Integrale "residuo"
Sia $|p|<1$, calcolare
$int_0^(+infty)cos(px)/cosh(x)dx$.
$int_0^(+infty)cos(px)/cosh(x)dx$.
Risposte
Questo è un bell'esercizio!
Non so dove sbaglio ma mi viene un valore che non dipende da $p$... mentre presumo che il risultato debba dipendere da $p$, altrimenti non avresti specificato $|p|<1$.
Non so dove sbaglio ma mi viene un valore che non dipende da $p$... mentre presumo che il risultato debba dipendere da $p$, altrimenti non avresti specificato $|p|<1$.
Il risultato è $pi/(2cosh(ppi/2))$.
Suggerimento:
[size=34]Utilizzare il rettangolo di vertici $-R, R, R+pii, -R+pii$ e porre $R->+infty$.[/size]
Suggerimento:
[size=34]Utilizzare il rettangolo di vertici $-R, R, R+pii, -R+pii$ e porre $R->+infty$.[/size]
Ho provato a fare una cosa analoga utilizzando un semicerchio anziché un rettangolo...
Ho operato la sostituzione $e^x = t$ per semplificare, ma mi viene un risultato in cui $p$ scompare... chissà perché...
Ho operato la sostituzione $e^x = t$ per semplificare, ma mi viene un risultato in cui $p$ scompare... chissà perché...
Se prendi un semicerchio devi considerare infiniti poli (difficilmente gestibile), mentre con un rettangolo si prende un solo polo.
Vero... i poli sono tutti sull'asse immaginario, quindi con un rettangolo viene più semplice e si prende solo $jpi/2$.
Consideriamo l'integrale $int_(gamma)(e^(ipz))/(coshz)dz $ dove
$gamma$ e' il rettangolo di vertici$-R,+R,R+pi i,-R+pi i$ nel quale
cade il polo $z=(pi i)/2$ della funzione integranda.
Il residuo S in tale polo e':
$S=lim_(z->(pi i)/2)(z-(pi i//2)f(z)=-ie^(-pi p//2)$
Pertanto si ha:
$int_(-R)^(+R)(e^(ipx))/(coshx)dx+int_0^(pi)(e^(p i(R+iy)))/(cosh(R+iy))idy+int_R^(-R)(e^(p i(x+pi i)))/(cosh(x+pi i))dx+int_(pi)^0(e^(p i(-R+iy)))/(cosh(-R+iy))idy=2pie^(-pip//2)$
Passando al limite per $R->oo$ il secondo ed il quarto integrale vanno
a zero (vedi in (**) per la dimostrazione) e quindi si ha:
$int_(-oo)^(+oo)(e^(ipx))/(coshx)dx+int_(+oo)^(-oo)(e^(ipx)*e^(-pip))/(-coshx)dx=2pie^(-pi p//2)$
Ovvero:
$int_(-oo)^(+oo)(e^(ipx))/(coshx)dx=(2pie^(-pip//2))/(1+e^(-pip))=pi/(cosh(pip//2)$
Separando la parte immaginaria da quella reale e tenendo conto
che cosx e coshx sono funzioni pari si ottiene l'integrale richiesto:
$int_0^(oo)(cos(px))/(coshx)dx=(pi)/(2cosh((pip)/2)$
(**)
Osserviamo che e':
$|cosh(R+iy)|=1/2|e^(R+iy)+e^(-R-iy)|>=1/2(|e^(R+iy)|-|e^(-R-iy)|)=1/2(e^R-e^(-R))$
Pertanto:
$|int_0^(pi)e^(p i(R+iy))/(cosh(R+iy))idy|<=int_0^(pi)(|e^(p i(R+iy))|)/(|cosh(R+iy)|)dy<=2int_0^(pi)(e^(-py))/(e^R-e^(-R))dy=2/(e^R-e^(-R))int_0^(pi)e^(-py)dy$
Per $R->oo$ l'espressione precedente tende a zero dato che $int_0^(pi)e^(-py)dy$ e' limitato.
Analogamente per l'altro integrale.
Noto che l'ipotesi |p|<1 e' superflua e cio' e' confermato dal calcolo
dell'integrale fatto con Derive per valori di p =2,3,4 etc,tutti in accordo
con la formula trovata.
karl
$gamma$ e' il rettangolo di vertici$-R,+R,R+pi i,-R+pi i$ nel quale
cade il polo $z=(pi i)/2$ della funzione integranda.
