s*((10),(s))*((r-6s-1),(9))$.
La probabilità richiesta è allora
$P(S=27)=1/6^10*(((26),(9))-((10),(1))*((20),(9))+((10),(2))*((14),(9)))$.
"Goxer":
Allora
Possibilità 1 1111113666 con 840 combinazioni
Possibilità 2 1111114566 con 2520 combinazioni
Possibilità 3 1111115556 con 840 combinazioni
Possibilità 4 1111122666 con 2520 combinazioni
Possibilità 5 1111123566 con 15120 combinazioni
Possibilità 6 1111124466 con 7560 combinazioni
Possibilità 7 1111124556 con 15120 combinazioni
Possibilità 8 1111125555 con 1260 combinazioni
Possibilità 9 1111133466 con 7560 combinazioni
Possibilità 10 1111133556 con 7560 combinazioni
Possibilità 11 1111134456 con 15120 combinazioni
Possibilità 12 1111134555 con 5040 combinazioni
Possibilità 13 1111144446 con 1260 combinazioni
Possibilità 14 1111144455 con 2520 combinazioni
Possibilità 15 1111222566 con 12600 combinazioni
Possibilità 16 1111223556 con 37800 combinazioni
Possibilità 17 1111224456 con 37800 combinazioni
Possibilità 18 1111224555 con 12600 combinazioni
Possibilità 19 1111233366 con 12600 combinazioni
Possibilità 20 1111233456 con 75600 combinazioni
Possibilità 21 1111233555 con 12600 combinazioni
Possibilità 22 1111234446 con 25200 combinazioni
Possibilità 23 1111234455 con 37800 combinazioni
Possibilità 24 1111244445 con 6300 combinazioni
Possibilità 25 1111333356 con 6300 combinazioni
Possibilità 26 1111333455 con 12600 combinazioni
Possibilità 27 1111334445 con 12600 combinazioni
Possibilità 28 1111344444 con 1260 combinazioni
Possibilità 29 1112222466 con 12600 combinazioni
Possibilità 30 1112222556 con 12600 combinazioni
Possibilità 31 1112223366 con 25200 combinazioni
Possibilità 32 1112223456 con 100800 combinazioni
Possibilità 33 1112224455 con 25200 combinazioni
Possibilità 34 1112233356 con 50400 combinazioni
Possibilità 35 1112233446 con 75600 combinazioni
Possibilità 36 1112233455 con 75600 combinazioni
Possibilità 37 1112234445 con 50400 combinazioni
Possibilità 38 1112244444 con 2520 combinazioni
Possibilità 39 1112333346 con 25200 combinazioni
Possibilità 40 1112333355 con 12600 combinazioni
Possibilità 41 1112333445 con 50400 combinazioni
Possibilità 42 1112334444 con 12600 combinazioni
Possibilità 43 1113333336 con 840 combinazioni
Possibilità 44 1113333345 con 5040 combinazioni
Possibilità 45 1122222366 con 7560 combinazioni
Possibilità 46 1122222456 con 15120 combinazioni
Possibilità 47 1122223356 con 37800 combinazioni
Possibilità 48 1122223446 con 37800 combinazioni
Possibilità 49 1122223455 con 37800 combinazioni
Possibilità 50 1122224445 con 12600 combinazioni
Possibilità 51 1122233346 con 50400 combinazioni
Possibilità 52 1122233355 con 25200 combinazioni
Possibilità 53 1122233445 con 75600 combinazioni
Possibilità 54 1122234444 con 12600 combinazioni
Possibilità 55 1122333336 con 7560 combinazioni
Possibilità 56 1122333345 con 37800 combinazioni
Possibilità 57 1122333444 con 25200 combinazioni
Possibilità 58 1123333335 con 2520 combinazioni
Possibilità 59 1123333344 con 7560 combinazioni
Possibilità 60 1133333334 con 360 combinazioni
Possibilità 61 1222222266 con 360 combinazioni
Possibilità 62 1222222356 con 5040 combinazioni
