Gli arcieri di Nottingham
A causa delle continue scorribande di Robin Hood e dei suoi fuorilegge, lo Sceriffo di Nottingham ha deciso di rinforzare la guarnigione del castello. In particolare ha pensato di creare un reparto di arcieri scelti, che possano validamente competere con gli arcieri della Foresta di Sherwood.
E’ stato così diffuso un bando di arruolamento in tutto il Nottinghamshire e nelle contee vicine. La promessa di una buona paga e la diffusa carestia hanno fatto sì che da ogni parte siano giunti arcieri o sedicenti tali. Più di 1000 sono gli aspiranti, e solo 50 i posti disponibili.
Lo Sceriffo ha perciò deciso lo svolgimento di una prova di abilità per selezionare i migliori.
Ogni arciere ha avuto a disposizione tutte le frecce che voleva, e in un giro di clessidra doveva colpire il maggior numero di bersagli. Alla fine della prova i mastri arcieri hanno sottoposto allo Sceriffo la lista di tutti i candidati, con accanto a ciascun nome indicato il numero delle frecce scoccate e il numero di bersagli colpiti.
Lo Sceriffo deve ora scegliere i 50 migliori.
Ha depennato subito quelli che non hanno mai o quasi mai colpito il bersaglio (sono ovviamente pessimi tiratori).
Ha poi depennato quelli che hanno colpito alcune volte il bersaglio, ma scagliando un grande numero di frecce (sprecano troppe frecce e sono tiratori modesti).
I rimanenti, circa la metà, sono divisi in due gruppi principali:
- ci sono quelli che, pur scagliando poche frecce, hanno sempre colpito il bersaglio: sono piuttosto lenti nel tiro, ma di ottima mira;
- ci sono gli altri che scagliano un buon numero di frecce, e che spesso colpiscono il bersaglio (diciamo una volta su due o due volte su tre): sono veloci nel tiro, e buoni o discreti nella mira.
I dubbi che si pone ora lo Sceriffo sono i seguenti: è meglio l’arciere che ha lanciato 10 frecce facendo 10 centri, o quello che ha lanciato 20 frecce facendo 15 centri, o ancora quello che ha lanciato 30 frecce facendo 20 centri, o infine quello che ha lanciato 50 frecce facendo 25 centri? Per lo Sceriffo è importante sia che l’arciere abbia una buona mira, sia che sprechi il minore numero di frecce. Quali possono essere i criteri per fare una classifica che tenga conto di entrambi questi aspetti?
Fare una buona scelta non è cosa di poco conto: c’è di mezzo l’onore dello Sceriffo e la tranquillità di tutto il Nottinghamshire, ora alla mercè di Robin Hood e dei suoi abilissimi arcieri.
Ringrazio perciò i dotti matematici che vorranno fornirci un aiuto.
Lo scudiero delle Sceriffo di Nottingham
E’ stato così diffuso un bando di arruolamento in tutto il Nottinghamshire e nelle contee vicine. La promessa di una buona paga e la diffusa carestia hanno fatto sì che da ogni parte siano giunti arcieri o sedicenti tali. Più di 1000 sono gli aspiranti, e solo 50 i posti disponibili.
Lo Sceriffo ha perciò deciso lo svolgimento di una prova di abilità per selezionare i migliori.
Ogni arciere ha avuto a disposizione tutte le frecce che voleva, e in un giro di clessidra doveva colpire il maggior numero di bersagli. Alla fine della prova i mastri arcieri hanno sottoposto allo Sceriffo la lista di tutti i candidati, con accanto a ciascun nome indicato il numero delle frecce scoccate e il numero di bersagli colpiti.
Lo Sceriffo deve ora scegliere i 50 migliori.
Ha depennato subito quelli che non hanno mai o quasi mai colpito il bersaglio (sono ovviamente pessimi tiratori).
