La conta
Dieci pellegrini, a sera, arrivarono ad una locanda; purtroppo c'erano solo cinque posti disponibili perciò decisero di tirare a sorte.
Si disposero in cerchio e la moglie del più anziano iniziò a contare in senso orario, partendo da sé stessa: l'undicesima persona veniva esclusa.
Malauguratamente la donna fraintese i suggerimenti del marito volti ad escludere tutti gli uomini ed accadde esattamente il contrario.
Da chi doveva partire e quale avrebbe dovuto essere il numero da utilizzare che le aveva suggerito l'uomo?
La disposizione dei dieci in senso orario e partendo dalla donna era la seguente:
$D - U - D - U - U - D - U - D - U - D$.
Cordialmente, Alex
Si disposero in cerchio e la moglie del più anziano iniziò a contare in senso orario, partendo da sé stessa: l'undicesima persona veniva esclusa.
Malauguratamente la donna fraintese i suggerimenti del marito volti ad escludere tutti gli uomini ed accadde esattamente il contrario.
Da chi doveva partire e quale avrebbe dovuto essere il numero da utilizzare che le aveva suggerito l'uomo?
La disposizione dei dieci in senso orario e partendo dalla donna era la seguente:
$D - U - D - U - U - D - U - D - U - D$.
Cordialmente, Alex
Risposte
ieri sera ne ho trovato uno, ma non penso che sia l'unico; per ora lo metto in spoiler, e mi farò risentire quando avrò un po' di tempo per riprendere il "discorso".
EDIT: mentre ho ripreso gli appunti per copiare il numero trovato ieri sera, mi sono accorta di un'altra particolarità, per cui ora ne aggiungo un altro.
ciao.
EDIT: mentre ho ripreso gli appunti per copiare il numero trovato ieri sera, mi sono accorta di un'altra particolarità, per cui ora ne aggiungo un altro.
ciao.
Dovresti specificare da chi parti ...
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
sì, ho dato per scontato che si partisse dalla prima: il marito le dà un numero e lei parte da sé stessa contando 11, ed in effetti vengono così eliminate tutte le donne.
ho prima verificato questo, e cioè che partendo dalla prima persona della fila e contando sempre fino a 11 si eliminavano tutte le donne, per cui ho risposto alla domanda: che numero doveva usare al posto di 11 per eliminare tutti gli uomini lasciando tutte le altre cose e regole invariate, cioè partendo da se stessa e procedendo nello stesso modo?
mi era sfuggito "da chi doveva partire" .....
in tal caso i quesiti diventano due distinti.
ciao!
ho prima verificato questo, e cioè che partendo dalla prima persona della fila e contando sempre fino a 11 si eliminavano tutte le donne, per cui ho risposto alla domanda: che numero doveva usare al posto di 11 per eliminare tutti gli uomini lasciando tutte le altre cose e regole invariate, cioè partendo da se stessa e procedendo nello stesso modo?
mi era sfuggito "da chi doveva partire" .....
in tal caso i quesiti diventano due distinti.
ciao!
Rispondo ora alla domanda che pare fosse quella iniziale:
partendo dalla disposizione indicata da Alex, mantenendo sempre lo stesso verso, iniziando a contare da una posizione qualsiasi ma ad ogni eliminazione riprendendo a contare dalla posizione successiva a quella della persona appena eliminata, qual è il numero più piccolo per cui è possibile eliminare i cinque uomini? da chi bisogna partire all'inizio della conta?
credo di aver verificato che non è possibile per numeri più piccoli, ma se mi è sfuggito qualcosa aspetto correzioni.
lascio come rilancio l'altro quesito:
qual è il più piccolo numero, con le stesse condizioni, partendo dalla prima persona della fila?
io però non credo di verificare presto gli altri casi di cui parlavo nei messaggi precedenti;
se qualcuno fosse interessato, posso postare le nove stringhe di cui parlavo.
partendo dalla disposizione indicata da Alex, mantenendo sempre lo stesso verso, iniziando a contare da una posizione qualsiasi ma ad ogni eliminazione riprendendo a contare dalla posizione successiva a quella della persona appena eliminata, qual è il numero più piccolo per cui è possibile eliminare i cinque uomini? da chi bisogna partire all'inizio della conta?
credo di aver verificato che non è possibile per numeri più piccoli, ma se mi è sfuggito qualcosa aspetto correzioni.
lascio come rilancio l'altro quesito:
qual è il più piccolo numero, con le stesse condizioni, partendo dalla prima persona della fila?
io però non credo di verificare presto gli altri casi di cui parlavo nei messaggi precedenti;
se qualcuno fosse interessato, posso postare le nove stringhe di cui parlavo.