Possibilità 63 1222222446 con 2520 combinazioni
Possibilità 64 1222223346 con 15120 combinazioni
Possibilità 65 1222223355 con 7560 combinazioni
Possibilità 66 1222223445 con 15120 combinazioni
Possibilità 67 1222224444 con 1260 combinazioni
Possibilità 68 1222233336 con 6300 combinazioni
Possibilità 69 1222233345 con 25200 combinazioni
Possibilità 70 1222233444 con 12600 combinazioni
Possibilità 71 1222333335 con 5040 combinazioni
Possibilità 72 1222333344 con 12600 combinazioni
Possibilità 73 1223333334 con 2520 combinazioni
Possibilità 74 1233333333 con 90 combinazioni
Possibilità 75 2222222256 con 90 combinazioni
Possibilità 76 2222222355 con 360 combinazioni
Possibilità 77 2222222445 con 360 combinazioni
Possibilità 78 2222223336 con 840 combinazioni
Possibilità 79 2222233335 con 1260 combinazioni
Possibilità 80 2222233344 con 2520 combinazioni
Possibilità 81 2222333334 con 1260 combinazioni
Possibilità 82 2223333333 con 120 combinazioni
Intotale fanno 1437720 Possibilità differenti di ottenere 27 con 10 lanci.Le combinazioni sono ovviamente 6^10 = 60466176
Quindi ho la probabilità di ottenere 27 nel 2.38% dei casi.
Spero di non aver dimenticato una qualche combinazione....
hai usato un programma o l'hai fatta una per una ?
@Goxer
Non ci posso credere!
Se non sei tu è una coincidenza incredibile:
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=118461
Se proprio vuoi conoscere la soluzione di questo problema ti mando un PM.
Non ci posso credere!
Se non sei tu è una coincidenza incredibile:
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=118461
Se proprio vuoi conoscere la soluzione di questo problema ti mando un PM.
"Piera":
Si dimostra che
$G_S(t)=(1/6sum_(r=1)^6t^r)^10=(1/6t)^6((1-t^6)/(1-t))^10$
Detto così, sembra un pò magico... anche se non lo è...
In pratice credo valga (e discende direttamente da come si esegue il prodotto di polinomi):
- siano $X,Y$ due variabili che possano assumere valori interi $>=0$. Siano $p(t),q(t)$ le loro funzioni generatrici di probabilità. Allora la variabile somma $X+Y$ ha funzione generatrice di probabilità $r(t)=p(t)q(t)$.
molto bello!
Speravo proprio che a qualcuno piacesse!
Per maggior chiarezza aggiungo la seguente parte.
La funzione generatrice del primo lancio $X_1$ è
$G_(X_1)(t)=1/6sum_(r=1)^6t^r$.
Essendo le variabili $X_i$ indipendenti e identicamente distribuite, per una proprietà della funzione generatrice di probabilità si ha $G_S(t)=G_(X_1+X_2+...+X_10)(t)=(G_(X_1)(t))^10=(1/6sum_(r=1)^6t^r)^10$.
Per maggior chiarezza aggiungo la seguente parte.
La funzione generatrice del primo lancio $X_1$ è
$G_(X_1)(t)=1/6sum_(r=1)^6t^r$.
Essendo le variabili $X_i$ indipendenti e identicamente distribuite, per una proprietà della funzione generatrice di probabilità si ha $G_S(t)=G_(X_1+X_2+...+X_10)(t)=(G_(X_1)(t))^10=(1/6sum_(r=1)^6t^r)^10$.
Ciao,
piera mi daresti un illuminazione sugli 'opportuni sviluppi in serie' di cui parli?
piera mi daresti un illuminazione sugli 'opportuni sviluppi in serie' di cui parli?
Allora, partiamo da qui
$G_S(t)=(1/6t)^10((1-t^6)/(1-t))^10=1/6^10*t^10*(1-t)^(-10)*(1-t^6)^10$.
