I due numeri misteriosi

[Drazen77]

Ho scelto due numeri interi compresi tra 2 e 100.
Ho incontrato Gianni e Franco (due logici perfetti) e a Gianni ho detto il risultato della somma dei due numeri che ho scelto, mentre a Franco ho detto il prodotto.
Per determinare i numeri che ho scelto i due si sono detti:

Franco: "Io non sono in grado di determinarli."
Gianni: "Io sapevo che tu non saresti stato in grado di determinarli."
Franco: "Beh, se dici così allora ho capito che numeri siano!"
Gianni: "Allora adesso lo so anch'io!"

Quali sono i due numeri?
Che ragionamento hanno fatto per riuscire a determinarli?

[axpgn]

Penso che siano ...

$2$ e $9$

Cordialmente, Alex

[Drazen77]

Il risultato dovrebbe essere diverso. Come hai ottenuto 2 e 9?

[axpgn]

Ho scritto "penso che lo siano, non che lo sono ...

Comunque ...

Il ragionamento che ho fatto è il seguente ...

Data la prima affermazione di Franco, il prodotto deve avere almeno due coppie di divisori (oltre a uno e sé stesso); il primo così fatto è il $12=2*6=3*4$ e di conseguenza la somma sarebbe $8$ o $7$.
Se fosse $8$, le possibili scomposizioni in due addendi sarebbero $8=2+6=3+5$; ora il prodotto della prima coppia fa $12$ come detto e permetterebbe a Gianni di dire "Lo sapevo che non lo sapevi" ma il secondo fa $15$ che ha una sola coppia di divisori e avrebbe permesso a Franco di determinarli. Se fosse $7$ anche peggio.
Quindi $12$ non può essere.
Proseguendo, il $18=2*9=3*6$ è un candidato migliore, con le somme $2+9=11$ e $3+6=9$; quest'ultimo non va bene (per gli stessi motivi di prima) mentre l'$11$ sì, perché tutte le scomposizioni $11=2+9=3+8=4+7=5+6$ portano a numeri con almeno due coppie di divisori, rendendo quindi possibile la frase di Gianni "Lo sapevo ...".
Non solo, a questo punto Franco capisce che la somma in "possesso" di Gianni è $11$ e quindi può sapere quali sono i due numeri.
E qui c'è il mio errore: tra le varie scomposizioni di $11$ anche $4+7$ danno un prodotto con due sole coppie di divisori quindi Gianni non può essere sicuro che solo $2+9$ siano quelli giusti ... l'avevo notato già ieri sera ma mi ero stufato e non avevo (ho) voglia di proseguire ad analizzarne altri con questo metodo ...

Cordialmente, Alex

[Super Squirrel]

@axpgn

Anche io ho fatto un ragionamento simile, ma non ho ben capito la parte conclusiva del tuo ragionamento.
Provo a fare un'ipotesi, dimmi se sbaglio.
Il prodotto $P$ sarà un numero compreso tra 4 (=2*2) e 10000 (=100*100) che possiede $n>=2$ diverse coppie di divisori (in modo da giustificare la prima affermazione di Franco) compresi tra 2 e 100. Se la somma $S$ della generica coppia di divisori può essere scomposta in $m>=2$ diverse coppie di addendi (in modo che anche Gianni non sia in grado di determinare i 2 numeri) e il prodotto di ognuna delle $m$ coppie possiede almeno 2 diverse coppie di divisori, allora sarà giustificata anche la prima affermazione di Gianni.
A questo punto se solo 1 delle $n$ coppie di divisori (la cui somma è il numero dato a Gianni) giustifica la prima affermazione di Gianni, allora Franco capisce quali sono i 2 numeri. La suddetta conclusione però si basa sull'ipotesi che esista una sola coppia di numeri compresi fra 2 e 100 che rispetti le suddette condizioni.
E' corretto o intendevi altro?

[axpgn]

Concordo tranne l'ultima frase: fermati lì, non è necessaria l'ipotesi che aggiungi.

