La somma fa 15?

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Due giocatori , \(A\) e \(B\), a turno (cominciando da \(A\)) dicono un numero compreso tra uno e nove senza ripetizione. Il gioco è vinto dal giocatore che ha detto tre numeri la cui somma è 15. Se \(A\) e \(B\) giocano in modo perfetto come termina il gioco? Vince \(A\), \(B\) o finisce in parità?

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Se A dice 5, B può rispondere 5?

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

No, i numeri non possono ripetersi.

[axpgn]

A me sembra che nessuno vinca ...

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Mi sembra che A possa vincere dicendo 8. Per esempio se B dice 6, allora A dice 4 forzando che B dica 3 (perché 8+4+3=15) a questo punto A dice 2 e vince perché minaccia 5 e 9 (perché 8+2+5=15 e 4+2+9=15) e B non fa 15 perché avendo 6 e 3 dovrebbe giocare un altro 6. Sintetizzando tutto questo con la sequenza di giocate 86432, possiamo ragionare analogamente negli altri casi ottenendo (per esempio)

80615
81435
82436
83612
84076
8543702
86432
87614
89435

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"axpgn":A me sembra che nessuno vinca ...

Spoiler per favore.

Sì, ma perché?

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"Martino":

Mi sembra che A possa vincere dicendo 8. Per esempio se B dice 6, allora A dice 4 forzando che B dica 3 (perché 8+4+3=15) a questo punto A dice 2 e vince perché minaccia 5 e 9 (perché 8+2+5=15 e 4+2+9=15) e B non fa 15 perché avendo 6 e 3 dovrebbe giocare un altro 6. Sintetizzando tutto questo con la sequenza di giocate 86432, possiamo ragionare analogamente negli altri casi ottenendo (per esempio)

80615
81435
82436
83612
84076
8543702
86432
87614
89435

No! ti faccio notare che 0 non è un numero possibile, i numeri sono compresi tra 1 e 9 (estremi compresi)

Se $A$ dice 8 e $B$ dice 5 finisce in parità se giocano entrambi in modo perfetto. La tua sequenza con 85 è sbagliata dopo il 7 $B$ ha una strategia migliore di 0.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"3m0o":

La tua sequenza con 85 è sbagliata dopo il 7 $B$ ha una strategia migliore di 0.

Non mi pare, se B non dice 0 allora A dice 0 e vince, dato che 8+7+0=15. Certo, avevo considerato erroneamente i numeri possibili tra 0 e 9, è interessante osservare che esiste una strategia vincente per A se i numeri possibili sono quelli tra 0 e 9.

[axpgn]

"3m0o":

Sì, ma perché?

Perché ho fatto i conti

Qualsiasi numero scelga $A$ può esser stoppato da $B$ e viceversa.

$A$ sceglie un numero, $B$ può fermarlo subito o al turno successivo; sia che lo faccia subito oppure dopo, $A$ ha sempre la possibilità di impedirgli di arrivare a metà.
In pratica tutte le terne possibili sono "indipendenti", non ci sono "ridondanze".

Ciao, Alex

[axpgn]

@Martino

Ma utilizzare lo zero significa utilizzare solo DUE numeri, è questa la differenza non tanto lo zero in sé.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"Martino":[quote="3m0o"]

La tua sequenza con 85 è sbagliata dopo il 7 $B$ ha una strategia migliore di 0.

Non mi pare, se B non dice 0 allora A dice 0 e vince, dato che 8+7+0=15. Certo, avevo considerato erroneamente i numeri possibili tra 0 e 9, è interessante osservare che esiste una strategia vincente per A se i numeri possibili sono quelli tra 0 e 9.

[/quote]

Ah già $8+7+0=15$! Beh comunque $0$ non è tra le scelte possibili quindi la risposta rimane comunque no

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"axpgn":[quote="3m0o"]

Sì, ma perché?

Perché ho fatto i conti

Qualsiasi numero scelga $A$ può esser stoppato da $B$ e viceversa.

$A$ sceglie un numero, $B$ può fermarlo subito o al turno successivo; sia che lo faccia subito oppure dopo, $A$ ha sempre la possibilità di impedirgli di arrivare a metà.
In pratica tutte le terne possibili sono "indipendenti", non ci sono "ridondanze".