Ha poi depennato quelli che hanno colpito alcune volte il bersaglio, ma scagliando un grande numero di frecce (sprecano troppe frecce e sono tiratori modesti).
I rimanenti, circa la metà, sono divisi in due gruppi principali:
- ci sono quelli che, pur scagliando poche frecce, hanno sempre colpito il bersaglio: sono piuttosto lenti nel tiro, ma di ottima mira;
- ci sono gli altri che scagliano un buon numero di frecce, e che spesso colpiscono il bersaglio (diciamo una volta su due o due volte su tre): sono veloci nel tiro, e buoni o discreti nella mira.
I dubbi che si pone ora lo Sceriffo sono i seguenti: è meglio l’arciere che ha lanciato 10 frecce facendo 10 centri, o quello che ha lanciato 20 frecce facendo 15 centri, o ancora quello che ha lanciato 30 frecce facendo 20 centri, o infine quello che ha lanciato 50 frecce facendo 25 centri? Per lo Sceriffo è importante sia che l’arciere abbia una buona mira, sia che sprechi il minore numero di frecce. Quali possono essere i criteri per fare una classifica che tenga conto di entrambi questi aspetti?
Fare una buona scelta non è cosa di poco conto: c’è di mezzo l’onore dello Sceriffo e la tranquillità di tutto il Nottinghamshire, ora alla mercè di Robin Hood e dei suoi abilissimi arcieri.
Ringrazio perciò i dotti matematici che vorranno fornirci un aiuto.
Lo scudiero delle Sceriffo di Nottingham
Risposte
Bè una classifica fondata sul rapporto tra le due cose no? è quasi tautologica:tu vuoi sapere un correlazione tra le due cose ovvero vuoi sapere il rapporto.
Caspita mi hai fatto leggere quella storiella che non finiva più per poi.......
Caspita mi hai fatto leggere quella storiella che non finiva più per poi.......
"Karl":
Bè una classifica fondata sul rapporto tra le due cose no? è quasi tautologica:tu vuoi sapere un correlazione tra le due cose ovvero vuoi sapere il rapporto.
Caspita mi hai fatto leggere quella storiella che non finiva più per poi.......
Chiedo scusa se sono stato prolisso, ho solo cercato una metafora per rendere divertente un problema che da tempo sto cercando di risolvere.
Veniamo alla soluzione da te proposta:
1) sparo 1 solo colpo e faccio 1 centro: rapporto 1/1 risultato 1
2) sparo 100 colpi e faccio 80 centri: rapporto 80/100 risultato 0,8
3) sparo 1000 colpi e faccio 600 centri: rapporto 600/1000 risultato 0,6
Il tuo metodo (ovvio, e che ho già preso in considerazione) mi porterebbe a scegliere l'opzione n° 1, che non pi pare proprio la migliore.
Grazie comunque.
Bè no non hai considerato con attenzione:qui interviene il parere soggettivo del re,se a lui interessa in particolare una delle due variabili hai una classifica(un rapporto) altrimenti hai la classifica inversa(rapporto inverso) se ci fai caso!!:ma qui un matematico può farci ben poco prova al forum del sismi.... 
Secondo me, si potrebbe fare una combinazione convessa tra il rapporto con cui si è andati a segno e il rapporto dei bersagli colpiti rispetto al maggior numero di bersagli colpiti dal singolo.
per esempio chiamiamo p la percentuale con cui un giocatore ha colpito il bersaglio e $q="bersagli colpiti dal giocatore"/"massimo numero bersagli colpiti"$ allora preso $t\in[0,1]$ possiamo scrivere per ogni giocatore il valore così calcolato $(1-t)*p+t*q$ e prendere i primi 50; se non ci sono preferenze del re potremmo prendere $t=1/2$
Ovviamente possiamo migliorarlo per esempio prendendo $q="bersagli colpiti dal giocatore"/"somma bersagli colpiti da tutti i giocatori"$ (in questo caso $t=1/2$ non sarebbe più così equilibrato). cosa ne pensi?
