Il ragno la mosca
Ho trovato un quesito che forse piacera' a qualche appassionato del Forum.Spero che sia sufficientemente nuovo.
Dunque:
Una mosca giace stecchita su un pavimento quadrato di un metro di lato. Un ragno (ubriaco?), che sta da qualche parte sullo stesso pavimento, l'ha avvistata e vuole mangiarsela. A questo scopo, per raggiungerla, si muove puntando sempre uno degli angoli del pavimento e percorrendo la meta' della distanza dalla sua posizione fino all'angolo scelto. Provare che il ragno puo', con una opportuna scelta degli angoli ad ogni tratto, trovarsi a meno di un cm dalla mosca dopo 8 tratti.
karl.
P.S. Non ho la soluzione !
Dunque:
Una mosca giace stecchita su un pavimento quadrato di un metro di lato. Un ragno (ubriaco?), che sta da qualche parte sullo stesso pavimento, l'ha avvistata e vuole mangiarsela. A questo scopo, per raggiungerla, si muove puntando sempre uno degli angoli del pavimento e percorrendo la meta' della distanza dalla sua posizione fino all'angolo scelto. Provare che il ragno puo', con una opportuna scelta degli angoli ad ogni tratto, trovarsi a meno di un cm dalla mosca dopo 8 tratti.
karl.
P.S. Non ho la soluzione !
Risposte
uscito da una rosticceria di quelle che ti fan lasciare a casa la giacca per una settimana, sento un forte odore di effetti dicotomici:
ma, quanto a dimostrarlo!
(mi rifugio in birreria per ispirazione)
torno: c'era una mosca nella mia birra!
forse era più ragionevole dire:
ma, quanto a dimostrarlo!
tony
*Edited by - tony on 24/01/2004 05:00:54
(8-1)
2 = 128 >= 100/1, sufficiente
mentre
(7-1)
2 = 64 < 100/1, insufficiente
ma, quanto a dimostrarlo!
(mi rifugio in birreria per ispirazione)
torno: c'era una mosca nella mia birra!
forse era più ragionevole dire:
8
2 = 256 >= 141.4/1, sufficiente
mentre
7
2 = 128 < 141.4/1, insufficiente
ma, quanto a dimostrarlo!
tony
*Edited by - tony on 24/01/2004 05:00:54
cancello rumorosamente la mia ipotesi sulla diagonale (quella da 141.4):
era basata (udite, udite!) sull'impressione che il numero di elementi della diagon. di una matrice quadrata foss sqr(2) del num. di quelli del lato. uhh! uhh! uhh!
resta invece valida la mia prima congettura che dopo 7 tratti il povero ragno ubriaco e zig-zagante arriverebbe da qualsiasi punto ad una griglia di 64 elementi con maglie da ~1.5 cm., troppo larghe per garantirgli la cena.
con l'ottavo tratto, invece, arriverebbe a maglie da 1/128 del lato da 1 metro.
forse c'è da puntualizzare se la posiz. iniz. del ragno conti per "1" o no.
tony
*quote:
8
2 = 256 >= 141.4/1, sufficiente
mentre
7
2 = 128 < 141.4/1, insufficiente
era basata (udite, udite!) sull'impressione che il numero di elementi della diagon. di una matrice quadrata foss sqr(2) del num. di quelli del lato. uhh! uhh! uhh!
resta invece valida la mia prima congettura che dopo 7 tratti il povero ragno ubriaco e zig-zagante arriverebbe da qualsiasi punto ad una griglia di 64 elementi con maglie da ~1.5 cm., troppo larghe per garantirgli la cena.
con l'ottavo tratto, invece, arriverebbe a maglie da 1/128 del lato da 1 metro.
forse c'è da puntualizzare se la posiz. iniz. del ragno conti per "1" o no.
tony
Per karl oppure tony,
ho una domanda.
Se in uno dei suoi "raid rettilinei" il ragno dovesse passare sufficientemente vicino alla mosca, diciamo a portata di mandibola (1 cm), si può fermare a mangiarla? Oppure deve necessariamente incontrarla alla fine del segmento di retta che sta percorrendo?
Lo chiedo perché avrei una mezza idea su come risolvere il problema nel caso in cui il ragno si possa fermare a mangiare.
Marcello
ho una domanda.
Se in uno dei suoi "raid rettilinei" il ragno dovesse passare sufficientemente vicino alla mosca, diciamo a portata di mandibola (1 cm), si può fermare a mangiarla? Oppure deve necessariamente incontrarla alla fine del segmento di retta che sta percorrendo?
