Il falegname

[MaMo2]

Questo è un quesito abbastanza noto.
Un falegname deve costruire una tavola circolare formata da due parti semicircolari. Egli ha a disposizione una vecchia tavola rettangolare di dimensioni 120 cm e 190 cm.
Trovare il raggio massimo della tavola.

[MaMo2]

OK, Jeckyll.
Ora tutto concorda.
Anche il raggio massimo da me trovato è di circa 61 cm.

[Sk_Anonymous]

Scusa Jeckyll, non ho capito quando sei uscito dal cancello cos'è successo esattamente:-)

[Jeckyll]

Le vie attraverso le quali una mente riesce a risolvere un problema sono veramente misteriose. A me uscire dai cancelli aiuta

Marcello

[WonderP1]

Io arrivo solo ora, ma con una soluzione peggiore: 60,687. Probabilmente uso una configurazione diversa dalla vostraa, poiché 61 mi risulta impossibile. Io posiziono un semicerchio di raggio r con centro sull diametro del semicerchio con R=100 e passante per un estremo di questo. Traccio un cerchio di raggio r'=R-r=100-r con centro comune al semicerchio grande. Ora traccio la tangente ad ambo le due semicirconferenze piccole (di raggio r e 100-r) e impongo che il segmento che unisce la tangente al semicerchio di raggio 100-r e il diametro 2R si pari ad r.
Non riesco a trovare il vostro 61, come avete fatto?

WonderP.

[Jeckyll]

citazione:

---

Io posiziono un semicerchio di raggio r con centro sull diametro del semicerchio con R=100 e passante per un estremo di questo...

---

...e fino a qua ho proceduto allo stesso modo. Poi ho considerato un secondo semicerchio di raggio r avente il diametro con una estremità appartenente al diametro del semicerchio grande e tangente al semicerchio piccolo. Infine ho imposto la condizione di tangenza tra questo secondo semicerchio piccolo ed il semicerchio grande.

WonderP, non so se la spiegazione sia stata chiara. Nel caso in cui non lo sia stata dillo che provo a postare una immagine.

Marcello


Modificato da - Jeckyll il 27/02/2004 15:04:32

[WonderP1]

Mah, a sembra uguale alla mia configurazione, ma ripeto che anche graficamente (usando GBG) non mi torna il 61. Va bene che per risolverlo siamo partiti da due punti di vista diversi, ma non vedo perché ci debbano essere discrepanze di risultato.

WonderP.

[Jeckyll]

Non ne sono completamente sicuro ma, forse, la differenza stà nel fatto che con la tua costruzione, una volta fissato "r", cioè il raggio della semicirconferenza piccola, hai anche stabilito in maniera univoca il punto di intersezione tra il diametro della semicirconferenza grande ed il diametro della seconda semicirconferenza piccola. Io, invece, ho lasciato libero di variare sul diametro della semicirconferenza grande il punto di intersezione tra tale diametro ed il diametro della seconda semicirconferenza piccola. In pratica quello che ho fatto è questo: ho fissato arbitrariamente il raggio della semicirconferenza piccola uguale a 100 (r=100) e, lasciando variare il parametro che ho specificato sopra, ho trovato il raggio R della semicirconferenza grande in modo che questa risultasse tangente alla seconda semicirconferenza piccola. Al variare del mio parametro libero ho trovato il minimo di R. A questo punto, attraverso una semplice similitudine consistente nell'assumere R=100, ho determinato r.

Anche in questo caso no so se sono stato chiaro. Tra l'altro ho scritto tutto di getto e non garantisco la leggibilità del post.

Cordiali Saluti,
Marcello

Modificato da - Jeckyll il 27/02/2004 17:50:07

[MaMo2]

WonderP, io l'ho risolto così.
Un semicerchio ha il diametro sul diametro del semicerchio grande ed un estremo in comune (come il tuo).
L'altro semicerchio ha un estremo del diametro sul diametro del cerchio grande, il suo diametro è tangente al primo semicerchio ed è tangente al cerchio grande con la parte semicircolare.
Indicando con x l'ampiezza dell'angolo formato dal diametro del cerchio "superiore" e quello del semicerchio grande ottengo la seguente funzione:
r = 2(cos^3x - cosx + senx)/[2cos^3x - cos^2x + 2(1 + senx)(1 - cosx)]
Derivando si ottiene l'equazione di terzo grado:
3tg^3x - 3tg^2x + 2tgx - 1 = 0
Risolta numericamente si ottiene un angolo di 35,68° al quale corrisponde il raggio massimo di circa 61 cm.
Spero di essere stato sufficentemente chiaro.

[WonderP1]

citazione:

---

WonderP, io l'ho risolto così.
Un semicerchio ha il diametro sul diametro del semicerchio grande ed un estremo in comune (come il tuo).
L'altro semicerchio ha un estremo del diametro sul diametro del cerchio grande, il suo diametro è tangente al primo semicerchio ed è tangente al cerchio grande con la parte semicircolare.

---

Penso di aver intuito l'inghippo e lunedì lo controllo graficamente. Sul primo semicerchio piccolo di raggio r (che chiamo A) siamo tutti d'accordo. L'altro semicerchio piccolo (B) anche per me ha un estremo che poggia sul diametro del semicerchio grande (G).
Ora: voi avete imposto che B sia tangente a G, io che il centro di B giaccia su un piccolo semicerchio (P) di raggio 100-r (ovviamente).
Qui sta il problema: Io ho erroneamente pensato che si avesse il massimo quando il diametro di B fosse tangente ad A ma anche a P, mentre, con la vostra soluzione, lo interseca appena (anche se appena non è un termine matematico).


WonderP.