per esempio chiamiamo p la percentuale con cui un giocatore ha colpito il bersaglio e $q="bersagli colpiti dal giocatore"/"massimo numero bersagli colpiti"$ allora preso $t\in[0,1]$ possiamo scrivere per ogni giocatore il valore così calcolato $(1-t)*p+t*q$ e prendere i primi 50; se non ci sono preferenze del re potremmo prendere $t=1/2$
Ovviamente possiamo migliorarlo per esempio prendendo $q="bersagli colpiti dal giocatore"/"somma bersagli colpiti da tutti i giocatori"$ (in questo caso $t=1/2$ non sarebbe più così equilibrato). cosa ne pensi?
"andreo":
Secondo me, si potrebbe fare una combinazione convessa tra il rapporto con cui si è andati a segno e il rapporto dei bersagli colpiti rispetto al maggior numero di bersagli colpiti dal singolo.
per esempio chiamiamo p la percentuale con cui un giocatore ha colpito il bersaglio e $q="bersagli colpiti dal giocatore"/"massimo numero bersagli colpiti"$ allora preso $t\in[0,1]$ possiamo scrivere per ogni giocatore il valore così calcolato $(1-t)*p+t*q$ e prendere i primi 50; se non ci sono preferenze del re potremmo prendere $t=1/2$
Ovviamente possiamo migliorarlo per esempio prendendo $q="bersagli colpiti dal giocatore"/"somma bersagli colpiti da tutti i giocatori"$ (in questo caso $t=1/2$ non sarebbe più così equilibrato). cosa ne pensi?
Se ho capito bene la formula proposta da te:
[ ( 1-t) * (centri/spari) + (t * centri/spari_totali) ]
non funziona perché dalle prove che ho fatto ho sempre che:
1/1 > 10/11 > 40/60
per ogni valore di t (prossimo a 0 o a 1)
Il punto è che il numero degli spari mi da l'attendibilità statistica del singolo dato (più è alto più posso considerarlo affidabile) e il numero dei centri mi da la sua qualità. E io devo potere scegliere un secondo dato alto su un primo dato altrettanto alto.
Però mi hai dato un'idea: fino ad ora ho ragionato solo in termini di spari, centri, e centri/spari.
Non avevo pensato a centri_totali, e magari a spari_totali, cioè due ulteriori variabili che potrei usare per attribuire pesi relativi.
Devo lavorarci.
la mia era solo un' idea...
In realtà però tu hai scritto [ ( 1-t) * (centri/spari) + (t * centri/spari_totali) ] però io intendevo [ ( 1-t) * (centri/spari) + (t * centri/centri_totali) ] ; o meglio ancora [ ( 1-t) * (centri/spari) + (t * centri/centri_giocatore migliore) ]
inoltre non ho ben capito cosa vuoi dire qui:
In realtà però tu hai scritto [ ( 1-t) * (centri/spari) + (t * centri/spari_totali) ] però io intendevo [ ( 1-t) * (centri/spari) + (t * centri/centri_totali) ] ; o meglio ancora [ ( 1-t) * (centri/spari) + (t * centri/centri_giocatore migliore) ]
inoltre non ho ben capito cosa vuoi dire qui:
non funziona perché dalle prove che ho fatto ho sempre che:
1/1 > 10/11 > 40/60
per ogni valore di t (prossimo a 0 o a 1)
Io definirei dei valori precisi alle variabili centro colpito e freccie usate... Non so per le freccie potrebbe essere inerente al loro costo per i centri le frecce che si possono tollerare per un ucciso.
Si crea la funzione
$f(x,y)=x*v1-y*v2$
dove x sono i centri e y le freccie. V1 e V2 o valori ad esse associate.
A questo punto si ha un valore numerico per ogni arciere basta calcolare tutti i valori e scegliere i migliori...
