Il numero del diavolo

[son Goku1]

trovare quel numero $alpha$ tale che $lim_(ntoinfty)n^alpha/ln(n)=1$

[_Tipper]

"Tipper":Se deve essere un numero reale non saprei, altrimenti sceglierei $\alpha = \log_n(\ln(n))$.

Personalmente non vedo altra soluzione.

[son Goku1]

"Tipper":
Dunque l'alpha cercato dovrebbe essere zero... ma non torna...

eh bè, infatti $n^0/ln(n)=1/ln(n)$ che tende a zero e non a 1

[_Tipper]

Il fatto di mettere, al posto di $\alpha$, $\log_{n}(\ln(n))$ o, scritto in altro modo, $\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}$ va bene, nel senso che con questa sostituzione tutto torna, quello che non mi convince è che $\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}$ sia una costante reale per $n\ rightarrow +\infty$.

[son Goku1]

"Tipper":[quote="Tipper"]Se deve essere un numero reale non saprei, altrimenti sceglierei $\alpha = \log_n(\ln(n))$.

Personalmente non vedo altra soluzione.[/quote]

ma è la stessa di niddhogg che prima avevi detto che non tornava

[_Tipper]

"Tipper":Il fatto di mettere, al posto di $\alpha$, $\log_{n}(\ln(n))$ o, scritto in altro modo, $\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}$ va bene, nel senso che con questa sostituzione tutto torna, quello che non mi convince è che $\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}$ sia una costante reale per $n\ rightarrow +\infty$.

Capito qual è il punto che non mi quadra? È considerare quella quantità un numero reale.

[son Goku1]

"Tipper":[quote="Tipper"]Il fatto di mettere, al posto di $\alpha$, $\log_{n}(\ln(n))$ o, scritto in altro modo, $\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}$ va bene, nel senso che con questa sostituzione tutto torna, quello che non mi convince è che $\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}$ sia una costante reale per $n\ rightarrow +\infty$.

Capito qual è il punto che non mi quadra? È considerare quella quantità un numero reale.[/quote]

già lo penso anch'io e che cos'è allora? una successione che tende a zero? non un numero. l'obiettivo era trovare quel numero che... cio

[_Tipper]

È una quantità che tende a zero per $n \rightarrow +\infty$, ma mi resta difficile vederla come una costante reale, ma magari mi sto sbagliando di grosso... non sarebbe poi la prima volta che dico un mucchio di cavolate...

EDIT: più che quantità, diciamo funzione di $n$.

[TomSawyer1]

Ma non mi sembra che son_Goku abbia detto che $alpha$ deve essere una costante. Non avrebbe molto senso chiederlo. Secondo me, va benissimo la proposta di Nidhogg.

[_Tipper]

"son Goku":trovare quel numero $alpha$ tale che $lim_(ntoinfty)n^alpha/ln(n)=1$

Io, personalmente, l'ho interpretato come costante, se non richiede esplicitamente una costante, le cose già dette vanno benissimo.

[giuseppe87x]

Provo a dire la mia.
Supponiamo che esista $alphainRR$, $0=1$ il limite sarebbe $0$, mentre se fosse $alpha<=0$ il limite sarebbe $+infty$).
Per il teorema di Taylor si ha che esiste una costante $cin (1, n)$ t.c. $lim_(ntoinfty)logn/n^(alpha)=(n-1-1/(2c^2)(n-1)^2)/(n^(alpha)$ e per $nto infty$ possiamo supporre $c>=1$.
Per la definizione di limite deve aversi definitivamente $|(n-1-1/(2c^2)(n-1)^2)/(n^(alpha))-1|

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[son Goku1]

perchè vale $-oo$?
cmq io avevo pensato che alpha fosse un numero ipereale, è l'unica conclusione logica possibile dal momento che neanche +/-infinito va bene, se deve esistere un numero, ma era solo una supposizione, potrebbe essere?
http://it.wikipedia.org/wiki/Numeri_iperreali

[giuseppe87x]

In quelle somme due termini tendono a zero mentre tra i tre restanti comanda $-1/n^(alpha-2)$ che per $0 Non mi azzardo a dire niente sulla questione dei numeri iperreali perchè so a stento cosa siano.

[kinder1]

se poniamo $n=e^m$ abbiamo che $n^alpha/ln(n)=e^(alpham)/m$.

Col tendere di m all'infinito il rapporto $e^(alpham)/m$ si comporta come segue:

- $alpha>0$ tende a $+oo$
- $alpha<=0$ tende a zero.

Per cui deduco che non esiste un $alpha$ reale che soddisfa la condizione posta.

[son Goku1]

"giuseppe87x":In quelle somme due termini tendono a zero mentre tra i tre restanti comanda $-1/n^(alpha-2)$ che per $0 Non mi azzardo a dire niente sulla questione dei numeri iperreali perchè so a stento cosa siano.

non va bene usare il teorema di lagrange, la costrante c può andare a infinito essendo compresa in un intervallo illimitato.
per quanto riguarda gli iperreali, ciò che dice kinder potrebbe confermarlo, alpha sarebbe un numero che viene immediatamente dopo lo 0 compreso tra due reali