Induzione....
scusate l'ignoranza... ma in alcune vostre dimostrazioni ho sentito parlare di ragionamento per INDUZIONE che cosa è esattamente?????
kiede gentilmente delle lucidazioni da qualcuno più esperto:)
enrico B.
kiede gentilmente delle lucidazioni da qualcuno più esperto:)
enrico B.
Risposte
allora dicesi ragionamento per induzione il ragionamento basato su base empirica che passa dall'osservazione di molti casi particolari e deduce di conseguenza la legge universale. mi spiego meglio con una allegoria di mia invenzione: un bambino un bel dì vide una pecora e notò essere bianca. il giorno dopo vide un altra pecora e notò essere bianca anch'essa, li per li no ci fece molto caso. ma quando il giorno successivo vide un branco di 100 pecore del medesimo colore (bianco) iniziò a ragionarci su. Iniziò a pensare che tutte le pecore fossero bianche. allora iniziò a cercare di proposito le pecore per vedere di che colore fossero ed ogni volta vedeva pecore bianche. un bel giorno, quando oramai era vecchio e in vita sua aveva visto solo pecore bianche (sebbene ne avesse osservate più di 100000000) esclamò tutto contento: "ok, ora sono sicuro: tutte le pecore sono bianche". allora uscì di casa e salì in mcchina per andare al bar del paese a festeggiare con un bel fiaschetto di vino. era impaziente di comunicare la sua teoria agli amici e quindi correva a 190 sulla statale con la sua vecchia ferrari, quando improvvisamente attraversò una pecora nera. l'impatto fu inevitabile e il pover'uomo morì.
Pover'uomo... Un Fisico senza dubbio...[:P]
Ma io non ho mai capito se il ragionamento induttivo è sempre sbagliato o esistono casi in cui non lo è....
Paola
Ma io non ho mai capito se il ragionamento induttivo è sempre sbagliato o esistono casi in cui non lo è....
Paola
calma ragazzi! esiste un' induzione matematica e una fisica... quella fisica è stata "descritta" da giacor86 (in effetti questa induzione non è una modalità di conoscenza certa...); c'è poi l' induzione matematica... che suona più o meno così:
se una proprieta P vale per 1 e per ogni successore di 1, allora vale per tutti i numeri; in soldoni, bisogna dimostrare che una proprietà vale per il numero 1, poi si ipotizza che valga per i primi n numeri, e se si riesce a dimostrare che vale anche per l' n+1-esimo numero, allora essa vale per tutti i numeri (naturali); in effetti anche questo è un principio, non esiste una dimostrazione della verità del principio di induzione...però, stranamente funziona [:)]...
ciao
se una proprieta P vale per 1 e per ogni successore di 1, allora vale per tutti i numeri; in soldoni, bisogna dimostrare che una proprietà vale per il numero 1, poi si ipotizza che valga per i primi n numeri, e se si riesce a dimostrare che vale anche per l' n+1-esimo numero, allora essa vale per tutti i numeri (naturali); in effetti anche questo è un principio, non esiste una dimostrazione della verità del principio di induzione...però, stranamente funziona [:)]...
ciao
quote:
Originally posted by jack
però, stranamente funziona [:)]...
ma a me sembra logico che funzioni!
-----------------------
Il bello di essere intelligente e' che puoi divertirti a fare l' imbecille, ma se sei un imbecille non puoi fare il contrario.
Woody Allen
beh, diciamo che la verità dell' induzione è talmente evidente, che viene spontaneo accettarla... però non ne esiste una dimostrazione rigorosa...
ciao
ciao
quote:
Originally posted by jack
la verità dell' induzione è talmente evidente, che viene spontaneo accettarla... però non ne esiste una dimostrazione rigorosa...
Ti protesti spiegare meglio?
quote:
Originally posted by jack
beh, diciamo che la verità dell' induzione è talmente evidente, che viene spontaneo accettarla... però non ne esiste una dimostrazione rigorosa...
ciao
Se non sbaglio è possibile, servendosi del principio del minimo intero, "dimostrare" il principio di induzione come teorema.
@jvloivk
il principio di induzione fa parte dei famosi 5 assiomi di Peano; in linea di principio gli assiomi sono proposizioni la cui evidenza è immediata e non necessita di dimostrazione...come si è visto dall' affermazione di eafkuor "[...]sembra logico che funzioni" (ovviamente, a posteriori è smentito il fatto che gli assiomi siano verità assolute (vedi geometrie non euclidee))
@iteleuer
questa non la conoscevo affatto!comunque non si può dimostrare all' interno del sistema assiomatico di Peano...
in conclusione, il principio di induzione risulterebbe più un atto di fede che una verità... ma questo vale per tutti gli assiomi esistenti...
oddio, spero di essermi chiarito, e non aver complicato ulteriormente le cose...