Per Franco non c'è bisogno d'altro. Mentre per Gianni, non solo il suo numero (la somma) si deve scomporre in almeno due coppie di addendi, non solo queste due (o più) coppie devono dare come prodotto un numero che abbia almeno due coppie di divisori ma deve anche accadere che solo uno dei prodotti abbia solo una delle coppie di divisori che permetta di fare questi ragionamenti.
Il prodotto $18$ che citavo non soddisfa quest'ultima richiesta.
Si dovrebbe proseguire nell'analizzarne altri ma la faccenda si presenta faticosa

Cordialmente, Alex

[Super Squirrel]

"axpgn":Concordo tranne l'ultima frase: fermati lì, non è necessaria l'ipotesi che aggiungi.

Intendi questa?

"Super Squirrel":La suddetta conclusione però si basa sull'ipotesi che esista una sola coppia di numeri compresi fra 2 e 100 che rispetti le suddette condizioni.

"axpgn":... ma deve anche accadere che solo uno dei prodotti abbia solo una delle coppie di divisori che permetta di fare questi ragionamenti.
Il prodotto 18 che citavo non soddisfa quest'ultima richiesta.

Non ho capito cosa intendi!

Ho implementato un programma che controlla tutte le condizioni esposte nel precedente post. Espongo brevemente l'algoritmo:
- considero un valore di $P$ (che varia da 4 a 10000) ->
-> trovo le $n$ coppie diverse di divisori associate a $P$. Se $n>=2$ ->
-> analizzo la $S$ associata ad ognuna delle $n$ coppie contando (attraverso una variabile $c$) per quante di esse la prima affermazione di Gianni risulta verificata (ossia quando le $m$ coppie diverse di addendi associate ad $S$ presentano tutte due o più coppie diverse di divisori). Una volta analizzate le $n$ somme se $c=1$ mostro la coppia tra le $n$ che ha fatto incrementare $c$ per poi continuare con gli altri $P$.
Il programma mostra moltissimi risultati, ecco i primi 5:
2 - 9
3 - 8
7 - 4
2 - 25
13 - 4
Ipotizzando che il programma funzioni correttamente, non saprei quali altre condizioni imporre per trovare questi 2 numeri misteriosi!

[axpgn]

"Super Squirrel":Non ho capito cosa intendi!

Anch'io faccio fatica a capirmi

Come hai potuto vedere la mia risposta è stata proprio $2$ e $9$ ma l'OP ha detto che è un'altra, e anch'io avevo ed ho dei dubbi; quando sapremo la sua soluzione forse capiremo un po' di più ...

Comunque riprendo proprio quella mia proposta di soluzione per cercare di spiegarmi meglio ...

Poniamo che il prodotto sia $p=18=2*9=3*6$; ha due coppie diverse di divisori quindi Franco non può conoscere quali siano i due numeri da indovinare.

Se $p=18$ allora la somma $s$ può essere solo $s=11$ o $s=9$
Se il numero conosciuto da Gianni fosse $s=9$ le coppie di addendi sarebbero $2+7=3+6=4+5$ con i tre prodotti $14, 18, 20$ ed uno di essi (il $14$) avrebbe solo una coppia di divisori perciò in tal caso Gianni non potrebbe fare la sua prima affermazione
Se Gianni invece avesse $11=2+9=3+8=4+7=5+6$, tutti i quattro prodotti $18, 24, 28, 30$ avrebbero almeno due coppie di divisori quindi Gianni potrebbe dire quello che ha detto
Andiamo avanti ...
Franco già sapeva che Gianni poteva avere o $11$ o $9$ ma dopo questa affermazione di Gianni può escludere il $9$ e quindi rimanendo l'$11$, sa anche i due numeri sono il $2$ e il $9$.
Fin qui penso che ci siamo tutti, no? Ok, proseguiamo ...
Gianni ovviamente sa qual è il suo numero ma tra i quattro prodotti possibili ottenuti dalla scomposizione dell'$11$ quale scegliere? Quali elementi ha in mano? L'unico che mi viene in mente è che il prodotto dovesse avere solo due coppie di divisori e Franco ha potuto capire perché scartandone uno (dalla risposta di Gianni) gli è rimasto l'altro.
Ma fosse anche così (che è stato il mio pensiero) rimangono ancora due possibilità: $18$ e $28$
Proseguire a mano non me la sento ...

Cordialmente, Alex

[Super Squirrel]

"axpgn":Fin qui penso che ci siamo tutti, no? Ok, proseguiamo ...

E fin qui ci siamo!

"axpgn":Gianni ovviamente sa qual è il suo numero ma tra i quattro prodotti possibili ottenuti dalla scomposizione dell'11 quale scegliere? Quali elementi ha in mano? L'unico che mi viene in mente è che il prodotto dovesse avere solo due coppie di divisori e Franco ha potuto capire perché scartandone uno (dalla risposta di Gianni) gli è rimasto l'altro.
Ma fosse anche così (che è stato il mio pensiero) rimangono ancora due possibilità: 18 e 28

Abbiamo capito come fa Franco a capire quali siano i 2 numeri misteriosi, resta però da capire come fa a capirlo anche Gianni.
Non credo di aver capito bene qual è la soluzione da te proposta al riguardo.
L'ipotesi che avevo fatto inizialmente (che poi si è rivelata falsa) voleva appunto sciogliere questo nodo.
Ragionando mi è venuta un'altra idea:
ciascuna coppia che mi stampa il programma (chiamiamole "coppie speciali") è associata ad un prodotto che tra le $n>=2$ diverse scomposizioni in due divisori presenta una sola coppia la cui somma (posseduta da Gianni) giustifica la prima affermazione di Gianni e quindi anche la seconda affermazione di Franco. Ora Gianni tra le $m>=2$ coppie che si ritrova come fa a capire quale sia quella corretta? Gianni sa che tra le $m$ coppie in suo possesso ci deve essere la "coppia speciale" già individuata da Franco e secondo me affinchè anche Gianni possa individuarla, tra le $m$ coppie deve comparire una sola "coppia speciale". Ciò non avviene nel caso di p=18 e s=11, infatti avremo che le $m=4$ coppie sono:
2- 9 (coppia speciale)
3 - 8 (coppia speciale)
4 - 7 (coppia speciale)
5 - 6

L'ipotesi su cui si basa questo ragionamento è che esista una sola "coppia speciale" la cui somma, tra le $m>=2$ scomposizioni, presenta un'unica "coppia speciale".
Cosa ne pensi, lo trovi valido come ragionamento?

[axpgn]

Così d'acchito mi sembra quello che volevo dire io
Però, premesso che nel mio esempio per me le coppie "speciali" sono solo due (escludo $3-8$), è necessario definire quali siano le caratteristiche di queste coppie speciali ... e secondo me la caratteristica più probabile è che la coppia speciale deve avere solo due coppie di divisori e non di più ... ...IMHO

Cordialmente, Alex

[Super Squirrel]

Ho provato ad implementare l'idea descritta nel mio precedente post:

"Super Squirrel":Ragionando mi è venuta un'altra idea:
ciascuna coppia che mi stampa il programma (chiamiamole "coppie speciali") è associata ad un prodotto che tra le n≥2 diverse scomposizioni in due divisori presenta una sola coppia la cui somma (posseduta da Gianni) giustifica la prima affermazione di Gianni e quindi anche la seconda affermazione di Franco. Ora Gianni tra le m≥2 coppie che si ritrova come fa a capire quale sia quella corretta? Gianni sa che tra le m coppie in suo possesso ci deve essere la "coppia speciale" già individuata da Franco e secondo me affinchè anche Gianni possa individuarla, tra le m coppie deve comparire una sola "coppia speciale".

