Il gioco della scacchiera. Impossibile.
Vi propongo un gioco che secondo me è molto complesso, chi lo indovina è un genio. E’ stato proposto dal compito della sant’anna di Pisa (l’università per ingegneria , medicina e altro meglio in italia e tra le prime del mondo), su 320 persone solo 1 c’è riuscito/a a spiegare perfettamente. Me lo ha spiegato un prof. normalista e la soluzione qundo la sai...è un bischerata!
Si ha una scacchiera n*n (quindi quadrata) , una pedina e due giocatori, ovviamente. Il gioco inizia sempre dalla casella in alto a sinistra. I giocatori possono muovere la pedina in tutte le direzioni possibili tranne che in diagonale, di una posizione per turno. NON E’ POSSIBILE TORNARE SULLE CASELLE GIA’ UTILIZZATE!!
Dopo che A ha mosso, B riprende dal punto in cui A si è posizionato. Vince il giocatore che riesce a bloccare l’avversario, nel senso che l’avversario è impossibilitato a fare mosse.
ESEMPIO : in una scacchiera “1*1” , A non ha possibilità di muoversi perché la scacchiera è composta da una sola casella, quindi vince automaticamente B.
2 domande:
1) (diff) quale è la strategia migliore che il giocatore A e B devono intraprendere per vincere?
2) (facile) chi vince? Sempre A? Sempre B?
Si ha una scacchiera n*n (quindi quadrata) , una pedina e due giocatori, ovviamente. Il gioco inizia sempre dalla casella in alto a sinistra. I giocatori possono muovere la pedina in tutte le direzioni possibili tranne che in diagonale, di una posizione per turno. NON E’ POSSIBILE TORNARE SULLE CASELLE GIA’ UTILIZZATE!!
Dopo che A ha mosso, B riprende dal punto in cui A si è posizionato. Vince il giocatore che riesce a bloccare l’avversario, nel senso che l’avversario è impossibilitato a fare mosse.
ESEMPIO : in una scacchiera “1*1” , A non ha possibilità di muoversi perché la scacchiera è composta da una sola casella, quindi vince automaticamente B.
2 domande:
1) (diff) quale è la strategia migliore che il giocatore A e B devono intraprendere per vincere?
2) (facile) chi vince? Sempre A? Sempre B?
Risposte
Se A gira in tondo (ad esempio con una scacchiera di 4 caselle) A,B,C,D e torna ad A,B,C, Ecc non c'è un vincitore perchè l'inseguimento va all'infinito...sempre che si possa tornare sulle caselle precedenti dalle quali non si è mosso immediatamente prima. Se nò credo che il vincitore sia sempre B a meno che non si possa ipotizzare una scacchiera di infinite caselle dove allora A non verrebbe mai raggiunto. Riguardo alle strategie secondo me non può esistere una strategia in un gioco dove B (l'inseguitore) muove sempre immediatamente dopo l'avversario alla distanza di una casella.
Se si ha un scacchiera 4 caselle vince A, ripeto che non si può tornare sulle caselle già utilizzate.
Faccio l'esempio in questione: 4 caselle 1234. La pedina è sulla 1, il giocatore A la sposta sulla 2 (la poteva spostare anche sulla 4) poi B, la può spostare solamente sulla 3( non può andare in digonale), A la sposta sulla 4 , adesso toccherebbe a B ma B non può muoversi (perchè la prima è già stata utilizzata) quindi vince A
1 2
4 3
Faccio l'esempio in questione: 4 caselle 1234. La pedina è sulla 1, il giocatore A la sposta sulla 2 (la poteva spostare anche sulla 4) poi B, la può spostare solamente sulla 3( non può andare in digonale), A la sposta sulla 4 , adesso toccherebbe a B ma B non può muoversi (perchè la prima è già stata utilizzata) quindi vince A
1 2
4 3
Quindi B non può utilizzare le caselle già utilizzate da A?
no, non può
Allora cambia tutto....ci penso su... 