ciao
il principio di induzione fa parte dei famosi 5 assiomi di Peano; in linea di principio gli assiomi sono proposizioni la cui evidenza è immediata e non necessita di dimostrazione...come si è visto dall' affermazione di eafkuor "[...]sembra logico che funzioni" (ovviamente, a posteriori è smentito il fatto che gli assiomi siano verità assolute (vedi geometrie non euclidee))
@iteleuer
questa non la conoscevo affatto!comunque non si può dimostrare all' interno del sistema assiomatico di Peano...
in conclusione, il principio di induzione risulterebbe più un atto di fede che una verità... ma questo vale per tutti gli assiomi esistenti...
oddio, spero di essermi chiarito, e non aver complicato ulteriormente le cose...
ciao
grazie a tutti per le risposte...
siete stati abbastanza esaurienti soprattutto l'esempio con le pecorelle....
un'ultima cosa....
una "dimostrazione" (la metto tra virgole perchè nn ho capito se si può proprio chiamare così) per induzione non può essere sempre utilizzata giusto?.....
ma in quei casi in cui si può, deve essere accettata, mi spiego meglio, il prof la può accettare o non sarebbe potrebbe obbiettare su qualcosa?
enrico B.
siete stati abbastanza esaurienti soprattutto l'esempio con le pecorelle....
un'ultima cosa....
una "dimostrazione" (la metto tra virgole perchè nn ho capito se si può proprio chiamare così) per induzione non può essere sempre utilizzata giusto?.....
ma in quei casi in cui si può, deve essere accettata, mi spiego meglio, il prof la può accettare o non sarebbe potrebbe obbiettare su qualcosa?
enrico B.
Il principio di induzione ti viene in aiuto quando devi dimostrare qualche proposizione che coinvolge i numeri naturali, dimostrazioni di questo tipo sono insindacabili (a patto, ovviamente, di non commettere errori nel procedimento induttivo) ... tuttavia, riflettendoci meglio e pensando ai professori che circolano di questi tempi ...
Vorrei riassumere, correggere e integrare, perché mi pare che ci siano anche idee non del tutto corrette.
1° L’induzione potrebbe anche essere quella magnetica, ma in questo caso si parlava di quella “matematica”, per cui l’esempio delle pecorelle può esser carino, ma solo a patto che fosse poco più di un giochetto, perché una dimostrazione per induzione (se attuata correttamente) è sicuramente valida.
2° Il principio di induzione (PdI) non si può dimostrare, come ha provato Goedel, ma nel senso che non si può dimostrare la coerenza di nessun sistema di assiomi abbastanza complesso da “contenere l’aritmetica”.
In realtà, date le definizioni necessarie (per esempio di cosa sono i numeri naturali) è anche possibile dimostrane la validità. Come ha detto jack nell’insieme dei naturali, definito da Peano, si può dimostrare banalmente che vale, utilizzando il suo 5° postulato:
«se un sottoinsieme S dell’insieme dei naturali N è tale che vi appartiene il primo numero (lo “0” o lo “1”, a seconda delle definizioni), ed è tale che “se vi appartiene un numero vi appartiene anche il suo successivo”, allora S coincide con N».
(In questo caso non considero che il 5° postulato sia il principio, ma lo uso per dimostrarlo.)
3° Il PdI ha una sua forma più debole, che è la seguente:
«Se nell’insieme dei naturali N una proprietà P è vera per un particolare n0, e se si dimostra che “se si suppone vera per un certo n allora è necessariamente vera anche per il suo successivo (cioè n+1)”, allora è vera per tutti i numeri maggiori o uguali a n0».
Ovviamente se n0 = 0 si ha che la proprietà è vera per tutti i numeri, cioè che è vera in N.
4° Il PdI ha una sua forma più forte (si chiame “Principio di induzione transfinito”, vedi il successivo 5° punto), ma che posso “indebolire” in:
«Se in un insieme ben ordinato (cioè tale che ogni suo sottoinsieme abbia un elemento minimo) A una proprietà P è vera per un particolare n0, e se si dimostra che “se si suppone vera per tutti gli elementi minori di un certo elemento n allora è necessariamente vera anche per n”, allora è vera per tutti gli elementi maggiori o uguali a n0».
5° Il “Principio di induzione transfinito” recita:
«Se in un insieme ben ordinato A, una proprietà P è vera per il primo elemento e se è vero che “se si suppone vera per tutti gli elementi minori di un certo elemento n allora è necessariamente vera anche per n”, allora è vera in A».
6° Dice Enrico: «il prof la può accettare o non sarebbe potrebbe obbiettare su qualcosa? »
Secondo me il prof può sempre chiedere chiarimenti, delucidazioni e dimostrazioni, anche per dimostrazioni “ufficiali”, anzi: sarebbe bene che non ci fossero dimostrazioni che hanno il “nulla osta” e che possono essere ripetute a pappagallo senza aver capito niente (secondo voi potrebbero servire a qualcosa che non sia un “promemoria” o un “suggerimento” a chi capisce qualcosa e può ricostruire la dimostrazione?). Viceversa sta a te saper motivare perché e come usi il PdI nelle tue dimostrazioni (parlo nel caso che a scuola non lo abbiate mai incontrato).