Il residuo S in tale polo e':
$S=lim_(z->(pi i)/2)(z-(pi i//2)f(z)=-ie^(-pi p//2)$
Pertanto si ha:
$int_(-R)^(+R)(e^(ipx))/(coshx)dx+int_0^(pi)(e^(p i(R+iy)))/(cosh(R+iy))idy+int_R^(-R)(e^(p i(x+pi i)))/(cosh(x+pi i))dx+int_(pi)^0(e^(p i(-R+iy)))/(cosh(-R+iy))idy=2pie^(-pip//2)$
Passando al limite per $R->oo$ il secondo ed il quarto integrale vanno
a zero (vedi in (**) per la dimostrazione) e quindi si ha:
$int_(-oo)^(+oo)(e^(ipx))/(coshx)dx+int_(+oo)^(-oo)(e^(ipx)*e^(-pip))/(-coshx)dx=2pie^(-pi p//2)$
Ovvero:
$int_(-oo)^(+oo)(e^(ipx))/(coshx)dx=(2pie^(-pip//2))/(1+e^(-pip))=pi/(cosh(pip//2)$
Separando la parte immaginaria da quella reale e tenendo conto
che cosx e coshx sono funzioni pari si ottiene l'integrale richiesto:
$int_0^(oo)(cos(px))/(coshx)dx=(pi)/(2cosh((pip)/2)$
(**)
Osserviamo che e':
$|cosh(R+iy)|=1/2|e^(R+iy)+e^(-R-iy)|>=1/2(|e^(R+iy)|-|e^(-R-iy)|)=1/2(e^R-e^(-R))$
Pertanto:
$|int_0^(pi)e^(p i(R+iy))/(cosh(R+iy))idy|<=int_0^(pi)(|e^(p i(R+iy))|)/(|cosh(R+iy)|)dy<=2int_0^(pi)(e^(-py))/(e^R-e^(-R))dy=2/(e^R-e^(-R))int_0^(pi)e^(-py)dy$
Per $R->oo$ l'espressione precedente tende a zero dato che $int_0^(pi)e^(-py)dy$ e' limitato.
Analogamente per l'altro integrale.
Noto che l'ipotesi |p|<1 e' superflua e cio' e' confermato dal calcolo
dell'integrale fatto con Derive per valori di p =2,3,4 etc,tutti in accordo
con la formula trovata.
karl
Rilancio con il seguente integrale:
dimostrare che
$int_(-infty)^(+infty)e^(-x^2)*cos(2bx)dx=sqrtpi*e^(-b^2)$.
Anche qui si deve utilizzare un cammino rettangolare, ma quale? Inoltre quale funzione si deve utilizzare?
Penso che il risultato aiuti abbastanza...
dimostrare che
$int_(-infty)^(+infty)e^(-x^2)*cos(2bx)dx=sqrtpi*e^(-b^2)$.
Anche qui si deve utilizzare un cammino rettangolare, ma quale? Inoltre quale funzione si deve utilizzare?
Penso che il risultato aiuti abbastanza...
Si dimostra, è semplice perciò non lo faccio, che $L[e^(-t^2)]=sqrt(pi)e^((s^2)/4)$, dove l'operatore $L$ denota la trasformazione di Laplace.
Guarda caso, l'integrale $int_(-infty)^(+infty)e^(-t^2)*cos(2bt)dt$ non è altro che la parte reale della trasformata di Laplace della funzione $e^(-t^2)$ nel punto $s=-j2b$.
Da quanto detto precedentemente dunque risulta $[sqrt(pi)e^((s^2)/4)](-j2b)=sqrt(pi)e^(-b^2)$.
Guarda caso, l'integrale $int_(-infty)^(+infty)e^(-t^2)*cos(2bt)dt$ non è altro che la parte reale della trasformata di Laplace della funzione $e^(-t^2)$ nel punto $s=-j2b$.
Da quanto detto precedentemente dunque risulta $[sqrt(pi)e^((s^2)/4)](-j2b)=sqrt(pi)e^(-b^2)$.
Bravo kroldar!
Con la trasformata di Laplace l'esercizio diventa quasi banale.
Con la trasformata di Laplace l'esercizio diventa quasi banale.
Mi farebbe piacere dove li peschi gli esercizi che posti...
Vorrei inoltre sapere se prima di postarli tu li risolva anche
Vorrei inoltre sapere se prima di postarli tu li risolva anche
L'esercizio che ha risolto karl l'ho preso da "variabili complesse" di Murray Spiegel della collana shaum's e prima di postarlo l'ho risolto.
L'altro integrale l'ho preso da internet e l'ho risolto utilizzando un suggerimento.
Il problema del dado è un problema classico di calcolo delle probabilità e si trova su tanti testi o eserciziari di probabilità (chiaramente mi sono solo limitato a postarlo, è troppo difficile).
L'altro integrale l'ho preso da internet e l'ho risolto utilizzando un suggerimento.
Il problema del dado è un problema classico di calcolo delle probabilità e si trova su tanti testi o eserciziari di probabilità (chiaramente mi sono solo limitato a postarlo, è troppo difficile).
