Integrale
Calcolare con il metodo che si ritiene opportuno il seguente integrale
$int_(-oo)^(+oo) (sin^4t)/(t^4) dt$
C'è un metodo, a mio avviso, molto elegante per calcolarlo. Vediamo un po' voi come lo calcolereste...
$int_(-oo)^(+oo) (sin^4t)/(t^4) dt$
C'è un metodo, a mio avviso, molto elegante per calcolarlo. Vediamo un po' voi come lo calcolereste...
Risposte
A prima vista lo calcolerei con il metodo dei residui,non mi viene in mente altro in questo momento (SONO LE 3 DI NOTTE D'ALTRONDE 
)
)
Esiste una formula molto elegante per il calcolo dell'integrale di potenze pari del sinc, da cui
$int_(-oo)^(oo) (sin^4t)/(t^4)dt=pi/(2(2*2-1)!)langle(2*2-1),(2-1)rangle=pi/3$, dove $langle(cdot),(cdot)rangle$ è un numero euleriano.
$int_(-oo)^(oo) (sin^4t)/(t^4)dt=pi/(2(2*2-1)!)langle(2*2-1),(2-1)rangle=pi/3$, dove $langle(cdot),(cdot)rangle$ è un numero euleriano.
"elgiovo":
Esiste una formula molto elegante per il calcolo dell'integrale di potenze pari del sinc, da cui
$int_(-oo)^(oo) (sin^4t)/(t^4)dt=pi/(2(2*2-1)!)langle(2*2-1),(2-1)rangle=pi/3$, dove $langle(cdot),(cdot)rangle$ è un numero euleriano.
il risultato non è $(2pi)/3$?
Certo che si 
.
Infatti la formula, che correggo, è $int_0^oo sin^4/t^4 dt=pi/3$. Il risultato $2/3 pi$ discende dalla parità della funzione.
.Infatti la formula, che correggo, è $int_0^oo sin^4/t^4 dt=pi/3$. Il risultato $2/3 pi$ discende dalla parità della funzione.
Complimenti elgiovo. Tra l'altro non sono a conoscenza della formula che hai citato... se per favore la posti, mi fai una cortesia.
Ovviamente il metodo standard per risolvere questo tipo di integrali è quello dei residui. Un altro metodo alternativo, a cui facevo riferimento io, è il teorema di Plancherel (ricordando che la trasformata di Fourier di una sinc elevata al quadrato è una finestra triangolare).
Ovviamente il metodo standard per risolvere questo tipo di integrali è quello dei residui. Un altro metodo alternativo, a cui facevo riferimento io, è il teorema di Plancherel (ricordando che la trasformata di Fourier di una sinc elevata al quadrato è una finestra triangolare).
Volentieri: $int_0^(oo) (sin^(2k)x)/(x^(2k))dx=pi/(2(2k-1)!)langle(2k-1),(k-1)rangle$. Sorprendente vero?
Veramente sorprendente.
E per le potenze dispari conosci qualcosa?
E per le potenze dispari conosci qualcosa?
Facciamola breve: la precedente non è che una semplificazione del mirabolante risultato
$int_0^(oo) (sin^a x)/x^b dx=(pi^(1-c)(-1)^(|__(a-b)/2__|))/(2^(a-c)(b-1)!)sum_(k=0)^(|__a/2__|-c)(-1)^k((a),(k))(a-2k)^(b-1)[ln(a-2k)]^c$,
con $a,b,cin NN$, $a>=b>c$, $c equiv a-b (mod 2)$. Inoltre si assume $0^0=1$.
$int_0^(oo) (sin^a x)/x^b dx=(pi^(1-c)(-1)^(|__(a-b)/2__|))/(2^(a-c)(b-1)!)sum_(k=0)^(|__a/2__|-c)(-1)^k((a),(k))(a-2k)^(b-1)[ln(a-2k)]^c$,
con $a,b,cin NN$, $a>=b>c$, $c equiv a-b (mod 2)$. Inoltre si assume $0^0=1$.
Dove l'hai presa questa formula???
Dal sito da cui nessuno che abbia a che fare con la matematica può prescindere:
http://mathworld.wolfram.com/SincFunction.html
http://mathworld.wolfram.com/SincFunction.html
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo