Il leone nel pozzo

[Sk_Anonymous]

Un leone si trova in un pozzo profondo 50 palmi. Durante il giorno, risale il pozzo di 1/7 di palmo, ma durante la notte ridiscende di 1/9 di palmo. Dopo quanti giorni il leone riuscirà a raggiungere la cima del pozzo?

[cenzo1]

1572

[@melia]

In teoria il gioco vuole trarre in inganno e dopo una serie di calcoli farci rispondere che il leone percorre $2/63$ di palmo in 24 ore perché ne sale $1/7$ di giorno e ne scende $1/9$ di notte e perciò servono 1575 giorni. Questo perché il problema, nel labirinto di frazioni, ci fa perdere di vista il fatto che quando il leone raggiunge la superficie del pozzo e se ne esce, la notte successiva non scivolerà più. All'alba del 1572-esimo giorno il leone avrà percorso $(2*1571)/63$ palmi e gli mancheranno solo $8/63$ di palmo, che è meno di $1/7$ e quindi riuscirà ad uscire dal pozzo nell'arco della giornata.

Ho voluto scrivere tutta la spiegazione e ho perso tempo. Seconda!

[Sk_Anonymous]

Entrambe le risposte sono corrette, ma quella di @melia è palesemente più precisa.

[cenzo1]

"Delirium":Entrambe le risposte sono corrette, ma quella di @melia è palesemente più precisa.

Avevo ragionato così:

Detto $p(n)$ il percorso compiuto in $n$ giorni, risulta $p(n)=2/63(n-1)+1/7$
(ovvero il percorso fatto al giorno precedente più la sola salita al giorno $n$)

Imponendo $p(n)=50$ ottengo $2/63(n-1)+1/7=50 -> n=3143/2=1571.5$
da cui ho concluso che occorrono 1572 giorni.

P.S. Conoscevo un problema molto simile con protagonista una lumaca (ma senza frazioni).. un leone che striscia su per il pozzo di giorno e scivola giù di notte non me lo immagino proprio..

[Sk_Anonymous]

Si cenzo, in particolare il leone (o la lumaca se vuoi ) è già fuori dal pozzo alla 12esima ora del 1572° giorno.

[cenzo1]

"Delirium":Si cenzo, in particolare il leone (o la lumaca se vuoi ) è già fuori dal pozzo alla 12esima ora del 1572° giorno.

Ma.. credo ben prima della 12° ora... se usasse le 24 ore per salire... quando scende ??

[Sk_Anonymous]

Ho implicitamente supposto, per semplificare il conto, che nelle prime dodici ore del giorno salisse e scendesse nelle seconde dodici ore... Anche se il testo non lo dice espressamente, credo sia una variante meglio assimilabile
Così non facendo, avremmo seri problemi di sincronia degli orari

[Umby2]

"Delirium":Ho implicitamente supposto, per semplificare il conto, che nelle prime dodici ore del giorno salisse e scendesse nelle seconde dodici ore... Anche se il testo non lo dice espressamente, credo sia una variante meglio assimilabile
Così non facendo, avremmo seri problemi di sincronia degli orari

supponendo cio':
a me viene dopo 10 ore e 40 minuti.

[cenzo1]

"Delirium":Ho implicitamente supposto, per semplificare il conto, che nelle prime dodici ore del giorno salisse e scendesse nelle seconde dodici ore...

I giorni venivano 1571,5 quindi dovrebbe bastare mezzo periodo di salita per raggiungere la meta.
Assumendo un periodo di salita di 12 ore, mezzo periodo di salita dovrebbe corrispondere a 6 ore.
Quindi alla 6° ora il leone dovrebbe spuntare fuori dal pozzo.

Non ho compreso le 10 ore e 40 minuti calcolati da Umby, ma supppongo ci sia un motivo valido.. devo rifletterci un po'.

[Sk_Anonymous]

Al 1571esimo giorno il leone ha percorso $1571*2/63 m=49.873015873015 m$; mezzo periodo di risalita (6 ore) corrisponde a $1/7*1/2 m= 1/14 m$ che, sommato alla distanza percorsa nei 1571 giorni precedenti ancora non ci dà $50 m$ esatti (infatti $(49.873015873015+0.0714285714285) m=49,94444444 m$).

[Umby2]

"cenzo":

Non ho compreso le 10 ore e 40 minuti calcolati da Umby, ma supppongo ci sia un motivo valido.. devo rifletterci un po'.

Diciamo che "un minollo" è la 63esima parte di un palmo.
Possiamo quindi dire che il pozzo è lungo (63*50) 3150 Minolli.
E che in un giorno si percorrono 9 Minolli di mattina e 7 Minolli di sera in senso opposto per complessivi 2 Minolli.
Se il mattino è di 12 ore, ci vogliono (12 / 9) 1H:20M per ogni minollo in salita.

Dopo 1571 giorni completi abbiamo 3142 minolli, ne mancano ancora 8 per raggiungere la vetta. Quindi 8 * 1H:20M = 10H:40M

[cenzo1]

Grazie Umby, ho compreso il mio errore, dovevo fare un'interpolazione lineare sapendo che la distanza di $1/7$ di palmo è percorsa in 12 ore e che restano da percorrere $50-2/63*1571$ palmi:
$(50-2/63*1571)/(1/7)*12=10,\bar6$ ore cioè 10 h 40 min

P.S. Chiarissima la soluzione con i "minolli".. anzi magari è proprio un minollo che sta salendo il pozzo.. ma come fa un leone a stare digiuno per 1571 giorni 10 ore e 40 minuti ?

[Sk_Anonymous]

Proviamo a chiederlo a Fibonacci. Il problema proviene direttamente dal suo Liber Abaci

[cenzo1]

ma come fa un leone a stare digiuno per 1571 giorni 10 ore e 40 minuti ?

"Delirium":Proviamo a chiederlo a Fibonacci. Il problema proviene direttamente dal suo Liber Abaci

Se lo ha detto Fibonacci, allora ci credo.