Il pozzo

[MaMo2]

Propongo un semplice problema di geometria.

Si intende ricoprire un pozzo di raggio 1 m con 2 tavole rettangolari di legno.
Quale sarà l'area minima delle tavole?
E se le tavole fossero 4?

[blackbishop13]

intuizione immediata,quindi potrebbe essere una sciocchezza:
io direi che se si parla di rettangoli con area piccola, conviene sempre pensare a quadrati, e quindi fine del gioco..

[MaMo2]

Se dovessi usare una sola tavola il quadrato sarebbe la soluzione giusta, ma con 2 tavole direi proprio di no.

[blackbishop13]

colpa mia, sono stato poco chiaro: ovviamente si divide a metà il quadrato per le 2 parti, e avanti così a dividere a metà se servono 4 parti (e otteniamo 4 quadrati, adesso sì), 8 parti..

[MaMo2]

Se ho capito bene secondo te l'area minima sarebbe sempre di 4 m^2 indipendentemente dal numero delle tavole da utilizzare.
Questo però non è assolutamente vero.

[Rggb1]

Se metti una tavola piccola fino ad 1/4 del diametro e una grande a coprire il resto, l'area è minore.

[blackbishop13]

ok, lascio perdere la mia intuizione, era sparata così per dare un'idea!
mi sa che bisogna mettersi d'impegno e calcolare un po' di roba.

[Iris26]

L'area minima dovrebbe essere $ 1 + 2sqrt(2) $ nel caso di due tavole, mentre per 4 dovrebbe essere $ 4sqrt(2)-2 $

Dimmi che va bene!!! Mi sono data una intrappolata incredibile prima di trovare il procedimento più conveniente!

[MaMo2]

Brava Iris.
Il risultato, per due tavole, è corretto.
Impiegando 4 tavole però si puo fare di meglio.

[giacor86]

Ci provo:

Ad ogni iterazione del tipo $2^n$ assi, diminuisco l'area totale smussando gli spigoli di quella dell'iterazione precedente togliendo un quadrato a spigolo.

2 assi: $A=4sqrt(2)-2$
4 assi: il calcolo è un po' + laborioso, dimmi prima se l'idea è quella giusta..

EDIT: ho tlto una domanda iniziale a Mamo, che riflettendoci meglio, ho capito che non aveva senso

[MaMo2]

Giacor, la tua idea è giusta.
Le tue figure però si riferiscono ad un numero dispari di tavole.

[giacor86]

eh no, nel senso che i pezzi dello stesso colore sono la stessa tavola. Le mie tavole si sovrappongono... non vale eh?

[MaMo2]

Vale.
Ma così l'area complessiva delle tavole è molto più grande.

[giacor86]

hehe claro. allora ci penso un po'..

[giacor86]

2 assi confermo il risultato di Iris, 4 assi mi viene numericamente circa 3,6011.

[MaMo2]

Bene Giacor.
Ti stai avvicinando ma il risultato è ancora migliorabile.

[Gisy1]

a me con 4 assi viene

$8sqrt(2)-8$ è corretto?

[MaMo2]

Penso sia sbagliato in quanto io ho ottenuto un risultato superiore.
Puoi descrivere la tua disposizione delle 4 tavole?

[giacor86]

Se non è giusta nemmeno questa, mi arrendo

Con $alpha$ e $beta$ da determinare con un'ottimizzazione a 2 variabili, anche se ad intuito mi viene da pensare che la soluzione sia quella con $alpha=beta=pi/6$

[MaMo2]

Bene Giacor. La strada è quella giusta.
Il tuo intuito però sbaglia.
Per eliminare una delle due variabili puoi basarti sulla simmetria della figura ...

[giacor86]

L'idea della simmetria ce l'avevo ma dovevo scappare di casa. poi prima di andare avanti coi conti volevo sapere se era la strada giusta :D

$A~~3.585$ con $theta~~0.6 Rad ~~ pi/5$

??