"adaBTTLS":
...qual è il numero più piccolo per cui è possibile eliminare i cinque uomini? da chi bisogna partire all'inizio della conta? ...
Meno ...
... e anche la persona è diversa ..."adaBTTLS":
lascio come rilancio l'altro quesito:
qual è il più piccolo numero, con le stesse condizioni, partendo dalla prima persona della fila?
"adaBTTLS":
se qualcuno fosse interessato, posso postare le nove stringhe di cui parlavo.
Io sono sicuramente interessato al tuo procedimento però aspetterei a metterle quando è risolto ...
Cordialmente, Alex
per come avevo scritto prima non avrei potuto correggere gli eventuali errori.
ritornando indietro sui numeri più piccoli, cercando di scarabocchiare il meno possibile, mi sono fermata ad un numero per il problema iniziale: il rilancio non ho opportunità né voglia per ora di riprenderlo.
ritornando indietro sui numeri più piccoli, cercando di scarabocchiare il meno possibile, mi sono fermata ad un numero per il problema iniziale: il rilancio non ho opportunità né voglia per ora di riprenderlo.
Da ex informatico ho risolto codificando 22 istruzioni in Basic OO + 10 assegnazioni di costanti.
Trovate 5 soluzioni sotto 100 e 14 soluzioni sotto 300.
Compresa l'ultima di adaBTTLS e quella di axpgn al suo rilancio.
Come procede un matematico senza sprecarsi in troppi calcoli ?
Trovate 5 soluzioni sotto 100 e 14 soluzioni sotto 300.
Compresa l'ultima di adaBTTLS e quella di axpgn al suo rilancio.
Come procede un matematico senza sprecarsi in troppi calcoli ?
"veciorik":
Da ex informatico ho risolto codificando 22 istruzioni in Basic OO + 10 assegnazioni di costanti.
Trovate 5 soluzioni sotto 100 e 14 soluzioni sotto 300.
Compresa l'ultima di adaBTTLS e quella di axpgn al suo rilancio.
Come procede un matematico senza sprecarsi in troppi calcoli ?
detto tra noi, volevo usare l'informatica, ma sarei forse stata capace di scrivere in Pascal, e invece non sono stata capace di ritrovare opportune funzioni su Excel...!
il metodo di Alex non so quale sia, ce lo faremo dire, ma quello che mi ha permesso di trovare il numero più piccolo è stato banale e brutale, perché ho dovuto correggere il tiro e mi sono fidata (troppo?) di Alex che mi ha assicurato che il numero non era troppo grande.
sull'altro caso (quello del rilancio) forse un po' di matematica c'è nel mio procedimento, ma mi sono accorta che era troppo lungo, e per questo avrei voluto usare l'informatica. a proposito, ti do in spoiler alcune indicazioni, però per il momento ti invito a decodificare le famose stringhe ...
se hai i risultati trovati con l'algoritmo, forse sarà facile decifrare il mio linguaggio!
"adaBTTLS":
È il minimo assoluto.
Provo a decifrare ...
Dato che il primo uomo può essere eliminato in $5$ modi, il secondo in $4$ e così via, le diverse combinazioni saranno $5!$.
Le stringhe che hai scritto presumo siano i $5$ resti modulo $10$, $9$, ecc. richiesti al numero che deve eliminare tutti gli uomini.
A questo punto hai cercato la soluzione di queste cinque congruenze (presumo si dica così ...).
Inoltre il tutto va ripetuto per le dieci possibili disposizioni.
Troppo lungo ...
... una mezza idea mi era venuta ma ... meglio l'informtica ...
Cordialmente, Alex
Dato che il primo uomo può essere eliminato in $5$ modi, il secondo in $4$ e così via, le diverse combinazioni saranno $5!$.
Le stringhe che hai scritto presumo siano i $5$ resti modulo $10$, $9$, ecc. richiesti al numero che deve eliminare tutti gli uomini.
A questo punto hai cercato la soluzione di queste cinque congruenze (presumo si dica così ...).
Inoltre il tutto va ripetuto per le dieci possibili disposizioni.
Troppo lungo ...
