Il cavallo ed il suo cibo

[Shinji Ikari]

Qualcuno sa la risoluzione di sto giochino matematico?

Un fantino ha legato il suo cavallo in un recinto circolare.
In un giorno il cavallo mangia un cerchio di raggio x d'erba, finchè c'arriva con la lunghezza della corda.
Considerando che il cavallo mangia sempre la stessa quantità d'erba, il giorno dopo di quanto bisogna che il fantino allunghi la corda del cavallo per permettergli di mangiare?

[remo2]

può darsi che dico una cazzata,ma ci provo...

secondo giorno mangia la stessa quantità,quindi l'area di erba mangiata deve essere la stessa.
chiamando $R$ il raggio della seconda circonferenza,dovrò avere la seguente relazione:

$pi*R^2-pi*x^2=pi*x^2$

$pi*R^2=2pi*x^2$

$R=sqrt(2x^2)$

avevo dimenticato che devo sottrarre x a r...!

che è l'allungamento da fare per far mangiare il povero cavallo!

[Mega-X]

spoilerizzo così la gente può postare anche la sua soluzione..

allora chiamiamo con $r_0$ il raggio del cerchio $A_0$ che si mangia il cavallo ogni giorno, essendo $A(r) = pir^2$

Siccome ogni giorno il cavallo deve avere un area $A_0$ di erba da mangiare allora l'incremento $Deltar$ della funzione $A(r)$ deve essere tale da soddisfare la seguente equazione:

$A(r+Deltar) - A(r)=A_0$, essendo $A(r) = pir^2$ allora

$pi(r+Deltar)^2 - pir^2 = A_0$

dividendo per $pi$ ed aggiustando l'equazione abbiamo

$Deltar^2 + 2rDeltar - A_0/pi = 0$ risolvendo per $Deltar$ abbiamo le 2 soluzioni (usando la formula ridotta) di cui OVVIAMENTE si scarta la soluzione negativa, altrimenti il cavallo si mangia l'erba che non c'è..

$Deltar = -r + sqrt(r^2+A_0/pi)$ che è l'incremento che bisogna dare alla corda per sottendere l'area $A_0$ dopo che il raggio ha lunghezza $r$

nel caso particolare del giorno dopo, basta porre $r = r_0$

Va bene?

[Mega-X]

"remo":può darsi che dico una cazzata,ma ci provo...

il secondo giorno mangia la stessa quantità,quindi l'area di erba mangiata deve essere la stessa.
chiamando $R$ il raggio della seconda circonferenza,dovrò avere la seguente relazione:

$pi*R^2-pi*x^2=pi*x^2$

$pi*R^2=2pi*x^2$

$R=sqrt(2x^2)$

che è l'allungamento da fare per far mangiare il povero cavallo!

tu hai calcolato la lunghezza che deve avere la nuova corda, non l'incremento..

[remo2]

ho modificato! errore mio!sono un frettoloso!

[Mega-X]

posso chiederti, non tanto per me ma per l'altra gente che si appresta a risolvere l'esercizio di mettere lo spoiler?

basta che editi mettendo all'inizio e alla fine del testo rispettivamente i tag [spoiler] e [spoiler] (all'ultimo tag mettici una / prima della s)

[remo2]

ok...

[Shinji Ikari]

Grazie mille, molto gentili... però in effetti ci ho capito ben poco, è possibile avere una spiegazione un po' più semplice??

Io che stavo a scervellarmi sul teorema di pitagora

considerando

|
|
|_______

dove | è il palo a cui è attaccato la fune, _ il raggio del cerchio e la corda sarebbe l'ipotenusa del triangolo... non c'entra nulla vero?

[remo2]

il mio discorso è semplice dai...quello di mega-x magari ha bisogno di qualche presupposto in più...gioca con le aree ed imposta un equazione!aiutati con la mia soluzione...

[Mega-X]

non c'entra nulla perchè la corda ha angolo $0°$ rispetto al terreno (è completamente tirata.. )

posso chiederti che classe fai e qual è l'ultimo argomento di matematica che hai fatto? (è per sapere come te lo devo spiegare)

[remo2]

penso che ci arriva da solo se ragiona sulle aree dei cerchi,magari aspetta un pò...

[Shinji Ikari]

La mia supposizione era che l'area del cerchio del secondo giorno dovesse essere il doppio di quello del primo giorno. Dal quale si ricavava che il cerchio con are il doppio dell'area del primo cerchio - l'area del cerchio del primo giorno che il cavallo ha già mangiato risultasse uguale all'area del primo giorno.

Quindi, ponendo A come area del cerchio del primo giorno ottenevo:

2A - A = A

che se non sbaglio sarebbe la forma semplificata di quanto avete scritto voi all'inizio, giusto?

[Mega-X]

se avevi letto il post che avevo postato prima, avevo sbagliato..

in sostanza si però devi ragionare sull'INCREMENTO che devi dare al raggio non alla misura del nuovo raggio

[Shinji Ikari]

ovvero la forumla dell'area del cerchio, giusto.

$2p * r^2 - p * r^2 = p *r^2$
Ora ponendo come incognita dell'equazione r, devo dividere entrambi i membri per $p$, ovvero il coefficiente di r.

Giusto?

[Mega-X]

"Mega-X":se avevi letto il post che avevo postato prima, avevo sbagliato..

in sostanza si però devi ragionare sull'INCREMENTO che devi dare al raggio non alla misura del nuovo raggio

ti consiglio di leggerti bene il mio post della soluzione

[alvinlee881]

la soluzione è incremento $ = x (sqrt2 -1) $ , giusto?

[Shinji Ikari]

Perfetto, ora ho capito, grazie mille!!!
L'unica cosa che non mi è ben chiara è cosa sia esattamente A0, è diciamo la costante che mangia il cavallo??

[Mega-X]

si, è praticamente la quantità giornaliera di erba che si deve mangiare il cavallo..

[remo2]

@ alvinlee88

si è giusto!

[leev]

Bello riflettere al problema, e quando si è risolto, capire che non era quello che si chiedeva...

Vabbé, comunque, tornando alla soluzione di Mega-X, si potrebbe aggiungere che $r$ si può determinare con $sqrt(k)*r_0$ dove $k$ indica il giorno; così da poter ottenere l'allungamento della corda in funzione del giorno in cui ci si trova.