Lo chiedo perché avrei una mezza idea su come risolvere il problema nel caso in cui il ragno si possa fermare a mangiare.
Marcello
Secondo me lo scopo del ragno e' quello di
procurarsi ...la cena ma quello del gioco
e' dimostrare che il ragno puo' passare a meno
di un cm dalla mosca alle condizioni dette.
(che poi mangi o meno se la vede lui).
karl
procurarsi ...la cena ma quello del gioco
e' dimostrare che il ragno puo' passare a meno
di un cm dalla mosca alle condizioni dette.
(che poi mangi o meno se la vede lui).
karl
il povero ragno si annoia, vediamo di dargli una mano:
tony
*Edited by - tony on 16/02/2004 17:40:26
quadro in scala 1:2 dopo la mossa 1
1 1 1 1 0 = punto di partenza P0(x0,y0) del ragno.
0 2 4 6 8 0 2 4 6 1 = i 4 possibili arrivi della mossa 1; for
^---16-D-----m---------C 16 mano un quadrato (di lato L/2, indipendente
c1y 14 | | 14 da P0), contornato da una "cornice".
| 12 | | 12 c1x = ampiezza orizz. della cornice;
v---10-| 1-------1 | 10 = (L-x0)/2; è max (=L/2) per x0=0.
8 | | | | 8 c1y = idem in vertic.; max (=L/2) per y0=0.
6 | | p | m 6
y0---4-| | 0 | | 4 possibili punti "peggiori" (posizioni della
2 | 1-------1 | 2 mosca con max distanza da un "punto 1" :
0 A---------------B 0 p = centro del quadrato "1"; la distanza
| 1 1 1 1 (=pitagora(L/4,L/4)) non dipende da P0.
0 2 4 6 8 0 2 4 6 m = punti "medi" la dist. (=pitagora(c1x,L/4))
| | | è max. (=pitagora(L/2,L/4)) per x0=0.
x0 || d1 = (non indicata nel disegno) distanza tra
un vertice del campo e il più vicino
"punto 1"; =pitagora(c1x,c1y), è max
(=pitagora(L/2,L/2)) se x0=y0=0 (c1x=c1y).
d1 max è maggiore delle 2 precedenti.
conclusione : la max distanza dopo la mossa 1 vale sqr(2)*L/2 e si ha se il
ragno parte da un vertice (es. A) e la mosca è nel vertice opposto (es. C).
quadro in scala 1:1 dopo la mossa 2:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 2 = i 16 possibili arrivi della
^---16-D---------------------m---------C 16 mossa 2; formano una griglia
c2y 15 | | 15 (il lato della maglia è L/4,
| 14 | | 14 ed è indipendente da P0),
v---13-| 2.......2.......2.......2 | 13 contornata da una "cornice".
12 | . . . . | 12 c2x = ampiezza orizz. della corn.
11 | . . . . m 11 = metà della precedente c1x,
10 | . 1---------------1 . | 10 = (L-x0)/4; max (=L/4) per x0=0.
9 | 2.|.....2.......2.|.....2 | 9 c2y = idem in vertic.; max (=L/4).
8 | . | . . | . | 8
7 | . | . . | . | 7 sui possibili punti "peggiori"
6 | . | . . | . | 6 valgono le consideraz. della mossa 1
5 | 2.|.....2.......2.|.....2 | 5 in particolare:
y0---4-| . | 0 . . | . | 4 d2 = (non indicata nel disegno)
3 | . | . . | . | 3 distanza tra un vertice del cam-
2 | . 1---------------1 . | 2 po e il più vicino "punto 2";
1 | 2.......2.......2.......2 | 1 max. (=pitagora(L/4,L/4)) se x0=0.
0 A-------------------------------B 0
| 1 1 1 1 1 1 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6
| | |
x0 ||
conclusione : la max distanza dopo la mossa 2 vale sqr(2)*L/4 nelle stesse
condiz. di partenza
proseguendo, si ha:
n cn numero dn se L=100
(mossa) (cornice) nodi distanza dn=
1 1/2 4 sqr(2)*L/2 70.71
2 1/4 16 sqr(2)*L/4 35.35
3 1/8 64 sqr(2)*L/8 17.67
4 1/16 256 sqr(2)*L/16 8.84
5 1/32 1024 sqr(2)*L/32 4.42
6 1/64 4096 sqr(2)*L/64 2.21
7 1/128 16384 sqr(2)*L/128 1.10
8 1/256 65536 sqr(2)*L/256 0.55 <=== < 1 cm solo dopo la mossa 8
tony
*Edited by - tony on 16/02/2004 17:40:26
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