Interi $a_1,a_2...$ tali che $1/(a_1)+1/(a_2)+...=infty$
Sia $a_1,a_2,a_3...$ una successione di interi positivi dispari tali che
$1/(a_1)+1/(a_2)+1/(a_3)+...=infty$
dimostrare che per ogni $v$ esiste un intero $n$ tale che si possa rappresentare come somma di due interi $a$ in un numero di modi distinti $>v$.
!)La rappresentazione $a_i+a_j$ e considerata distinta dalla rappresentazione $a_j+a_i$ se e solo se $i!=j$.
$1/(a_1)+1/(a_2)+1/(a_3)+...=infty$
dimostrare che per ogni $v$ esiste un intero $n$ tale che si possa rappresentare come somma di due interi $a$ in un numero di modi distinti $>v$.
!)La rappresentazione $a_i+a_j$ e considerata distinta dalla rappresentazione $a_j+a_i$ se e solo se $i!=j$.
Risposte
$H=\sum_{i=1}^{\infty} i^{-1}$$>\frac 1 2 +\frac 1 4 +\frac 1 4 +\frac 1 8 +\frac 1 8 +\frac 1 8 +\frac 1 8 +...=\frac {\infty}{2}=\infty$.
Ora, si possono eliminare elementi (anche infiniti) della sequenza $\{a_{i=1}^{\infty}\}$ in modo da far rimanere solo i reciproci di elementi appartenenti a una medesima serie aritmetica (per i pigeonhole), creando una serie affine di interi $\{h_{i=1}^{\infty}\}$, dove ogni $h_j$ è un $a_i$ (i). Dato che $N=h(v+2)+2c$ è ottenibile come somma di due elementi di $\{h\}$ $\forall v\in NN$ , la tesi.
La dimostrazione della (i) è appunto fattibile con i pigeonhole e per assurdo, ma non ne sono sicuro, dato che non ho molto tempo
.
Ora, si possono eliminare elementi (anche infiniti) della sequenza $\{a_{i=1}^{\infty}\}$ in modo da far rimanere solo i reciproci di elementi appartenenti a una medesima serie aritmetica (per i pigeonhole), creando una serie affine di interi $\{h_{i=1}^{\infty}\}$, dove ogni $h_j$ è un $a_i$ (i). Dato che $N=h(v+2)+2c$ è ottenibile come somma di due elementi di $\{h\}$ $\forall v\in NN$ , la tesi.
La dimostrazione della (i) è appunto fattibile con i pigeonhole e per assurdo, ma non ne sono sicuro, dato che non ho molto tempo
.
"ArkhamG":
Dato che $N=h(v+1)+2c$ è ottenibile come somma di due elementi di $\{h\}$ $\forall v\in NN$ , la tesi.
La cosa è un parecchio oscura...in ogni caso che $N$ sia somma di $a$ non è molto interessante, se $N$ è rapprensetabile come somma di $a$ in un numero $>v$ di modi invece...
intendevo in v+1 modi diversi : N=ha+c+h(v+2-a)+c...
: N=ha+c+h(v+2-a)+c...
"ArkhamG":
intendevo in v modi diversi:D: N=ha+c+h(N-a)+c...
Mi spiace ma io questi $v$ modi diversi non li vedo, potresti spiegarti meglio?
$N=hx+c+h(v+2-x)+c=h(v+2)+2c, \forall x \in [1;v+1]$ okay, non sto affatto bene 
, ma ora si dovrebbe capire
, ma ora si dovrebbe capire
"ArkhamG":
$N=ha+c+h(v+2-a)+c=h(v+2)+2c, \forall v \in [1;v+1]$
Ma al secondo membro vedo 3 termini al terzo solo due ma nulla che mi gantisca siano interi $a$, oltretutto il quantificatore universale alla fine non è correttamente scritto, deve essere $forall$ "variabile" $in$ "intervallo indipendente dalla variabile"
corretto : ovviamente $h_j=hj+c$, dove la sequenza $\{h\}$ è una sottosequenza di $\{a\}$ (cioè $\{h_{j=1}^{\infty}\}\subseteq \{a_{i=1}^{\infty}\}$).
: ovviamente $h_j=hj+c$, dove la sequenza $\{h\}$ è una sottosequenza di $\{a\}$ (cioè $\{h_{j=1}^{\infty}\}\subseteq \{a_{i=1}^{\infty}\}$).
"ArkhamG":
corretto
Ma... scrivi bene la tua dimostrazione, non so, se qualcuno l'ha capita sarebbe cortese a spiegarmela, così come adesso dico che non hai risolto il problema.
Comunque anche io ho peccato di errata corrige, dimenticando di dire che gli interi $a$ sono tutti dispari.
"carlo23":
Sia $a_1,a_2,a_3...$ una successione di interi positivi dispari tali che
$1/(a_1)+1/(a_2)+1/(a_3)+...=infty$
dimostrare che per ogni $v$ esiste un intero $n$ tale che si possa rappresentare come somma di due interi $a$ in un numero di modi distinti $>v$.
!)La rappresentazione $a_i+a_j$ e considerata distinta dalla rappresentazione $a_j+a_i$ se e solo se $i!=j$.
Riquoto visto che cadeva nel dimenticatoio
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