$(1-t)^(-10)=sum_(i=0)^(+infty)((-10),(i))(-1)^it^i= sum_(i=0)^(+infty)((10+i-1),(i))t^i$,
per eseguire tale sviluppo si utilizza la serie binomiale mentre nel secondo passaggio si utilizza
la seguente proprietà del coefficiente binomiale generalizzato: $((-10),(i))(-1)^i=((10+i-1),(i))$.
$(1-t^6)^10 = sum_(s=0)^10 (-1)^s*((10),(s))*t^(6s)$ per il binomio di Newton.
Pertanto
$G_S(t)=1/6^10*t^10 sum_(s=0)^10 (-1)^s*((10),(s))*t^(6s)* sum_(i=0)^(+infty)((10+i-1),(i))t^i=$
$=1/6^10*sum_(i,s>=0) (-1)^s*((10),(s))* ((10+i-1),(i))*t^(6s+10+i)$.
A questo punto posto $6s+10+i=r$, e tenendo conto che sostituendo $i$ con $r-6s-10$
$((10+i-1),(i))= ((r-6s-1),(r-6s-10))= ((r-6s-1),(9))$, si ha
$G_S(t)= 1/6^10*sum_(r>=0)(sum_(s>=0)(-1)^s*((10),(s))* ((r-6s-1),(9)))*t^r$.
$G_S(t)=(1/6t)^10((1-t^6)/(1-t))^10=1/6^10*t^10*(1-t)^(-10)*(1-t^6)^10$.
$(1-t)^(-10)=sum_(i=0)^(+infty)((-10),(i))(-1)^it^i= sum_(i=0)^(+infty)((10+i-1),(i))t^i$,
per eseguire tale sviluppo si utilizza la serie binomiale mentre nel secondo passaggio si utilizza
la seguente proprietà del coefficiente binomiale generalizzato: $((-10),(i))(-1)^i=((10+i-1),(i))$.
$(1-t^6)^10 = sum_(s=0)^10 (-1)^s*((10),(s))*t^(6s)$ per il binomio di Newton.
Pertanto
$G_S(t)=1/6^10*t^10 sum_(s=0)^10 (-1)^s*((10),(s))*t^(6s)* sum_(i=0)^(+infty)((10+i-1),(i))t^i=$
$=1/6^10*sum_(i,s>=0) (-1)^s*((10),(s))* ((10+i-1),(i))*t^(6s+10+i)$.
A questo punto posto $6s+10+i=r$, e tenendo conto che sostituendo $i$ con $r-6s-10$
$((10+i-1),(i))= ((r-6s-1),(r-6s-10))= ((r-6s-1),(9))$, si ha
$G_S(t)= 1/6^10*sum_(r>=0)(sum_(s>=0)(-1)^s*((10),(s))* ((r-6s-1),(9)))*t^r$.
grazie mille!
mi sa che mi devo ripassare un po' i coefficienti binomiali
ciao!
mi sa che mi devo ripassare un po' i coefficienti binomiali
ciao!
x Piera.
È davvero una coincidenza quello é un altro goxer (ed io che credevo di essere unico...)
x Nato pigro.
Le sequenze le ho scritte a mano e ne ho dimenticato una qualcuna. Adesso arrivo a 2.49%. Per il calcolo delle combinazioni e le varie somme una tabella excel.
Ciao
È davvero una coincidenza quello é un altro goxer (ed io che credevo di essere unico...)
x Nato pigro.
Le sequenze le ho scritte a mano e ne ho dimenticato una qualcuna. Adesso arrivo a 2.49%. Per il calcolo delle combinazioni e le varie somme una tabella excel.
Ciao
Chiedo aiuto per un problema che da tempo perseguita i giocatori di D&D: se lancio 4 dadi a sei facce (1, 2, 3, 4, 5, 6) e sommo solo i tre valori piu' alti scartando il piu' basso qual e' il valore medio che ottengo? E se quando ottengo 1 tiro di nuovo quel dado?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo