Il triangolo isoscele
Salve a tutti,
ecco un problema di geometria apparentemente innocuo, ma che non so veramente da che parte prendere:
Si disegni un triangolo isoscele ABC il cui angolo al vertice A misura 20 gradi. Si traccino tre segmenti : uno congiunge un punto D di AB con il vertice C, l'altro congiunge un punto E di AC con B e il terzo congiunge D con E. Sapendo che EBA e DCA misurano rispettivamente 20 e 30 gradi si determini l'ampiezza dell'angolo EDB.
[La soluzione è 130°]
il triangolo ABE è isoscele avendo angoli in EBA e BAE di 20°
l'angolo CBA = ACB = (180-20):2=80°
l'angolo BEA = 180-20-20 =140°
l'angolo CDA = 180-30-20 = 130°
l'angolo CDB = 180-130 = 50°
l'angolo DCB = 80-30 = 50°
l'angolo EBC = 80-20 = 60°
se chiami P il punto d'intersezione tra BE e DC hai chee
l'angolo BPC = 180-50-60 = 70°
BPC=EPD =70°
DPB=CPE=(180-40-30)=110°
PEC=180-30-110=40°
Dunque anche BCE è isoscele in base BE.
Qui mi blocco..
ecco un problema di geometria apparentemente innocuo, ma che non so veramente da che parte prendere:
Si disegni un triangolo isoscele ABC il cui angolo al vertice A misura 20 gradi. Si traccino tre segmenti : uno congiunge un punto D di AB con il vertice C, l'altro congiunge un punto E di AC con B e il terzo congiunge D con E. Sapendo che EBA e DCA misurano rispettivamente 20 e 30 gradi si determini l'ampiezza dell'angolo EDB.
[La soluzione è 130°]
il triangolo ABE è isoscele avendo angoli in EBA e BAE di 20°
l'angolo CBA = ACB = (180-20):2=80°
l'angolo BEA = 180-20-20 =140°
l'angolo CDA = 180-30-20 = 130°
l'angolo CDB = 180-130 = 50°
l'angolo DCB = 80-30 = 50°
l'angolo EBC = 80-20 = 60°
se chiami P il punto d'intersezione tra BE e DC hai chee
l'angolo BPC = 180-50-60 = 70°
BPC=EPD =70°
DPB=CPE=(180-40-30)=110°
PEC=180-30-110=40°
Dunque anche BCE è isoscele in base BE.
Qui mi blocco..
Risposte
benvenut* nel forum.
ridimensiona l'avatar secondo regolamento, altrimenti si fatica molto per leggere i messaggi.
il triangolo DBC è isoscele sulla base DC. analogamente il triangolo BEA è isoscele sulla base AB.
da queste osservazioni si ricavano facilmente vari angoli (prova a trovarli se non l'hai già fatto).
infine ti trovi con quattro angoli incogniti tra cui è facile scrivere quattro condizioni ... ma purtroppo non tutte indipendenti.
io ho chiamato:
x l'ampiezza di EDC;
y l'ampiezza di DEB;
z l'ampiezza di ADE;
t l'ampiezza di AED.
non ti riscrivo tante relazioni banali che puoi facilmente ricavare: non sono sufficienti.
detta $l$ la lunghezza di $AB$, con il teorema del coseno ti puoi ricavare $bar(BC)=2lcos80$ e via di seguito.
applicando il teorema dei seni al triangolo DEA si ottiene una relazione per $z$ (che è il supplementare di EDB).
anche se è "improponibile", te la scrivo:
$tan z=(4sen80cos^2 80)/(4cos^3 80 +4cos^2 80-6cos80+1)$ :
meraviglia: la calcolatrice restituisce la giusta soluzione $z=50$.
prova a vedere se da qualche indicazione riesci ad ottenere il risultato in maniera più semplice. facci sapere. ciao.
ridimensiona l'avatar secondo regolamento, altrimenti si fatica molto per leggere i messaggi.
il triangolo DBC è isoscele sulla base DC. analogamente il triangolo BEA è isoscele sulla base AB.
da queste osservazioni si ricavano facilmente vari angoli (prova a trovarli se non l'hai già fatto).
infine ti trovi con quattro angoli incogniti tra cui è facile scrivere quattro condizioni ... ma purtroppo non tutte indipendenti.
io ho chiamato:
x l'ampiezza di EDC;
y l'ampiezza di DEB;
z l'ampiezza di ADE;
t l'ampiezza di AED.
non ti riscrivo tante relazioni banali che puoi facilmente ricavare: non sono sufficienti.
detta $l$ la lunghezza di $AB$, con il teorema del coseno ti puoi ricavare $bar(BC)=2lcos80$ e via di seguito.
applicando il teorema dei seni al triangolo DEA si ottiene una relazione per $z$ (che è il supplementare di EDB).
anche se è "improponibile", te la scrivo:
$tan z=(4sen80cos^2 80)/(4cos^3 80 +4cos^2 80-6cos80+1)$ :
meraviglia: la calcolatrice restituisce la giusta soluzione $z=50$.
prova a vedere se da qualche indicazione riesci ad ottenere il risultato in maniera più semplice. facci sapere. ciao.
