Insiemi
lo so che è facile, però secondo me ne vale la pena farlo notare come finezza bellissima...
che mi è uscita da un mio ragionamento:
dato un insieme $C$ e dati due insiemi $A\sube\C$ e $B\sube\C$, dimostrare che se $deltaA\!=\deltaB$ allora A e B non possono essere usati per fare una partizione dell'insieme $C$.
o in modo equivalente, dimostare che $deltaA\=\deltaB$ è una condizione necessaria affinchè $AUB=C$.
dove con $deltaA$ e $deltaB$ sono indicati gli insiemi dei punti di frontiera dei due insiemi rispettivamente.
buon divertimento
che mi è uscita da un mio ragionamento:
dato un insieme $C$ e dati due insiemi $A\sube\C$ e $B\sube\C$, dimostrare che se $deltaA\!=\deltaB$ allora A e B non possono essere usati per fare una partizione dell'insieme $C$.
o in modo equivalente, dimostare che $deltaA\=\deltaB$ è una condizione necessaria affinchè $AUB=C$.
dove con $deltaA$ e $deltaB$ sono indicati gli insiemi dei punti di frontiera dei due insiemi rispettivamente.
buon divertimento
Risposte
Prendiamo $C={(x,y) in RR^2 tc x^2+y^2=1}$ (la circonferenza in $RR^2$).
Ora se prendiamo $A=C cap {(x,y)$ tc $x<=0}$ e $B=C cap {(x,y)$ tc $x>0}$, abbiamo due insiemi disgiunti, la cui unione è $C$. Ma le loro frontiere non sono uguali.
Ora se prendiamo $A=C cap {(x,y)$ tc $x<=0}$ e $B=C cap {(x,y)$ tc $x>0}$, abbiamo due insiemi disgiunti, la cui unione è $C$. Ma le loro frontiere non sono uguali.
giusto...
mi son sbagliatp
mi son sbagliatp
oggi ci ho ripensato...
ho concluso (senza aver fatto ancora una vera e propria dimostrazione) che
se A e B hanno gli stessi punti di frontiera, allora, posto che A è diverso da B e che non hanno punti in comune, A U B è un insieme illimitato, cioè non ammette altri punti di frontieta oltre a quelli che hanno in comune.
concordate?
ho concluso (senza aver fatto ancora una vera e propria dimostrazione) che
se A e B hanno gli stessi punti di frontiera, allora, posto che A è diverso da B e che non hanno punti in comune, A U B è un insieme illimitato, cioè non ammette altri punti di frontieta oltre a quelli che hanno in comune.
concordate?
"fu^2":
oggi ci ho ripensato...
ho concluso (senza aver fatto ancora una vera e propria dimostrazione) che
se A e B hanno gli stessi punti di frontiera, allora, posto che A è diverso da B e che non hanno punti in comune, A U B è un insieme illimitato, cioè non ammette altri punti di frontieta oltre a quelli che hanno in comune.
concordate?
Non che abbia capito esattamente quello che intendi, ma se in $RR^2$ prendiamo $A = { (x, y) : x^2 + y^2 <= 1 , x \in QQ, y \in QQ }$ e $B = { (x, y) : x^2 + y^2 <= 1 } \\ A$, direi che la tua congettura non vale...
"fu^2":
se A e B hanno gli stessi punti di frontiera, allora, posto che A è diverso da B e che non hanno punti in comune, A U B è un insieme illimitato, cioè non ammette altri punti di frontieta oltre a quelli che hanno in comune.
Siano $A,B$ sottoinsiemi di uno spazio topologico $X$ tali che $\partial A=\partial B$ ($\partial$: frontiera). Se l'interno di $A$ è connesso, allora uno e uno soltanto dei seguenti fatti si verifica:
$A^o\subseteq B^o$
$A^o\subseteq B^e$
(notazione $o$: interno; $e$: esterno)
Infatti, l'ipotesi $\partial A=\partial B$ implica che $A^o vv A^e=B^o vv B^e$ ($vv$: riunione disgiunta). In particolare, si ottiene
$A^o=(B^o\cap A^o) vv (B^e\cap A^o)$.
Poichè $A^o$ è connesso e $B^o\cap A^o$, $B^e\cap A^o$ sono aperti, segue $A^o=B^o\cap A^o$ o $A^o=B^e\cap A^o$.
In particolare, se $A,B$ sono aperti connessi colla stessa frontiera allora è $A^o= B^o$ oppure (ma non entrambe) $A^o = B^e$. Se siamo in $RR^2$ almeno uno tra $A^o,A^e$ e tra $B^o,B^e$ è illimitato, così $A\cup B$ è illimitato.
good ficus2002!!! very very good!
ps scusa la mia ignoranza, ma in cosa differisce l'unione disgiunta dall'unione "tradizionale" tra due insiemi?
ps scusa la mia ignoranza, ma in cosa differisce l'unione disgiunta dall'unione "tradizionale" tra due insiemi?
"fu^2":
ps scusa la mia ignoranza, ma in cosa differisce l'unione disgiunta dall'unione "tradizionale" tra due insiemi?
Di solito, si dice riunione disgiunta, anzichè semplicemente riunione, per sottolineare il fatto che gli insiemi coinvolti sono disgiunti.
Più in generale, in questo topic si è parlato della definzione formale di unione (o somma) disgiunta di due insiemi,
Come risposta al quesito sull'insieme dei punti di frontiera degli insiemi A e B, secondo me non è necessario che A e B abbiano i punti di frontiera in comune per poter dire che la loro unione è uguale a C.Se con punti di frontiera si intendono quelli che separano A e B stessi,è possibile comunque unire A e B anche senza avere elementi comuni.infatti,se ad esempio A comprende ,nell'insieme dei reali,numeri che vanno da 0 a 1 ognuno dei quali è maggior o uguale a 1 e B (sempre nei reali) quelli da 2 a 3 compresi,la loro unione darà un insieme C formato da due insiemi che non hanno in comune nessuno elemento,dunque due partizioni la cui unione dà C.
Se invece,lasciando invariato A,dico che B è l'insieme di numeri (reali sempre) che vanno da 1 a 2 compresi,posso dire che 1 è l'elemento comune agli insiemi di frontiera di A e B,cioè 1 è quell'elemento necessario che forma sia l'insieme A che B,dato che ogni insieme esiste con almeno un elemento ,dunque (delta)A=(delta)B....
Giusto??[/spoiler]
Se invece,lasciando invariato A,dico che B è l'insieme di numeri (reali sempre) che vanno da 1 a 2 compresi,posso dire che 1 è l'elemento comune agli insiemi di frontiera di A e B,cioè 1 è quell'elemento necessario che forma sia l'insieme A che B,dato che ogni insieme esiste con almeno un elemento ,dunque (delta)A=(delta)B....
Giusto??[/spoiler]
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