... una mezza idea mi era venuta ma ... meglio l'informtica ... Cordialmente, Alex
eh, sì, l'interpretazione è corretta, almeno per le classi resto.
ma qual è il tuo metodo per il problema originario?
..... a proposito, come hai ottenuto 244 ?
ma qual è il tuo metodo per il problema originario?
..... a proposito, come hai ottenuto 244 ?
adaBTTLS, non mi trovo con le tue 9 stringhe.
Il mio algoritmo è minimalista:
Il mio algoritmo è minimalista:
- 1. conto N pellegrini, variando l'incognita N da 2 fino a 300 o più
2. inizio dalla prima donna in posizione 1
3. segno l'ennesimo come eliminato, cioè U=uomo
4. ripeto 5 volte il ciclo di eliminazione, saltando ovviamente i già eliminati
5. ottengo una stringa di dieci simboli: cinque U e cinque D
6. confronto la stringa con le dieci ottenute con rotazione antioraria di I=0...9 posizioni della stringa data "DUDUUDUDUD"
7. se coincide, ho trovato le due incognite: N e la posizione I+1 da cui iniziare la conta
[/list:u:21vqeq8p]
vediamo un po': ti illustro la prima, magari riesci a trovare un numero da lì, io non ci ho provato.
41254 significa: parto da DUDUUDUDUD
il numero è congruo a 4 modulo 10, dunque elimino il quarto elemento (e riscrivo gli altri nove a partire dal quinto)
UDUDUDDUD
il numero è congruo a 1 modulo 9, dunque elimino il primo elemento e riparto da DUDUDDUD
il numero è congruo a 2 modulo 8, dunque elimino il secondo elemento (e riscrivo gli altri a partire dal terzo)
DUDDUDD
il numero è congruo a 5 modulo 7, per cui elimino il quinto elemento) e riscrivo gli altri a partire dal sesto
DDDUDD
il numero è congruo a 4 modulo 6, per cui elimino il quarto elemento: rimango con 5 donne
DDDDD
la cosa è possibile se e solo se un tale numero esiste.
a tal proposito, l'informatica è ben accetta.
41254 significa: parto da DUDUUDUDUD
il numero è congruo a 4 modulo 10, dunque elimino il quarto elemento (e riscrivo gli altri nove a partire dal quinto)
UDUDUDDUD
il numero è congruo a 1 modulo 9, dunque elimino il primo elemento e riparto da DUDUDDUD
il numero è congruo a 2 modulo 8, dunque elimino il secondo elemento (e riscrivo gli altri a partire dal terzo)
DUDDUDD
il numero è congruo a 5 modulo 7, per cui elimino il quinto elemento) e riscrivo gli altri a partire dal sesto
DDDUDD
il numero è congruo a 4 modulo 6, per cui elimino il quarto elemento: rimango con 5 donne
DDDDD
la cosa è possibile se e solo se un tale numero esiste.
a tal proposito, l'informatica è ben accetta.
@adaBTTLS
L'ho già detto ... meglio l'informatica ...
Anch'io avevo pensato ad una strada di quel tipo, con sequenze e congruenze (difatti per la verifica manuale di un numero ci vuole un attimo) ma non ho la tua pazienza, che è veramente tanta ...
Sarebbe molto interessante sapere come l'ha risolto l'autore, dato che risale a più di un secolo fa ...
Come ultima curiosità, si raggiunge lo stesso risultato, partendo dalla stessa persona, aggiungendo alla soluzione minima un multiplo di $2520$.
Cordialmente, Alex
P.S.: mentre scrivevo, vedo che hai aggiunto un post col tuo metodo: non ci crederai ma è l'algoritmo che ho usato nel programmino ...
L'ho già detto ... meglio l'informatica ...
Anch'io avevo pensato ad una strada di quel tipo, con sequenze e congruenze (difatti per la verifica manuale di un numero ci vuole un attimo) ma non ho la tua pazienza, che è veramente tanta ...
Sarebbe molto interessante sapere come l'ha risolto l'autore, dato che risale a più di un secolo fa ...
Come ultima curiosità, si raggiunge lo stesso risultato, partendo dalla stessa persona, aggiungendo alla soluzione minima un multiplo di $2520$.
Cordialmente, Alex
P.S.: mentre scrivevo, vedo che hai aggiunto un post col tuo metodo: non ci crederai ma è l'algoritmo che ho usato nel programmino ...
naturalmente, mcm(6,7,8,9,10)=2520
244 corrisponde alla seconda stringa: 41464.
ma il tuo 29 forse non l'hai ricavato con l'informatica, o sbaglio?