Grazie a voi..
Premetto che la gara da cui è tratto questo problema non prevede l'uso di alcun tipo di calcolatrice e quindi suppongo esista un qualche tipo di soluzione elementare.
Ora, per via trigonometrica avevo ottenuto risultati simili ai tuoi utilizzando il teorema del seno, però sono sempre soluzioni poco eleganti:
(per esempio):
Chiamo x l'angolo BDE (incognita del problema);
Di conseguenza l'angolo BED diventa 160-x;
Utilizzando il teorema del seno nel triangolo BDE scrivo:
$ (BE)/(DB) = sin x / sin (160-X) $
Sempre utilizzando il teorema del seno sul triangolo BCE scrivo:
$ (BE)/(BC) = sin 80/sin 40 $
A questo punto unendo le due equazioni (ricordando che $ BC = BD $ ) ottengo $ sin 80/sin 40 = sin x/sin (160-x) $ a cui sostituendo a x 130 è effettivamente verificata,
il problema è che non sono in grado di risolverla senza calcolatrice.
Una soluzione elementare potrebbe consistere nel dimostrare la similitudine fra i triangoli BED e CDA, cosa che si evince conoscendo la soluzione.
Io ci ho provato in tutti i modi, ma non ne vengo a capo!
Premetto che la gara da cui è tratto questo problema non prevede l'uso di alcun tipo di calcolatrice e quindi suppongo esista un qualche tipo di soluzione elementare.
Ora, per via trigonometrica avevo ottenuto risultati simili ai tuoi utilizzando il teorema del seno, però sono sempre soluzioni poco eleganti:
(per esempio):
Chiamo x l'angolo BDE (incognita del problema);
Di conseguenza l'angolo BED diventa 160-x;
Utilizzando il teorema del seno nel triangolo BDE scrivo:
$ (BE)/(DB) = sin x / sin (160-X) $
Sempre utilizzando il teorema del seno sul triangolo BCE scrivo:
$ (BE)/(BC) = sin 80/sin 40 $
A questo punto unendo le due equazioni (ricordando che $ BC = BD $ ) ottengo $ sin 80/sin 40 = sin x/sin (160-x) $ a cui sostituendo a x 130 è effettivamente verificata,
il problema è che non sono in grado di risolverla senza calcolatrice.
Una soluzione elementare potrebbe consistere nel dimostrare la similitudine fra i triangoli BED e CDA, cosa che si evince conoscendo la soluzione.
Io ci ho provato in tutti i modi, ma non ne vengo a capo!
io ho trovato:
aggiungo il punto F su $AC$ tale che $C hat(B) F =20^o$
ottengo $CB =BD=BF=FD=FE$
la penultima uguaglianza perchè $BDF$ è isoscele con angolo in $B$ di $60^o$
l'ultima perchè $BEF$ è isoscele con angoli in $B$ ed $E$ di $40^o$.
quindi $FED$ è isoscele
e quindi $F hat(E)D=Fhat(D)E=70^o$
e $y=70^o-40^o=30^o$
$x=110^o-30^o=80^o$
Ciao,
Andrea
aggiungo il punto F su $AC$ tale che $C hat(B) F =20^o$
ottengo $CB =BD=BF=FD=FE$
la penultima uguaglianza perchè $BDF$ è isoscele con angolo in $B$ di $60^o$
l'ultima perchè $BEF$ è isoscele con angoli in $B$ ed $E$ di $40^o$.
quindi $FED$ è isoscele
e quindi $F hat(E)D=Fhat(D)E=70^o$
e $y=70^o-40^o=30^o$
$x=110^o-30^o=80^o$
Ciao,
Andrea
"vekkioivano":
Io ci ho provato in tutti i modi, ma non ne vengo a capo!
Anch'io ci stavo provando da un po'... ma inutilmente..
I miei complimenti a marmi!
Veramente bravo Andrea!! 
La soluzione alla fine era elementare, ma molto nascosta.
La soluzione alla fine era elementare, ma molto nascosta.
I complimenti fan sempre piacere,
ma non sapete per quante ore ho girato e rigirato quel triangolo!
ciao,
andrea
ma non sapete per quante ore ho girato e rigirato quel triangolo!
ciao,
andrea
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