se la scacchiera fosse di quattro caselle vincerebbe A, cm spiegato prima da andre_1987
per 4 caselle è verificato che vinca A, per 9 caselle è verificato che vinca B
12 AB
43 BA
123 ABA
654 BAB
789 ABA
quindi se i quadrati formati da numeri dispari, possono essere rappresentati da scacchiere con un numero dispari di lati e quindi la successione che prendono è quella del caso 3x3 in quanto la casella centrale, quella dove finisce per forza di cose la partita ha sempre la stessa lettera del giocatore che ha iniziato, in quanto ogni giro agginge un quadrato intorno al quadrato 3x3
invece quindi se i quadrati formati da numeri pari, possono essere rappresentati da scacchiere con un numero pari di lati e quindi la successione che prendono è quella del caso 2x2 in quanto la casella in alto a sinistra è diversa dalla lettera con la casella allo spigolo pari del quadrato più interno formato da quattro caselle, in quanto ogni quadrato è l'aggiunta di un quadrato intorno al quadrato 2x2.
di sicuro ci sarà qualche errore nel mio ragionamento, però nn mi sembra male, cm prima ipotesi=)
per 4 caselle è verificato che vinca A, per 9 caselle è verificato che vinca B
12 AB
43 BA
123 ABA
654 BAB
789 ABA
quindi se i quadrati formati da numeri dispari, possono essere rappresentati da scacchiere con un numero dispari di lati e quindi la successione che prendono è quella del caso 3x3 in quanto la casella centrale, quella dove finisce per forza di cose la partita ha sempre la stessa lettera del giocatore che ha iniziato, in quanto ogni giro agginge un quadrato intorno al quadrato 3x3
invece quindi se i quadrati formati da numeri pari, possono essere rappresentati da scacchiere con un numero pari di lati e quindi la successione che prendono è quella del caso 2x2 in quanto la casella in alto a sinistra è diversa dalla lettera con la casella allo spigolo pari del quadrato più interno formato da quattro caselle, in quanto ogni quadrato è l'aggiunta di un quadrato intorno al quadrato 2x2.
di sicuro ci sarà qualche errore nel mio ragionamento, però nn mi sembra male, cm prima ipotesi=)
Ciao, voi siete rimasti a casi con poche caselle, ma se si considera un caso con n molto grande si puo` facilmente intuire che non tutte le caselle saranno utilizzate; quindi e` inutile fare generalizzazioni del tipo n pari vince A per n dispari vince B; detto cio` il problema e` molto interessante perche` bisognerebbe considerare i gradi di liberta` di una casella in funzione della sua posizione e del numero di mosse in cui ci si e` arrivati; una traccia potrebbe essere quella di partire dal fondo. Cioe` partiamo da una casella qualsiasi e imponiamo che si debba arrivare alla casella in alto a sinistra. Ora una domanda pratica: se i due giocatori giocano uno davanti all`altro qual e` la casella in alto a sinistra? Meditate, gente, meditate.
"fu^2":
se la scacchiera fosse di quattro caselle vincerebbe A, cm spiegato prima da andre_1987
per 4 caselle è verificato che vinca A, per 9 caselle è verificato che vinca B
12 AB
43 BA
123 ABA
654 BAB
789 ABA
quindi se i quadrati formati da numeri dispari, possono essere rappresentati da scacchiere con un numero dispari di lati e quindi la successione che prendono è quella del caso 3x3 in quanto la casella centrale, quella dove finisce per forza di cose la partita ha sempre la stessa lettera del giocatore che ha iniziato, in quanto ogni giro agginge un quadrato intorno al quadrato 3x3
invece quindi se i quadrati formati da numeri pari, possono essere rappresentati da scacchiere con un numero pari di lati e quindi la successione che prendono è quella del caso 2x2 in quanto la casella in alto a sinistra è diversa dalla lettera con la casella allo spigolo pari del quadrato più interno formato da quattro caselle, in quanto ogni quadrato è l'aggiunta di un quadrato intorno al quadrato 2x2.
di sicuro ci sarà qualche errore nel mio ragionamento, però nn mi sembra male, cm prima ipotesi=)
Diciamo questo ragionamento è in parte giusto perchè se il numero di caselle n*n è pari , ed A gioca BENE (avvero applica la strategia da trovare) , allora vince. Lo stesso per B se le caselle sono dispari 5*5, 25*25, 197*197...
Però la cosa più interessante è che si tratta (almeno mi sembra di capire) di un gioco strategico....ma chi vinecerebbe la strategia migliore o la matematica?
Vediamo, io dico che il gioco ha sempre una strategia vincente: se n è pari, ha una strategia vincente il giocatore che muove per primo (chiamiamolo A), se n è dispari ha una strategia vincente il giocatore che muove per secondo (chiamiamolo B). Dimostriamolo.
Se n è pari, dividiamo la scacchiera in sottoquadrati di lato 2 X 2. La strategia vincente di A è di muovere sempre rimanendo nello stesso sottoquadrato di lato 2 X 2 in cui si trova al momento della mossa. E' banale verificare che la strategia è realizzabile e che è vincente per A.
Se n è dispari, suddividiamo la scacchiera in due regioni. La prima regione è formata dalla prima colonna e dall'ultima riga della scacchiera. La seconda regione dalla parte restante. Dividiamo la prima regione in tessere che coprono esattamente due quadratini adiacenti, partendo con la suddivisione a partire dal quadratino immediatamente sotto al primo in alto a sinistra. Dividiamo invece la seconda regione in sottoquadrati di lato 2 X 2: tale suddivisione ovviamente è possibile.
La strategia vincente del giocatore che muove per secondo, ovvero B, è la seguente: muovere sempre in modo da rimanere nello stesso sottoquadrato 2 X 2 o nella stessa tessera in cui si trova al momento della mossa. E' banale verificare che la strategia è realizzabile e che è vincente per B.
Se n è pari, dividiamo la scacchiera in sottoquadrati di lato 2 X 2. La strategia vincente di A è di muovere sempre rimanendo nello stesso sottoquadrato di lato 2 X 2 in cui si trova al momento della mossa. E' banale verificare che la strategia è realizzabile e che è vincente per A.
Se n è dispari, suddividiamo la scacchiera in due regioni. La prima regione è formata dalla prima colonna e dall'ultima riga della scacchiera. La seconda regione dalla parte restante. Dividiamo la prima regione in tessere che coprono esattamente due quadratini adiacenti, partendo con la suddivisione a partire dal quadratino immediatamente sotto al primo in alto a sinistra. Dividiamo invece la seconda regione in sottoquadrati di lato 2 X 2: tale suddivisione ovviamente è possibile.
La strategia vincente del giocatore che muove per secondo, ovvero B, è la seguente: muovere sempre in modo da rimanere nello stesso sottoquadrato 2 X 2 o nella stessa tessera in cui si trova al momento della mossa. E' banale verificare che la strategia è realizzabile e che è vincente per B.
La suddivisione che ho fatto si può ovviamente ulteriormente semplificare... Infatti ogni quadrato 2 X 2 si può suddividere in due "tessere" da 2 quadratini. Quindi la strategia vincente si riduce sempre nel muovere in modo da rimanere sempre nella "tessera" in cui ci si trova al momento della mossa, considerando ovviamente l'opportuna suddivisione della scacchiera nel caso pari e nel caso dispari.
"fields":
Vediamo, io dico che il gioco ha sempre una strategia vincente: se n è pari, ha una strategia vincente il giocatore che muove per primo (chiamiamolo A), se n è dispari ha una strategia vincente il giocatore che muove per secondo (chiamiamolo B). Dimostriamolo.
Se n è pari, dividiamo la scacchiera in sottoquadrati di lato 2 X 2. La strategia vincente di A è di muovere sempre rimanendo nello stesso sottoquadrato di lato 2 X 2 in cui si trova al momento della mossa. E' banale verificare che la strategia è realizzabile e che è vincente per A.
Se n è dispari, suddividiamo la scacchiera in due regioni. La prima regione è formata dalla prima colonna e dall'ultima riga della scacchiera. La seconda regione dalla parte restante. Dividiamo la prima regione in tessere che coprono esattamente due quadratini adiacenti, partendo con la suddivisione a partire dal quadratino immediatamente sotto al primo in alto a sinistra. Dividiamo invece la seconda regione in sottoquadrati di lato 2 X 2: tale suddivisione ovviamente è possibile.
La strategia vincente del giocatore che muove per secondo, ovvero B, è la seguente: muovere sempre in modo da rimanere nello stesso sottoquadrato 2 X 2 o nella stessa tessera in cui si trova al momento della mossa. E' banale verificare che la strategia è realizzabile e che è vincente per B.
Complimenti! la strategia è corretta! non era facile
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