Il gabbiano e i treni
Supponiamo che due treni A e B viaggino sullo stesso binario rettilineo uno verso l'altro, alla velocità, entrambi di 40 Km/h. Quando sono alla distanza di 80 Km un ipotetico gabbiano parte dal treno A e si dirige in moto rettilineo uniforme verso il treno B alla velocità di 80 Km/h ( il problema è immaginario, quindi trascurate il tempo perso in partenza per raggiungere la velocità di 80 Km/h, consideratela istantanea nel momento in cui i due treni sono a 80 Km l'uno dall'altro). Il gabbiamo quando raggiunge il treno B inverte istantaneamente la rotta e torna verso il treno A alla medesima velocita e così fa quando reincontra il treno A, girandosi istantaneamente per andare, sempre alla velocità di 80 Km/h verso il treno B. Quanti giri compie il gabbiamo prima che i treni si scontrino? Per giro si intende una cora dal treno A al B o viceversa.
Spero di essere stato chiaro questa volta..
Per il verme sto preparando una soluzione più chiara e la esporrò quanto prima, spero.
Spero di essere stato chiaro questa volta..
Per il verme sto preparando una soluzione più chiara e la esporrò quanto prima, spero.
Risposte
Scusa ma la parola 'cora' esiste oppure è un errore di scrittura? Io non l'ho mai sentita. Grazie.
Ciao, Ermanno.
"Il motore dell’invenzione matematica non è il ragionamento, ma l’immaginazione." Augustus De Morgan
Ciao, Ermanno.
"Il motore dell’invenzione matematica non è il ragionamento, ma l’immaginazione." Augustus De Morgan
ehm...penso sia un errore di battitura per "corSa"
a parte questo, ho come il sospetto che il povero gabbiamo sarà costretto a vagare per sempre...perchè ogni volta deve percorrere un terzo del percorso di prima(però il gabbiano percorre una distanza finita, che è 3*80=180 Km)...
a parte questo, ho come il sospetto che il povero gabbiamo sarà costretto a vagare per sempre...perchè ogni volta deve percorrere un terzo del percorso di prima(però il gabbiano percorre una distanza finita, che è 3*80=180 Km)...
Eh già, non riesco proprio ad essere chiaro. Era evidentemente "corsa" il termine corretto in luogo di "cora" malamente riportato. Interessante il percorso finito del gabbiano, 180 Km. E perchè mai? Come l'hai ottenuto?
Pure a me viene come dice jack:
l'equazione da risolvere dovrebbe essere:
80(1/3^k -2/3^(k+1))=0
da cui moltiplicando per 3^k:
1/3=0!
Povero piccione!
l'equazione da risolvere dovrebbe essere:
80(1/3^k -2/3^(k+1))=0
da cui moltiplicando per 3^k:
1/3=0!
Povero piccione!
Secondo me i treni si scontrerannò dopo 24 min e il gabbiano volerà per 32km.
Ciao, Ermanno.
"Il motore dell’invenzione matematica non è il ragionamento, ma l’immaginazione." Augustus De Morgan
Ciao, Ermanno.
"Il motore dell’invenzione matematica non è il ragionamento, ma l’immaginazione." Augustus De Morgan
quote:
Originally posted by leonardo
Secondo me i treni si scontrerannò dopo 24 min e il gabbiano volerà per 32km.
Ciao, Ermanno.
"Il motore dell’invenzione matematica non è il ragionamento, ma l’immaginazione." Augustus De Morgan
Forse sbaglio io,ma sei sicuro che i 2 treni si scontreranno tra 24 min?
Il treno A ha una velocità di 80km/h rispetto a B e viceversa,quindi applicando l'equazione oraria del moto rettilineo(S=vt) dovrebbe venire 1h...
Ho calcolato manualmente il tempo speso per ogni giro:
t(1)=2/3h da A a B
t(2)=2/9h viceversa (in uno spazio 80/3)
t(3)=2/81h da A e B di nuovo...