Attendo critiche (corbellerie ne dico tante …).
1° L’induzione potrebbe anche essere quella magnetica, ma in questo caso si parlava di quella “matematica”, per cui l’esempio delle pecorelle può esser carino, ma solo a patto che fosse poco più di un giochetto, perché una dimostrazione per induzione (se attuata correttamente) è sicuramente valida.
2° Il principio di induzione (PdI) non si può dimostrare, come ha provato Goedel, ma nel senso che non si può dimostrare la coerenza di nessun sistema di assiomi abbastanza complesso da “contenere l’aritmetica”.
In realtà, date le definizioni necessarie (per esempio di cosa sono i numeri naturali) è anche possibile dimostrane la validità. Come ha detto jack nell’insieme dei naturali, definito da Peano, si può dimostrare banalmente che vale, utilizzando il suo 5° postulato:
«se un sottoinsieme S dell’insieme dei naturali N è tale che vi appartiene il primo numero (lo “0” o lo “1”, a seconda delle definizioni), ed è tale che “se vi appartiene un numero vi appartiene anche il suo successivo”, allora S coincide con N».
(In questo caso non considero che il 5° postulato sia il principio, ma lo uso per dimostrarlo.)
3° Il PdI ha una sua forma più debole, che è la seguente:
«Se nell’insieme dei naturali N una proprietà P è vera per un particolare n0, e se si dimostra che “se si suppone vera per un certo n allora è necessariamente vera anche per il suo successivo (cioè n+1)”, allora è vera per tutti i numeri maggiori o uguali a n0».
Ovviamente se n0 = 0 si ha che la proprietà è vera per tutti i numeri, cioè che è vera in N.
4° Il PdI ha una sua forma più forte (si chiame “Principio di induzione transfinito”, vedi il successivo 5° punto), ma che posso “indebolire” in:
«Se in un insieme ben ordinato (cioè tale che ogni suo sottoinsieme abbia un elemento minimo) A una proprietà P è vera per un particolare n0, e se si dimostra che “se si suppone vera per tutti gli elementi minori di un certo elemento n allora è necessariamente vera anche per n”, allora è vera per tutti gli elementi maggiori o uguali a n0».
5° Il “Principio di induzione transfinito” recita:
«Se in un insieme ben ordinato A, una proprietà P è vera per il primo elemento e se è vero che “se si suppone vera per tutti gli elementi minori di un certo elemento n allora è necessariamente vera anche per n”, allora è vera in A».
6° Dice Enrico: «il prof la può accettare o non sarebbe potrebbe obbiettare su qualcosa? »
Secondo me il prof può sempre chiedere chiarimenti, delucidazioni e dimostrazioni, anche per dimostrazioni “ufficiali”, anzi: sarebbe bene che non ci fossero dimostrazioni che hanno il “nulla osta” e che possono essere ripetute a pappagallo senza aver capito niente (secondo voi potrebbero servire a qualcosa che non sia un “promemoria” o un “suggerimento” a chi capisce qualcosa e può ricostruire la dimostrazione?). Viceversa sta a te saper motivare perché e come usi il PdI nelle tue dimostrazioni (parlo nel caso che a scuola non lo abbiate mai incontrato).
Attendo critiche (corbellerie ne dico tante …).
Una domanda per il principio di induzione transfinito (ammetto da subito di essere ignorante in materia): al momento e' una cosa accettata da tutti la validita' di questo metodo o e' una cosa da prendere con le molle? Io sapevo che non sono ammesse operazioni logiche che implichino un numero infinito di passaggi...
Poi se fosse valida l'induzione transfinita si potrebbe fare induzione su tutti gli elementi di IR (dato che in ZFC anche IR e' ben ordinabile)?
Poi se fosse valida l'induzione transfinita si potrebbe fare induzione su tutti gli elementi di IR (dato che in ZFC anche IR e' ben ordinabile)?
Sì: è accettato "ufficialmente".
Non si parla di un numero infinito di passaggi, come non se ne parla in quello "ordinario" (che comunque dimostra per l'insieme numerabile N.
Per "IR" (che cos'è: l'insieme dei reali?) si potrebbe in teoria utilizzare, ma se lo dimostri con un "buon ordinamento", che è tutt'altra cosa dall'ordinamento canonico in R.
Comunque ogni insieme è bene ordinabile.
Di fatto però credo che si utilizzi quasi esclusivamente lavorando con gli ordinali (e, ovviamente, i cardinali, visto che vi sono inclusi).
Non si parla di un numero infinito di passaggi, come non se ne parla in quello "ordinario" (che comunque dimostra per l'insieme numerabile N.
Per "IR" (che cos'è: l'insieme dei reali?) si potrebbe in teoria utilizzare, ma se lo dimostri con un "buon ordinamento", che è tutt'altra cosa dall'ordinamento canonico in R.
Comunque ogni insieme è bene ordinabile.
Di fatto però credo che si utilizzi quasi esclusivamente lavorando con gli ordinali (e, ovviamente, i cardinali, visto che vi sono inclusi).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo