Insiemi compatti
è tutto il giorno che ci sbatto la testa sopra e alla fine questa sera mi è sorta una domanda interessante a mio avviso dalla risposta molto smeplice che secondo me vale la pena proporre come gioco per avere uno spunto di riflessione
dimostrare che la definizione "Uno spazio topologico X si dice compatto se da ogni ricoprimento costituito da una famiglia di insiemi CHIUSI, si può estrarre una sottofamiglia finita di chiusi che è ancora un ricoprimento " è mal posta.
dimostrare che la definizione "Uno spazio topologico X si dice compatto se da ogni ricoprimento costituito da una famiglia di insiemi CHIUSI, si può estrarre una sottofamiglia finita di chiusi che è ancora un ricoprimento " è mal posta.
Risposte
Viene a mancare la limitatezza, la quale è una condizione necessaria alla compattezza... Può essere una risposta valida???
no scusa, ma anche un insieme di chiusi finito è limitato... o sbaglio?... perchè un'unione finiti di chiusi è illimitato?...
la risposta che mi son dato io è che mettendo nella definizione degli insiemi chiusi l'unione di un numero infinito di chiusi non è sempre un chiuso e quindi una copertura potrebbe essere non chiusa ma aperta... quindi ...
la risposta che mi son dato io è che mettendo nella definizione degli insiemi chiusi l'unione di un numero infinito di chiusi non è sempre un chiuso e quindi una copertura potrebbe essere non chiusa ma aperta... quindi ...
Ricopri $[0,1]$ con tutti i suoi puntolini.
Ovvero, prendi tutti i singleton contenenti un elemento di quell'intervallo.
E' un ricoprimento chiuso (i singleton sono chiusi in $RR$), ma ovviamente non ci puoi estrarre niente.
[size=75]PS: notate che ho imparato che $RR$ non e' compatto! [/size]
Ovvero, prendi tutti i singleton contenenti un elemento di quell'intervallo.
E' un ricoprimento chiuso (i singleton sono chiusi in $RR$), ma ovviamente non ci puoi estrarre niente.
[size=75]PS: notate che ho imparato che $RR$ non e' compatto! [/size]
"Fioravante Patrone":
Ricopri $[0,1]$ con tutti i suoi puntolini.
Ovvero, prendi tutti i singleton contenenti un elemento di quell'intervallo.
E' un ricoprimento chiuso (i singleton sono chiusi in $RR$), ma ovviamente non ci puoi estrarre niente.
[size=75]PS: notate che ho imparato che $RR$ non e' compatto! [/size]
giustissimo! bravo bravo fioravanti come sempre
"fu^2":
giustissimo! bravo bravo fioravanti come sempre
ma chi e' questo "fioravanti"?
"Fioravante Patrone":
[quote="fu^2"]giustissimo! bravo bravo fioravanti come sempre
ma chi e' questo "fioravanti"?
[/quote]azz non è la prima volta che faccio sto errore...
è più forte di me .. a scriver tranquillamente fioravanti mi suona meglio e lo scrivo senza pensarci...
sorry...
potrei tagliare con fiore.. ma nn mi pare il caso
scusa l'imprecisione
Appunto perche' non e' la prima volta 
Alla terza, ti becchi un ban di 1 week.
Tornando serio, scusa se mi sono intromesso, senza neanche usare lo spoiler. Non avevo pensato che fosse una proposta di "gioco matematico" (sai, con la TdG ormai sono molto confuso). L'avevo presa per una sorta di richiesta di aiuto.
Ciao
Alla terza, ti becchi un ban di 1 week.
Tornando serio, scusa se mi sono intromesso, senza neanche usare lo spoiler. Non avevo pensato che fosse una proposta di "gioco matematico" (sai, con la TdG ormai sono molto confuso). L'avevo presa per una sorta di richiesta di aiuto.
Ciao
"Fioravante Patrone":
Appunto perche' non e' la prima volta
Alla terza, ti becchi un ban di 1 week.