Per cui:
2h(1/3+1/9+1/27+...)=1h-->
1/3+1/9+1/27+..=1/2
Sarà possibile?
Comunque all'equazione 80(1/3^k -2/3^(k+1))=0 ci sono arrivato considerando che lo spazio una volta che il piccione inverte il moto diminuisce in modo esponenziale:
S(1)=80/3km-->(80-2/3*80)km
S(2)=80/9km-->(80/3-2/9*80)km
rieccomi qua...
innanzitutto mi sono sbagliato, 3*80 fa 240 non 180...sto studiando l' ariosto, mi sono distratto [:D]...
comunque per dire che il gabbiano farà infiniti giri ragiono così:
mettiamoci dal punto di vista del treno B: lui vede un gabbiano che gli arriva a (80+40)Km/h e un treno che gli arriva a (40+40)Km/h; pertanto poichè le velocità sono direttamente proporzionali agli spazi (infatti v=s/t), allora se il gabbiano percorre una distanza di 1 unità, il treno A ne percorre i (80+40)/(40+40), cioè i due terzi dell' unità(nel nostro caso 2/3 di 80Km); adesso il gabbiano è arrivato a B e deve tornare ad A; immedesimiamoci in A: vediamo un gabbiano che fila a (80+40)Km/h e un treno a (40+40)Km/h; ma è la stessa situazione di prima, solo che il gabbiano farà meno strada, ma comunque una volta arrivato ad A, il treno B avrà compiuto i 2/3 della distanza; potremmo continuare così ad infinitum, ma solo in teoria, perchè fortunatamente lo spazio non è infinitamente divisibile...per quanto riguarda la distanza...
il gabbiano percorre 80Km+ 80/3+80/9+80/27...+80/3^n, cioè
80*(1+1/3+1/9+1/27+...+1/3^n), e quest' ultimo fattore è una serie che converge, (è una serie geometrica), al valore s=1/(1-x), e nel nostro caso x=1/3(per convergere deve essere 0
innanzitutto mi sono sbagliato, 3*80 fa 240 non 180...sto studiando l' ariosto, mi sono distratto [:D]...
comunque per dire che il gabbiano farà infiniti giri ragiono così:
mettiamoci dal punto di vista del treno B: lui vede un gabbiano che gli arriva a (80+40)Km/h e un treno che gli arriva a (40+40)Km/h; pertanto poichè le velocità sono direttamente proporzionali agli spazi (infatti v=s/t), allora se il gabbiano percorre una distanza di 1 unità, il treno A ne percorre i (80+40)/(40+40), cioè i due terzi dell' unità(nel nostro caso 2/3 di 80Km); adesso il gabbiano è arrivato a B e deve tornare ad A; immedesimiamoci in A: vediamo un gabbiano che fila a (80+40)Km/h e un treno a (40+40)Km/h; ma è la stessa situazione di prima, solo che il gabbiano farà meno strada, ma comunque una volta arrivato ad A, il treno B avrà compiuto i 2/3 della distanza; potremmo continuare così ad infinitum, ma solo in teoria, perchè fortunatamente lo spazio non è infinitamente divisibile...per quanto riguarda la distanza...
il gabbiano percorre 80Km+ 80/3+80/9+80/27...+80/3^n, cioè
80*(1+1/3+1/9+1/27+...+1/3^n), e quest' ultimo fattore è una serie che converge, (è una serie geometrica), al valore s=1/(1-x), e nel nostro caso x=1/3(per convergere deve essere 0
Complimenti Jack.
Il gabbiamo compie infiniti giri. E' facile convincersi di questo se riportiamo la situazione su assi cartesiani e scriviamo le equazioni del moto. Poniamo un sistema cartesiamo XY e fissiamo nel punto A(0,40) il treno A e il gabbiano e nel punto B(0,-40) il treno B. Entrambi i treni vanno a 40 Km/h e impiegheranno appunto 1 ora per incontrarsi nel punto C(1, 0). L'equazione del moto del treno A è
sa=40-v*t, quella del treno B sb=-40+v*t dove v=40 Km/h. In ordinata abbiamo lo spazio in Km e in ascissa il tempo in ore. Questo per quanto riguarda i treni, ma il gabbiano? Esso parte dal punto B ad una velocità di 80 Km/h quindi l'equazione del moto è sg=40-80t. E' facile trovatre il punto D in cui il gabbiano incontrerà il treno B, il quel momento l'equazione del suo moto diventerà sg=-40/3+80t. Nello stesso modo si troverà il punto E in cui il gabbiano incontrerà il treno A e così via. Si vede facilmente che il gabbiamo potrà compiere infiniti giri in un tempo finito
Il gabbiamo compie infiniti giri. E' facile convincersi di questo se riportiamo la situazione su assi cartesiani e scriviamo le equazioni del moto. Poniamo un sistema cartesiamo XY e fissiamo nel punto A(0,40) il treno A e il gabbiano e nel punto B(0,-40) il treno B. Entrambi i treni vanno a 40 Km/h e impiegheranno appunto 1 ora per incontrarsi nel punto C(1, 0). L'equazione del moto del treno A è
sa=40-v*t, quella del treno B sb=-40+v*t dove v=40 Km/h. In ordinata abbiamo lo spazio in Km e in ascissa il tempo in ore. Questo per quanto riguarda i treni, ma il gabbiano? Esso parte dal punto B ad una velocità di 80 Km/h quindi l'equazione del moto è sg=40-80t. E' facile trovatre il punto D in cui il gabbiano incontrerà il treno B, il quel momento l'equazione del suo moto diventerà sg=-40/3+80t. Nello stesso modo si troverà il punto E in cui il gabbiano incontrerà il treno A e così via. Si vede facilmente che il gabbiamo potrà compiere infiniti giri in un tempo finito
quote:
Originally posted by JvloIvk
Il treno A ha una velocità di 80km/h rispetto a B e viceversa,quindi applicando l'equazione oraria del moto rettilineo(S=vt) dovrebbe venire 1h...
Ho calcolato manualmente il tempo speso per ogni giro:
t(1)=2/3h da A a B
t(2)=2/9h viceversa (in uno spazio 80/3)
t(3)=2/81h da A e B di nuovo...
Per cui:
2h(1/3+1/9+1/27+...)=1h-->
1/3+1/9+1/27+..=1/2
Sarà possibile?
Non ci fa una piega.
quote:
Comunque all'equazione 80(1/3^k -2/3^(k+1))=0 ci sono arrivato considerando che lo spazio una volta che il piccione inverte il moto diminuisce in modo esponenziale:
S(1)=80/3km-->(80-2/3*80)km
S(2)=80/9km-->(80/3-2/9*80)km
Non ci fanno due pieghe.
quote:
l'equazione da risolvere dovrebbe essere:
80(1/3^k -2/3^(k+1))=0
da cui moltiplicando per 3^k:
1/3=0!
Povero piccione!
Qua non si capisce cosa vuoi dire.
quote:
Originally posted by jack
potremmo continuare così ad infinitum, ma solo in teoria, perchè fortunatamente lo spazio non è infinitamente divisibile
Sei sicuro? Non mi risulta che esistano teorie di quantizzazione dello spazio.
quote:
per quanto riguarda la distanza...il gabbiano percorre 80Km+ 80/3+80/9+80/27...+80/3^n
C'è un errore nel tuo ragionamento...
Ti vorrei far notare che il gabbiano vola per 1h a 80 km/h.
quote:
Originally posted by Nekao
Si vede facilmente che il gabbiamo potrà compiere infiniti giri in un tempo finito
Mi sembra che nessuno abbia ancora dato una risposta rigorosa al problema del numero di giri. Per rigoroso intendo non 'a occhio', ma con i conti (k=inf)o con una dimostrazione compiuta.
