Insiemi e prodotti
Se $A$ è un insieme di interi indico con $Pi(A)$ il prodotto di tutti gli elementi di $A$.
Sia $I(n)={1,2,3,4...n}$, dimostrare che
$sum 1/(Pi(A))=n$
dove la sommatoria è fatta su tutti i sottoinsiemi non vuoti $A$ di $I(n)$.
Ciao!
Sia $I(n)={1,2,3,4...n}$, dimostrare che
$sum 1/(Pi(A))=n$
dove la sommatoria è fatta su tutti i sottoinsiemi non vuoti $A$ di $I(n)$.
Ciao!
Risposte
Supponiamo la tesi vera per qualche $n\in NN$. Osservo che:
$P(I(n+1))\\{O/} = (P(I(n))\\{O/})\uu^*J(n+1)$, dove: $J(n+1) = {A\uu {n+1} | A \sube I(n)}$ . Perciò:
$\sum_{A \in P(I(n+1))\\{O/}} 1/(\prod(A)) = \sum_{A \in P(I(n)) \\ {O/}} 1/(\prod(A)) + \sum_{A \in J(n+1)} 1/(\prod(A)) = n + (1/(n+1))\cdot\sum_{A \in P(I(n))} 1/(\prod(A)) = n+n/(n+1) = (n^2+2n)/(n+1) = n+1-1/(n+1) != n+1 $ .
Se non ho fatto errori (ma probabilmente li ho fatti, vista la mia scarsa abilità con i calcoli) la tesi è falsa.
$P(I(n+1))\\{O/} = (P(I(n))\\{O/})\uu^*J(n+1)$, dove: $J(n+1) = {A\uu {n+1} | A \sube I(n)}$ . Perciò:
$\sum_{A \in P(I(n+1))\\{O/}} 1/(\prod(A)) = \sum_{A \in P(I(n)) \\ {O/}} 1/(\prod(A)) + \sum_{A \in J(n+1)} 1/(\prod(A)) = n + (1/(n+1))\cdot\sum_{A \in P(I(n))} 1/(\prod(A)) = n+n/(n+1) = (n^2+2n)/(n+1) = n+1-1/(n+1) != n+1 $ .
Se non ho fatto errori (ma probabilmente li ho fatti, vista la mia scarsa abilità con i calcoli) la tesi è falsa.
"Woody":
Supponiamo la tesi vera per qualche $n\in NN$. Osservo che:
$P(I(n+1))\\{O/} = (P(I(n))\\{O/})\uu^*J(n+1)$, dove: $J(n+1) = {A\uu {n+1} | A \sube I(n)}$ . Perciò:
$\sum_{A \in P(I(n+1))\\{O/}} 1/(\prod(A)) = \sum_{A \in P(I(n)) \\ {O/}} 1/(\prod(A)) + \sum_{A \in J(n+1)} 1/(\prod(A)) = n + (1/(n+1))\cdot\sum_{A \in P(I(n))} 1/(\prod(A)) = n+n/(n+1) = (n^2+2n)/(n+1) = n+1-1/(n+1) != n+1 $ .
Se non ho fatto errori (ma probabilmente li ho fatti, vista la mia scarsa abilità con i calcoli) la tesi è falsa.
Attento! Mettiamo la tesi sia vera per $n$ e dimostriamo che è vera per $n+1$. Abbiamo che
$sum_(I(n+1)) 1/(Pi(A)) = sum_(I(n)) 1/(Pi(A)) +1/(n+1) sum_(I(n)) 1/(Pi(A))+1/(n+1)$
l'ultimo termine segue dal fatto che sono escusi i sottoinsiemi vuoti. Percui essendo vera la tesi per $n$
$sum_(I(n+1)) 1/(Pi(A)) = n +n/(n+1) +1/(n+1)= n+1$
è vera per $n+1$. Puoi anche verificarlo per un pò di casi
$1/1=1$
$1/1+1/2+1/(1x2)=2$
$1/1+1/2+1/3+1/(1x2)+1/(1x3)+1/(2x3)+1/(1x2x3)=3$
anche se per $n$ grande l'impresa diventa ardua!
Ciao!
Se $A$ è un insieme di interi indico con $Pi(A)$ il prodotto di tutti gli elementi di $A$, invece con $Sigma(A)$ indico la somma di tutti gli elementi di $A$. Sia $I(n)={1,2,3,4...n}$, dimostrare che
$sum (Sigma(A))/(Pi(A))=n^2+2n-H_n(n+1)$
dove la sommatoria è fatta su tutti i sottoinsiemi non vuoti $A$ di $I(n)$, mentre $H_n$ è l'ennesimo numero armonico.
Ciao!
$sum (Sigma(A))/(Pi(A))=n^2+2n-H_n(n+1)$
dove la sommatoria è fatta su tutti i sottoinsiemi non vuoti $A$ di $I(n)$, mentre $H_n$ è l'ennesimo numero armonico.
Ciao!
Il problema sopra non era male... lo quoto così magari qualcuno ci si applica 
PS l'ho editato così da non rendere necessario leggere i post precedenti
PS l'ho editato così da non rendere necessario leggere i post precedenti
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