Bene, li trovo molto interessanti i quesiti che proponi, sia quelli sugli integrali che quelli di probabilità.
Mi fa piacere quello che dici, grazie.
Vediamo se questo qualcuno lo fa.
Per $n$ intero $>=1$ e $-1
Vediamo se questo qualcuno lo fa.
Per $n$ intero $>=1$ e $-1
L'integrale si ottiene considerando la funzione (in C) $f(z)=z^(alpha)/(1+z^n)$
ed un particolare cammino ricavato tagliando, lungo l'asse reale positivo, la
corona circolare limitata dai due cerchi di centro l'origine e di raggi R>1 ed $epsilon$.
Al tendere di $R ->oo,epsilon->0$ si ha il risultato:
(1) $int_0^(oo)(x^(alpha-1))/(1+x^n)=(pi)/(n*sin((pi (alpha+1))/n)$
Nel procedere con i calcoli occorre tener presente che la f(z) ,per $alpha$
reale ,e' polidroma e questo comporta una variazione di $2pi$ dell'argomento di z
allorche' si passa da un bordo del taglio all'altro.Inoltre la somma dei residui
viene a dipendere dalla somma delle potenze alfesime delle radici ennesime di -1
ed occorre poi trasformare il risultato in termini della funzione seno.
Facendo attenzione a tutte queste belle cose,con un po' di fortuna si arriva alla (1)
[se non ho fatto errori !!!]
karl
ed un particolare cammino ricavato tagliando, lungo l'asse reale positivo, la
corona circolare limitata dai due cerchi di centro l'origine e di raggi R>1 ed $epsilon$.
Al tendere di $R ->oo,epsilon->0$ si ha il risultato:
(1) $int_0^(oo)(x^(alpha-1))/(1+x^n)=(pi)/(n*sin((pi (alpha+1))/n)$
Nel procedere con i calcoli occorre tener presente che la f(z) ,per $alpha$
reale ,e' polidroma e questo comporta una variazione di $2pi$ dell'argomento di z
allorche' si passa da un bordo del taglio all'altro.Inoltre la somma dei residui
viene a dipendere dalla somma delle potenze alfesime delle radici ennesime di -1
ed occorre poi trasformare il risultato in termini della funzione seno.
Facendo attenzione a tutte queste belle cose,con un po' di fortuna si arriva alla (1)
[se non ho fatto errori !!!]
karl
Complimenti karl! Sei troppo forte!
Alternativamente si poteva utilizzare la seguente regione che ha il valtaggio di contenere un solo polo:
segmento sull'asse x di estremi $epsilon$ e $R$: $[epsilon,R]$,
arco di circonferenza di centro (0,0) e raggio $R$: $z=Re^(it)$ con $0<=t<=(2pi)/n$,
segmento obliquo di estremi $Re^(2pii)/n$ e $epsilone^(2pii)/n$,
arco di circonferenza $z=epsilone^(it)$ con $t$ cha varia da $(2pi)/n$ a 0.
Alternativamente si poteva utilizzare la seguente regione che ha il valtaggio di contenere un solo polo:
segmento sull'asse x di estremi $epsilon$ e $R$: $[epsilon,R]$,
arco di circonferenza di centro (0,0) e raggio $R$: $z=Re^(it)$ con $0<=t<=(2pi)/n$,
segmento obliquo di estremi $Re^(2pii)/n$ e $epsilone^(2pii)/n$,
arco di circonferenza $z=epsilone^(it)$ con $t$ cha varia da $(2pi)/n$ a 0.
A proposito di integrali da calcolare con il teorema dei residui...
Calcolare $int_0^1root[3](4x^2(1-x))/(1+x)^3dx$
Calcolare $int_0^1root[3](4x^2(1-x))/(1+x)^3dx$
"Kroldar":
Si dimostra, è semplice perciò non lo faccio, che $L[e^(-t^2)]=sqrt(pi)e^((s^2)/4)$, dove l'operatore $L$ denota la trasformazione di Laplace.
Guarda caso, l'integrale $int_(-infty)^(+infty)e^(-t^2)*cos(2bt)dt$ non è altro che la parte reale della trasformata di Laplace della funzione $e^(-t^2)$ nel punto $s=-j2b$.
Da quanto detto precedentemente dunque risulta $[sqrt(pi)e^((s^2)/4)](-j2b)=sqrt(pi)e^(-b^2)$.
Non era la trasformata di Fourier?
Ho fatto un caso più generale... ricorda che la trasformata di Fourier può essere vista come un caso particolare della trasformata di Laplace, in cui la famosa $s$ (la variabile della trasformata di Laplace) anziché essere un numero complesso è un numero puramente immaginario. Solo che l'assenza della parte reale nella variabile $s$ impone condizioni più restrittive alla funzione da trasformare...
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