Il calcolatore caccia queste 7 coppie (le coppie speciali sono 386 in totale):
4 - 13
75 - 80
72 - 95
75 - 96
77 - 96
80 - 99
81 - 100
Se tutto è corretto allora l'ipotesi che avevo fatto:

"Super Squirrel":L'ipotesi su cui si basa questo ragionamento è che esista una sola "coppia speciale" la cui somma, tra le m≥2 scomposizioni, presenta un'unica "coppia speciale".

non sussiste, essendoci 7 coppie speciali (tra le 386 totali) che soddisfano la suddetta condizione.
A questo punto ci deve essere un ragionamento diverso che giustifica la seconda affermazione di Gianni...

@axpgn
Se ti viene in mente qualcosa fammi sapere che provo a dare il tutto in pasto al calcolatore per vedere cosa ne esce!

P.S.
@Drazen77
Per caso i 2 numeri misteriosi si trovano tra le 7 coppie che ho riportato?

[Drazen77]

"Super Squirrel":@Drazen77
Per caso i 2 numeri misteriosi si trovano tra le 7 coppie che ho riportato?

Sì, tra quelle sette coppie c'è la coppia giusta.

[Super Squirrel]

Provo a formalizzare e chiarire il mio ragionamento:

Dal momento che la prima affermazione è di Franco, decido di partire analizzando i prodotti $P$, che variano tra 4=2*2 e
10000=100*100. Chiamerò prodotti speciali i valori di $P$ per cui:
- esistono $n>=2$ diverse coppie di divisori compresi tra 2 e 100;
- tra le $n$ somme $S$ delle $n$ coppie di divisori, solo una (che chiamerò somma speciale) può essere scomposta in $m>=2$ diverse coppie di addendi il cui prodotto possiede 2 o più diverse coppie di divisori.

Chiamerò coppia speciale la coppia di divisori associata alla somma speciale associata al prodotto speciale.
La corrispondenza tra prodotto speciale e coppia speciale è biunivoca, non lo è invece quella tra prodotto speciale e somma speciale e quella tra somma speciale e coppia speciale.

Se Franco è in possesso di un prodotto speciale risulta giustificata la sua prima affermazione.
Se Gianni è in possesso della somma speciale associata al prodotto speciale posseduto da Franco, non solo egli non potrà identificare subito i due numeri misteriosi, ma sarà anche giustificata la sua prima affermazione e di conseguenza anche la seconda affermazione di Franco.
Dalla seconda affermazione di Franco, Gianni deduce di essere in possesso della somma speciale associata al prodotto speciale posseduto da Franco e che quindi tra le $m$ coppie di addendi in suo possesso ci deve essere la coppia speciale associata al prodotto speciale posseduto da Franco. A questo punto però, se tra le $m$ coppie ci fosse più di una coppia speciale, Gianni non avrebbe nessun elemento per individuare tra di esse quella corretta (ossia quella associata al prodotto speciale posseduto da Franco); quindi possiamo concludere che i due numeri misteriosi devono essere costituiti dalla coppia speciale associata al prodotto speciale a cui è associata una somma speciale che tra le $m$ coppie di addendi presenta un'unica coppia speciale.

Secondo voi funziona come ragionamento? In caso contrario dov'è che sbaglio?

In ogni caso provando ad implementare il tutto, ottengo come risposta dal calcolatore le seguenti 7 coppie:
4 - 13
75 - 80
72 - 95
75 - 96
77 - 96
80 - 99
81 - 100

"Drazen77":Sì, tra quelle sette coppie c'è la coppia giusta.

Personalmente credo che la soluzione in tuo possesso sia la coppia 4 - 13, ma se il ragionamento e l'implementazione del programma sono corretti, come mai le altre 6 coppie sarebbero da escludere?

[axpgn]

Il ragionamento funziona ma siamo sempre lì, non sposta di un centimetro quanto detto finora ...