Tornando serio, scusa se mi sono intromesso, senza neanche usare lo spoiler. Non avevo pensato che fosse una proposta di "gioco matematico" (sai, con la TdG ormai sono molto confuso). L'avevo presa per una sorta di richiesta di aiuto.
Ciao
azz allora dovrò star attento...
l'ho proposto come gioco perchè pensavo che la mia risposta che mi son dato era giusta... e quindi volevo proporlo come gioco
non è un grande problema però
"fu^2":
è tutto il giorno che ci sbatto la testa sopra e alla fine questa sera mi è sorta una domanda interessante a mio avviso dalla risposta molto smeplice che secondo me vale la pena proporre come gioco per avere uno spunto di riflessione
dimostrare che la definizione "Uno spazio topologico X si dice compatto se da ogni ricoprimento costituito da una famiglia di insiemi CHIUSI, si può estrarre una sottofamiglia finita di chiusi che è ancora un ricoprimento " è mal posta.
Ti propongo quest'altro spunto di riflessione: formulare la definizione di compattezza in termini di famiglie di chiusi.
"Sandokan.":
[quote="fu^2"]è tutto il giorno che ci sbatto la testa sopra e alla fine questa sera mi è sorta una domanda interessante a mio avviso dalla risposta molto smeplice che secondo me vale la pena proporre come gioco per avere uno spunto di riflessione
dimostrare che la definizione "Uno spazio topologico X si dice compatto se da ogni ricoprimento costituito da una famiglia di insiemi CHIUSI, si può estrarre una sottofamiglia finita di chiusi che è ancora un ricoprimento " è mal posta.
Ti propongo quest'altro spunto di riflessione: formulare la definizione di compattezza in termini di famiglie di chiusi.
[/quote]vediamo...
un insieme si dice compatto se:
"Uno spazio topologico X si dice compatto se da ogni ricoprimento costituito da una famiglia di insiemi aperti, si può estrarre una sottofamiglia finita di aperti che è ancora un ricoprimento "
quindi passando ai complementari, ovvero ai chiusi otteniamo questa definizione:
"Uno spazio topologico X si dice compatto se da ogni ricoprimento costituito da una famiglia di insiemi chiusi, non è possibile estrarre una sottofamiglia finita di chiusi che è ancora un ricoprimento"
giusto?
Si credo di si!!! bravo! 
"Bosch":
Si credo di si!!! bravo!
Ma anche no!
@ fu^2: tieni presente che il complementare di $X$ è $\emptyset$ e il complementare di un'unione è l'intersezione dei complementari: quindi come complementi $\bigcup_(alpha) A_alpha =X$?
ed hai ragione tu, ho preso un abbaglio! e allora come si potrebbe porre?
dovrebbe essere, se nn ho fatto casino con i complementari :
sia $bbC$ una famiglia di chiusi nella topologia data su X, allora $AA\nnC!=O/:C\in\bbC,EEnn^nC:nn^nC!=O/:nn^nCinbbC
ho fatto casino?
sia $bbC$ una famiglia di chiusi nella topologia data su X, allora $AA\nnC!=O/:C\in\bbC,EEnn^nC:nn^nC!=O/:nn^nCinbbC
ho fatto casino?
Detto fuori dal simbolismo, uno spazio topologico è compatto se e solo se da ogni famiglia di chiusi ad intersezione vuota si può estrarre una famiglia finita ad intersezione vuota.
@fu^2:
Beh, la cosa puo' essere formalizzata meglio. Come minimo, e' necessario specifiare da qualche parte che qualcosa e' finito (il tuo $n$) e che hai un "sottoricoprimento".
"Detto fuori dal simbolismo" mai avrei pensato che fosse possibile indurre Gugo82 a dire una cosa simile!!! I miei complimenti
"Detto fuori dal simbolismo" mai avrei pensato che fosse possibile indurre Gugo82 a dire una cosa simile!!! I miei complimenti
"Fioravante Patrone":
"Detto fuori dal simbolismo" mai avrei pensato che fosse possibile indurre Gugo82 a dire una cosa simile!!! I miei complimenti
Questa è la tipica espressione che uso quando mi scoccio di scrivere una formula lunga!
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