Ciao
@pachito
mi sembrava di aver risposto in modo sufficientemente rigoroso. Questo problema altro non è che un modo diverso di chiedersi quante volte è possibile dimezzare un angolo di ampiezza alfa. Lo si può dimezzare una volta ottenendo alfa/2 e poi una seconda volta ottenendo alfa/4 e poi ancora e ancora..proprio come il gabbiano dimezza ad ogni giro l'angolo compreso tra la propria equazione del moto e quello del treno che ha incontrato. Mi sa che si cerca rigore dove non è necessario.
Inoltre è dall'inizio del secolo che lo spazio è stato quantizzato. Ti dicono nulla i numeri quantici n, l, m? Constringono l'elettrone a essere in un posto e a non poter essere in un altro. Da punto di vista delle particelle elementari lo spazio non è continuo. Non si potrà mai osservare un elettrone a cavallo di due livelli energetici. Ma questa è tutta un'altra storia..
mi sembrava di aver risposto in modo sufficientemente rigoroso. Questo problema altro non è che un modo diverso di chiedersi quante volte è possibile dimezzare un angolo di ampiezza alfa. Lo si può dimezzare una volta ottenendo alfa/2 e poi una seconda volta ottenendo alfa/4 e poi ancora e ancora..proprio come il gabbiano dimezza ad ogni giro l'angolo compreso tra la propria equazione del moto e quello del treno che ha incontrato. Mi sa che si cerca rigore dove non è necessario.
Inoltre è dall'inizio del secolo che lo spazio è stato quantizzato. Ti dicono nulla i numeri quantici n, l, m? Constringono l'elettrone a essere in un posto e a non poter essere in un altro. Da punto di vista delle particelle elementari lo spazio non è continuo. Non si potrà mai osservare un elettrone a cavallo di due livelli energetici. Ma questa è tutta un'altra storia..
Ricapitolando:
Inizialmente il gabbiano si muove da
A versoB ed ha una velocità doppia
rispetto a quest'ultimo.
Se 80 km è lo spazio totale il piccione
prima di invertire il moto percorre 2/3*80km.
Quando il moto avviene invece verso A bisogna
tener conto che anche A si è mosso di 40 km/h
e ha percorso 1/3 80km.
La distanza che intercorre tra il gabbiano,nel momento
in cui inverte il moto,e il treno A sempre nello
stesso istante di tempo è quindi (2/3-1/3)80km=1/3*80km.
A questo punto è facile accorgersi che la situazione
si ripete con le stesse identiche modalità;ma questa volta
lo spazio complessivo non sarà più 80km ma 80/3km.
Se indichiamo con k il numero dei giri complessivi è
facile accorgersi che la distanza tra il piccione
e uno dei due treni è: d=80/3^k con k>=1(ovviamente c'è da
considerare che k è dispari quando il piccione va verso A
,pari in caso contrario).
Quand'è che il piccione si fermerà?
Quando 80/3^k=0 ovvero quando k-->inf
Inizialmente il gabbiano si muove da
A versoB ed ha una velocità doppia
rispetto a quest'ultimo.
Se 80 km è lo spazio totale il piccione
prima di invertire il moto percorre 2/3*80km.
Quando il moto avviene invece verso A bisogna
tener conto che anche A si è mosso di 40 km/h
e ha percorso 1/3 80km.
La distanza che intercorre tra il gabbiano,nel momento
in cui inverte il moto,e il treno A sempre nello
stesso istante di tempo è quindi (2/3-1/3)80km=1/3*80km.
A questo punto è facile accorgersi che la situazione
si ripete con le stesse identiche modalità;ma questa volta
lo spazio complessivo non sarà più 80km ma 80/3km.