Ciao, Alex[/quote]
Non mi convinci così

[axpgn]

Dovrei postare tutta la casistica ma verrebbe un po' lunga ... magari a puntate ...

[axpgn]

Per esempio ...

$A$ sceglie $1$
$B$ sceglie $5$ (e così facendo rovina la serie 1-5-9 per $A$)
$A$ sceglie $6$
$B$ sceglie $8$ (e così facendo rovina la serie 1-6-8 per $A$ che non ha alternative)
$A$ sceglie $4$ per evitare la sua sconfitta.

$A$ sceglie $1$
$B$ sceglie $5$ (e così facendo rovina la serie 1-5-9 per $A$)
$A$ sceglie $8$
$B$ sceglie $6$ (e così facendo rovina la serie 1-6-8 per $A$ che non ha alternative)
$A$ sceglie $4$ per evitare la sua sconfitta.

ecc.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"axpgn":Dovrei postare tutta la casistica ma verrebbe un po' lunga ... magari a puntate ...

Non è necessaria nessuna casistica

Hint:

Quasi tutte le persone del mondo sanno che è un gioco che finisce in parità e ci hanno giocato almeno una volta

"axpgn":Per esempio ...

$ A $ sceglie $ 1 $
$ B $ sceglie $ 5 $ (e così facendo rovina la serie 1-5-9 per $ A $)
$ A $ sceglie $ 6 $
$ B $ sceglie $ 8 $ (e così facendo rovina la serie 1-6-8 per $ A $ che non ha alternative)
$ A $ sceglie $ 4 $ per evitare la sua sconfitta.

$ A $ sceglie $ 1 $
$ B $ sceglie $ 5 $ (e così facendo rovina la serie 1-5-9 per $ A $)
$ A $ sceglie $ 8 $
$ B $ sceglie $ 6 $ (e così facendo rovina la serie 1-6-8 per $ A $ che non ha alternative)
$ A $ sceglie $ 4 $ per evitare la sua sconfitta.

ecc.

Nel primo esempio a me sembra a dire il vero che $A$ debba scegliere $2$

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Ommadonna

[axpgn]

Vabbè è Tris o TicTacToe ma la casistica è più chic (l'ho vista studiata in questo modo su un libro di prima della guerra)

$A$ sceglie $1$ perché la casistica inizia in modo ordinato

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"Martino":Ommadonna

Esatto

"axpgn":

Vabbè è Tris o TicTacToe ma la casistica è più chic (l'ho vista studiata in questo modo su un libro di prima della guerra)

$ A $ sceglie $ 1 $ perché la casistica inizia in modo ordinato

Eheh

Basta formare un quadrato magico 3x3 la cui somma di ogni riga colonna e diagonale è 15 ed è isomorfo a Tris.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

E la versione $n xx n$ del tic tac toe è una patta per ogni $n ge 3$?

La versione aritmetica sarebbe: A e B scelgono i numeri da $1$ a $n^2$ senza ripetizione e vince chi riesce per primo ad avere $n$ numeri la cui somma è $1/2 n (n^2+1)$.

[Quinzio]

Beh, quando hanno giocato A poi B poi A, a questo punto A ha una sola possibilita' per fare 15, e B sceglie proprio quel numero, quindi A non puo' mai vincere.
Ma A puo' adottare la stessa strategia, ovvero dopo A B A B, a questo punto A gioca il numero che servirebbe a B per fare 15, quindi nessuno vince mai.
Cosa mi sono perso ?

PS. Bisognerebbe specificare meglio cosa significa giocare in modo perfetto. Vincere entrambi e' meglio che perdere entrambi ?
Il problema di vincere entrambi e' che ci si mette d'accordo ed e' possibile vincere entrambi, quindi credo che sia da scartare.

Adesso vado a sbirciare le vostre risposte.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"Martino":

E la versione $n xx n$ del tic tac toe è una patta per ogni $n ge 3$?

La versione aritmetica sarebbe: A e B scelgono i numeri da $1$ a $n^2$ senza ripetizione e vince chi riesce per primo ad avere $n$ numeri la cui somma è $1/2 n (n^2+1)$.

Se \( n \geq 8 \) la partita finisce in parità. Se \( 3 < n < 8 \) devo pensarci, ma probabilmente finisce in parità.