244 corrisponde alla seconda stringa: 41464.
ma il tuo 29 forse non l'hai ricavato con l'informatica, o sbaglio?
Beh, ovviamente con l'informatica viene, ma era sufficientemente basso per arrivarci "a mano" (col metodo detto prima, senza contare fino a 29 ... 
)
Cordialmente, Alex
)Cordialmente, Alex
"axpgn":
Sarebbe molto interessante sapere come l'ha risolto l'autore, dato che risale a più di un secolo fa ...
Beh! Se lo incontro nell'aldilà te lo comunicherò. Promesso. Di certo l'autore ha un grosso vantaggio: può inserire uomini e donne nelle posizioni che preferisce. Al più, per esser certo che non vi siano soluzioni più semplici della sua deve fare un po' di controlli, che sono comunque facilitati dalle regole del gioco.
Non credo esista, per l'approccio a manina, ma anche per quello informatico (se si cerca l'efficienza, ormai diventata quasi sinonimo di pedanteria, vista la velocità dei computer), modo migliore del procedere a ritroso.
1) scelgo l'ultima persona da eliminare (5 modi diversi).
2) scelgo la penultima (4 modi diversi), misuro la distanza $ d_6 $ (in quel momento è presente un solo maschio), tenendo conto che posso fare un numero di giri a piacere, ho individuato la classe di resto modulo $ 6 $ del numero che cerco $ n $.
3) scelgo la terzultima (3 maniere diverse), misuro la distanza $ d_7 $, osservato che $ 6 $ e $ 7 $ sono coprimi, ho individuato la classe di resto modulo $ 42 $ di $ n $.
4) scelgo il quartultimo (2 maniere diverse), misuro la distanza $ d_8 $ e, questa volta, incontro la prima difficoltà $ 8 $ e $ 42 $ hanno in comune un fattore $ 2 $, se $ d_8 $ e $ n $ sono di parità diversa, non esiste soluzione, altrimenti ho individuato la classe di resto modulo $ 168 $ di $ n $.
5) scelgo..., non posso scegliere, mi resta solo l'uomo primo eliminato, misuro la distanza $ d_9 $, $ 9 $ e $ 168 $ hanno in comune il fattore $ 3 $, in circa $ 1/3 $ dei casi mi andrà bene ed ho trovato la classe di resto modulo $ 504 $ di $ n $, nei restanti non esiste soluzione.
Mediamente, posizionando a caso gli uomini e le donne, dovrebbero esistere $ 20 $ soluzioni base diverse. Tutto questo lasciando libertà nella scelta del punto di inizio della conta. Se lo si vuole fissare dovrebbero diventare solo $ 10 $.
Ciao
B.
"orsoulx":
Mediamente, posizionando a caso gli uomini e le donne, dovrebbero esistere $ 20 $ soluzioni base diverse. Tutto questo lasciando libertà nella scelta del punto di inizio della conta. Se lo si vuole fissare dovrebbero diventare solo $ 10 $.
pensi forse che ho cancellato una stringa di troppo, oppure $10$ è solo un'approssimazione?
"adaBTTLS":
pensi forse che ho cancellato una stringa di troppo, oppure 10 è solo un'approssimazione?
Ho pensato che lanciando 120 normali dadi equi, eliminando quelli che presentano un risultato dispari; lanciando i sopravvissuti, eliminando quelli che presentano un numero non multiplo di tre; lanciando ancora una volta i restanti ed eliminando i risultati dispari; il valor medio del numero di dadi che hanno superato le tre prove sia 10.
Le nove stringhe che hai trovato sono del tutto compatibili con questo risultato. Ma non solo! Visto che l'eliminazione delle persone nella conta dipende fortemente da quanto è successo in precedenza, mentre il lancio dei dadi non ha 'memoria', nutro grossi dubbi sull'attendibilità del modello a dadi, ed allora ho usato ogni volta il condizionale.
Ciao
B.
Se qualcuno che ha risolto il quesito con il computer, volesse provare a conteggiare il numero di soluzioni per ogni possibile permutazione delle posizioni iniziali, si potrebbe stabilire il loro esatto valor medio.
Ho fatto un controllo solo per le dieci disposizioni che si ricavano da quella originale partendo da una persona diversa ma mantenendone l'ordine e la sequenza di soluzioni è regolarissima: è tutta un'alternanza di $9$ e $11$ ...
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