Franco può fare la prima affermazione perché il numero che ha in mano ha una caratteristica ben precisa: può essere scomposto in almeno due coppie di divisori; analogamente Gianni può fare la sua perché anche il suo numero ha una caratteristica ben precisa: può essere scomposto solo in coppie di addendi che moltiplicati fra loro danno numeri che hanno almeno due coppie di divisori; ecc.
Però la caratteristica che devono avere questi numeri affinché Gianni possa fare la sua seconda affermazione ancora non la sappiamo

Cordialmente, Alex

[Super Squirrel]

"axpgn":Però la caratteristica che devono avere questi numeri affinché Gianni possa fare la sua seconda affermazione ancora non la sappiamo

Con questa condizione

"Super Squirrel": A questo punto però, se tra le $m$ coppie ci fosse più di una coppia speciale, Gianni non avrebbe nessun elemento per individuare tra di esse quella corretta (ossia quella associata al prodotto speciale posseduto da Franco)

sono riuscito a ridurre le coppie da 386 a 7, tra cui è stata confermata la presenza dei due numeri misteriosi... magari non è proprio da buttare, chissà!

[axpgn]

Non dico quello (infatti il tuo procedimento logico non fa una piega), il fatto è che la soluzione ancora non l'abbiamo

Cordialmente, Alex

[Drazen77]

È un problema pubblicato dal matematico Hans Freudenthal nel 1969, in cui i protagonisti sono il Professor Somma e il Professor Prodotto.
Successivamente è stato rivisitato dai matematici David J. Sprows e Martin Gardner e ha preso il nome "Il problema impossibile".

Soluzione:

Franco: "Io non sono in grado di determinarli."
Questa frase ci permette di dedurre che Franco abbia un numero P-ambiguo.
(Definiamo P-ambiguo (Prodotto-ambiguo) nel range [a-b] un numero intero che possa essere scomposto in due fattori in più di un modo. I fattori devono essere scelti nel range [a-b]).
Nel range [2-100] i numeri P-ambigui sono 3157 (con molta pazienza potete trovarli ).

Gianni: "Io sapevo che tu non saresti stato in grado di determinarli."
Questa frase ci permette di dedurre che Gianni abbia un numero SP-ambiguo.
(Definiamo SP-ambiguo un numero se e solo se, scomponendo tale numero in tutte le possibili coppie di addendi e calcolando il prodotto di ciascuna di tali coppie, si ottiene in ogni caso un numero P-ambiguo).
Nel range [2-100] i numeri SP-ambigui sono 10 e per la precisione: 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47 e 53.

Franco: "Beh, se dici così allora ho capito che numeri siano!"
Questa frase ci permette di dedurre che Franco abbia un numero P-ambiguo, a cui corrisponde uno e un solo numero SP-ambiguo.
Nel range [2-100], esistono 86 numeri di questo tipo.
Riporto l'elenco, che è indispensabile per concludere il problema.
I numeri che può avere Franco sono quelli della terza colonna.


Gianni: "Allora adesso lo so anch'io!"
I numeri che può avere Gianni sono quelli della quarta colonna.
Se Gianni è in grado di pronunciare quella frase è perché ha il numero 17.
Infatti il 17 è l'unico numero SP-ambiguo a cui corrisponde uno e un solo numero P-ambiguo.
Se, ad esempio Gianni avesse il numero 23 non potrebbe decidere quale dei numeri 130, 112, 76 avrebbe Franco. Stesso discorso per gli altri numeri: 11, 27, 29, 35, e così via.

Il numero P-ambiguo cercato è quindi il 52, mentre il numero SP-ambiguo è il 17.

Da ciò si deduce finalmente:
s = 17
p = 52
x = 4
y = 13

[axpgn]

Ma l'avevo già detto ...

"axpgn":... E qui c'è il mio errore: tra le varie scomposizioni di $11$ anche $4+7$ danno un prodotto con due sole coppie di divisori quindi Gianni non può essere sicuro che solo $2+9$ siano quelli giusti ... l'avevo notato già ieri sera ma mi ero stufato e non avevo (ho) voglia di proseguire ad analizzarne altri con questo metodo ...

Cordialmente, Alex