Integrale...trovato x caso

[blackdie]

$int_0^pi e^sin(x) dx$


Ho trovato la soluzione di questo integrale x caso .
Non conosco il procedimento...ma penso che sia abbastanza difficile.
(o forse puo essere semplice...mah )

Cmq,buon lavoro.

[miuemia]

per caso il risultato è $pi*e$?

[blackdie]

No non è quello...

[Thomas16]

Un metodo da "analisi 1" è cercare una successione di funzioni che converge unformemente alla funzione data e che si sappiano integrare....

Con gli esponenziali ed i seni vi è una scelta privilegiata e sono le loro serie...

ma il tutto pare molto calcoloso.... e probabilmente non fattibile...

mi sà che c'è bisogno di un'infarinatura "complessa"... io non ne so niente... mi fermo all'integrale di Riemann...

[blackdie]

Non so se ti puo tornare utile cmq,anche se non è farina del mio sacco, ecco:


$e^(sin(x))=sum_(m=0)^oo (sin^mx)/(m!)$

$int_0^pi sin^mx dx=(Gamma((m+1)/2)sqrt(pi))/(Gamma((m+2)/2))$


Quindi possiamo riscrivere l'integrale come:


$int_0^pi e^sin(x) dx=sum_(m=0)^oo(Gamma((m+1)/2)sqrt(pi))/(Gamma((m+2)/2)m!)$


Adesso si tratta "solamente" di cercare un espressione con funzioni elementari(mah, mica tanto elementari ) di questa serie...

[The Big1]

A occhio direi

$(1/(cos(x) )* e^(sin(x))$

tra 0 e $pi$

che fa due, ma non mi convince...

[blackdie]

GIà, non è questo il risultato...

[Kroldar]

credo si debba mettere la sommatoria in termini della funzione beta

$int_0^pi e^sin(x) dx=sum_(m=0)^oo(Gamma((m+1)/2)sqrt(pi))/(Gamma((m+2)/2)m!)=sum_(m=0)^oo(beta((m+1)/2,1/2))/(m!)$

e poi invertire la sommatoria con l'integrale
qualcuno approva?
mi rimane cmq qualche perplessità perché credo si debba far scomparire quel $m!$ al denominatore scrivendo $Gamma(m+1)$ anche se poi credo che le cose si complicherebbero