Se indichiamo con k il numero dei giri complessivi è
facile accorgersi che la distanza tra il piccione
e uno dei due treni è: d=80/3^k con k>=1(ovviamente c'è da
considerare che k è dispari quando il piccione va verso A
,pari in caso contrario).
Quand'è che il piccione si fermerà?
Quando 80/3^k=0 ovvero quando k-->inf
ok, ma il gabbiano non si trasforma in piccione durante il tragitto...[;)]
Sono d'accordo! Il gabbiano farà una brutta fine ma non si trasforma in piccione.
quote:
Originally posted by Nekao
mi sembrava di aver risposto in modo sufficientemente rigoroso.
Secondo me non lo era, ma non ho detto che la risposta fosse errata.
quote:
Mi sa che si cerca rigore dove non è necessario.
Forse qui hai ragione.
quote:
Inoltre è dall'inizio del secolo che lo spazio è stato quantizzato. Ti dicono nulla i numeri quantici n, l, m? Constringono l'elettrone a essere in un posto e a non poter essere in un altro. Da punto di vista delle particelle elementari lo spazio non è continuo.
I numeri quantici n, l, m sono riferiti alla quantizzazione degli orbitali atomici. Al variare dei suddetti numeri cambia forma e dimensione dell'orbitale. Questi orbitali tuttavia sono rappresentati da funzioni di probabilità e certamente non "constringono l'elettrone a essere in un posto". Quest'ultima affermazione (come quella dello spazio discreto) sarebbe inoltre in contrasto con la stessa meccanica quantistica andando contro il principio d'indeterminazione.
Ciao
quote:
Originally posted by jack
ok, ma il gabbiano non si trasforma in piccione durante il tragitto...[;)]
Vabbè...la stessa cosa[:D]!
Io credo che tu abbia perfettamente capito ciò che intendevo dire. Ciò che in realtà è quantizzata è l'energia delle particelle elementari. Per passare da un livello di energia l1 ad un livello l2 se l2>l1, ad esempio, esse emettono l'energia l2-l1 sotto forma di fotoni, ma non passano dal livello l2 al livello l1 in modo continuo assumendo nel tempo tutti i valori possibili nell'intervallo [l1, l2].
Questo significa che, con grande probabilità, non potrai mai trovarlo, che sò, ad un livello energetico (l1+l2)/2. Una particella di data energia possiede una data velocità e occupa una certa posizione nello spazio. Noi non possiamo conoscerla con una precisione inferiore a 2*h tagliato ma a precisioni superiori ( o meglio peggiori) sappiamo essere molto precisi.
Ma comunque, questa dissertazione non porta a nulla. Mi urta un po il modo precisino con il quale quoti le riflessioni degli altri, puntualizzando qui e segnalando là. Ricorda che siamo tutti dilettanti e appassionati. A volte neppure i matematici di professione sanno essere giustamente rigorosi.
Ma anche questa riflessione non porta a nulla.
Anzi, scusami sin d'ora..
Ciao
Questo significa che, con grande probabilità, non potrai mai trovarlo, che sò, ad un livello energetico (l1+l2)/2. Una particella di data energia possiede una data velocità e occupa una certa posizione nello spazio. Noi non possiamo conoscerla con una precisione inferiore a 2*h tagliato ma a precisioni superiori ( o meglio peggiori) sappiamo essere molto precisi.
Ma comunque, questa dissertazione non porta a nulla. Mi urta un po il modo precisino con il quale quoti le riflessioni degli altri, puntualizzando qui e segnalando là. Ricorda che siamo tutti dilettanti e appassionati. A volte neppure i matematici di professione sanno essere giustamente rigorosi.
Ma anche questa riflessione non porta a nulla.
Anzi, scusami sin d'ora..
Ciao
Scusa per la pignoleria e per gli appunti apparsi evidentemente arroganti.
Ciao
Ciao
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo