Il triangolo
Data una retta si fissino quattro punti a caso su di essa. Questi formeranno tre distinti segmenti. Qual è la probabilità che questi possano essere i lati di un triangolo (eventualmente degenere)?
Risposte
Non credo si possa dire niente di "quantificato" se non specifici in che modo prendi "a caso" i 4 punti.
Per intenderci, vorrei che non fossero consentiti ragionamenti del tipo:
«se si sono fissati i primi 3 punti si sono fissati i primi 2 segmenti, e quindi anche la lunghezza che il terzo non può superare: sia s (somma delle lunghezze dei due segmenti precedenti) tale lunghezza; ma se prendo un punto a caaso su una retta (che non ha lunghezza finita) sembrerebbe nulla la probabilità che tale segmento abbia lunghezza minore di s».
Per intenderci, vorrei che non fossero consentiti ragionamenti del tipo:
«se si sono fissati i primi 3 punti si sono fissati i primi 2 segmenti, e quindi anche la lunghezza che il terzo non può superare: sia s (somma delle lunghezze dei due segmenti precedenti) tale lunghezza; ma se prendo un punto a caaso su una retta (che non ha lunghezza finita) sembrerebbe nulla la probabilità che tale segmento abbia lunghezza minore di s».
Ok, effettivamente ci sono implicazioni non banali nel prendere punti a caso su una retta. Riformulo il quesito:
Dato un segmento si prendano due punti a caso all'interno di esso. Questi formeranno tre distinti segmenti. Qual è la probabilità che questi possano essere i lati di un triangolo (eventualmente degenere)?
Dato un segmento si prendano due punti a caso all'interno di esso. Questi formeranno tre distinti segmenti. Qual è la probabilità che questi possano essere i lati di un triangolo (eventualmente degenere)?
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.....a..........b................c........
penso che sia la stessa possibilita' che la somma dei due segmenti piu' corti sia maggiore del segmento piu' grande, o no?
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Il bello di essere intelligente e' che puoi divertirti a fare l' imbecille, ma se sei un imbecille non puoi fare il contrario.
Woody Allen
.....a..........b................c........
penso che sia la stessa possibilita' che la somma dei due segmenti piu' corti sia maggiore del segmento piu' grande, o no?
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Si. Formalizza il tutto con delle disequazioni e poi rappresenta i risultati sul .....
per caso la soluzione e' 1/2?
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Woody Allen
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la soluzione e' quella perche' dei tre segmenti uno sara' sicuramente il piu' grande. la probabilita' che questo sia minore o uguale a 1/2 (fissata ad 1 la lunghezza del segmento originario) e' 1/2 (50%).
affinche' si possa costruire il triangolo gli altri due devono essere piu' piccoli del piu' grande (il che' e' ovvio, dato che altrimenti ne avremmo scelto un altro come piu' grande), e la loro somma deve essere maggiore del segmento piu' grande, e questa condizione e' sicuramente verificata quando quest' ultimo e' minore di 1/2.
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Il bello di essere intelligente e' che puoi divertirti a fare l' imbecille, ma se sei un imbecille non puoi fare il contrario.
Woody Allen
affinche' si possa costruire il triangolo gli altri due devono essere piu' piccoli del piu' grande (il che' e' ovvio, dato che altrimenti ne avremmo scelto un altro come piu' grande), e la loro somma deve essere maggiore del segmento piu' grande, e questa condizione e' sicuramente verificata quando quest' ultimo e' minore di 1/2.
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No EafKuor. La probabilità non è 1/2.
io faccio cosi':
(a,b,c sono i tre segmenti, di cui supponiamo b il piu' grande)
a+b+c=1 quindi a+c=1-b
a+c>b, quindi 1-b>b, b<1/2
la probabilita' che b<1/2 e' 1/2.
dove sbaglio?
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(a,b,c sono i tre segmenti, di cui supponiamo b il piu' grande)
a+b+c=1 quindi a+c=1-b
a+c>b, quindi 1-b>b, b<1/2
la probabilita' che b<1/2 e' 1/2.
dove sbaglio?
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quote:
Originally posted by eafkuor
la probabilita' che b<1/2 e' 1/2.
dove sbaglio?
Qui.
Inoltre non hai quantificato l'ipotesi "suppongo b il più grande". Se b<1/3 di certo non lo è.
bhe' uno dei tre deve per forza essere il piu' grande, e io ho preso b solo per comodita'
comunque dovrebbe essere 3/4
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comunque dovrebbe essere 3/4
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Io penso che non abbia un unico significato "numerico" l'espressione ""prendo un punto a caso ...", perché bisogna specificare come si prende tale punto.
Inoltre possiamo provare a supporre che io prenda i punti in questa maniera: dato il segmento AD prendo il primo punto B sull'intero intervallo,ed otengo il segmento AB, e poi scelgo un altro punto C "a caso" sul segmento BD, ottendendo i segmenti BC e CD.
Supponi anche che tu prenda i punti con la tua idea (cioè che la probabilità che l'altro estremo cada in un intervallo è proporzionale all'estensione dell'intervallo), allora la probabilità che il primo punto cada nella seconda metà del segmento AD è 1/2, cioè questa è la probabilità che il primo punto determini un segmento troppo grande per costruire un triangolo.
Ma poiché non è nulla la probabilità che sia troppo grande l'intervallo BC o l'intervallo CD, ne consegue che la probabilità che non si abbia il triangolo è maggiore di 1/2.
Inoltre possiamo provare a supporre che io prenda i punti in questa maniera: dato il segmento AD prendo il primo punto B sull'intero intervallo,ed otengo il segmento AB, e poi scelgo un altro punto C "a caso" sul segmento BD, ottendendo i segmenti BC e CD.
Supponi anche che tu prenda i punti con la tua idea (cioè che la probabilità che l'altro estremo cada in un intervallo è proporzionale all'estensione dell'intervallo), allora la probabilità che il primo punto cada nella seconda metà del segmento AD è 1/2, cioè questa è la probabilità che il primo punto determini un segmento troppo grande per costruire un triangolo.
Ma poiché non è nulla la probabilità che sia troppo grande l'intervallo BC o l'intervallo CD, ne consegue che la probabilità che non si abbia il triangolo è maggiore di 1/2.
vabbe' insomma chi e' che ci da' la risposta (che non e' 3/4)?
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La probabilità di ottenere un triangolo è 1/4.
Per una dimostrazione dettagliata vedere:
http://www.eco.uninsubria.it/VL/VL_IT/b ... ffon4.html
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http://www.eco.uninsubria.it/VL/VL_IT/b ... ffon4.html
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