Si crea la funzione
$f(x,y)=x*v1-y*v2$
dove x sono i centri e y le freccie. V1 e V2 o valori ad esse associate.
A questo punto si ha un valore numerico per ogni arciere basta calcolare tutti i valori e scegliere i migliori...
Rispondo come appassionato arciere, più che come matematico (anche se non sono nè l'uno nè l'altro).
Capisco le preoccupazioni del tesoriere dello sceriffo, ma se si devono assoldare arcieri, quello che conta, alla fin fine, sono il numero dei bersagli colpiti per unità di tempo. Al costo dei dardi, penseremo dopo!
La capacità di un sistema d'arma, si valuta in numero di colpi al minuto (in realtà non si parla nemmeno di colpi andati a segno, ma solo di colpi partiti !).
Volendo per forza adoperare una formula matematica, credo che sia inevitabile un intervento "soggettivo" preventivo che limiti l'intervallo da prendere in considerazione.
nell'esempio proposto, se si esclude il tiratore precisomalento (10/10) non è difficile trovare un modo per cui 15/20 e 20/30 hanno qualcosa in più di 25/50; personalmente darei importanza al "guadagno marginale" (una sorta di derivata, mi scusino i matematici), cioè il numero di centri aggiuntivi rapportati al numero di lanci aggiunti, rispetto a chi ha lanciato meno frecce.
A parità di incremento , è meglio chi fa più centri in termini assoluti.
Concludendo, il migliore nell'esempio sarebbe 20/30
Capisco le preoccupazioni del tesoriere dello sceriffo, ma se si devono assoldare arcieri, quello che conta, alla fin fine, sono il numero dei bersagli colpiti per unità di tempo. Al costo dei dardi, penseremo dopo!
La capacità di un sistema d'arma, si valuta in numero di colpi al minuto (in realtà non si parla nemmeno di colpi andati a segno, ma solo di colpi partiti !).
Volendo per forza adoperare una formula matematica, credo che sia inevitabile un intervento "soggettivo" preventivo che limiti l'intervallo da prendere in considerazione.
nell'esempio proposto, se si esclude il tiratore precisomalento (10/10) non è difficile trovare un modo per cui 15/20 e 20/30 hanno qualcosa in più di 25/50; personalmente darei importanza al "guadagno marginale" (una sorta di derivata, mi scusino i matematici), cioè il numero di centri aggiuntivi rapportati al numero di lanci aggiunti, rispetto a chi ha lanciato meno frecce.
A parità di incremento , è meglio chi fa più centri in termini assoluti.
Concludendo, il migliore nell'esempio sarebbe 20/30
Si tratta di un problema di "social choice theory", per il quale un approccio "assiomatico" puo' essere utile ("property driven approach"). Se tu dicessi quale e' il vero problema che hai, magari potresti ricevere risposte piu' adeguate.
Due annotazioni.
Come gia' ti e' stato fatto notare, potrebbero essere coinvolti degli aspetti "soggettivi". E, comunque, va specificato che tipo di social choice function ti interessa. O alcune sue proprieta', almeno. Questo spetta a te.
Tu sei interessato alla scelta di un gruppo. Puo' aver senso costituirlo scegliendo in parte gli arcieri piu' precisi e in parte gli arcieri piu' veloci. Dipende, magari, da come saranno le "operazioni militari". Questo si collega al punto precedente.
Chiosa finale. La formula e' l'ultimo dei problemi. Sembri un ingegnere che voglia a tutti i costi avere un numero senza sapere bene a cosa gli serva.
Due annotazioni.
Come gia' ti e' stato fatto notare, potrebbero essere coinvolti degli aspetti "soggettivi". E, comunque, va specificato che tipo di social choice function ti interessa. O alcune sue proprieta', almeno. Questo spetta a te.
Tu sei interessato alla scelta di un gruppo. Puo' aver senso costituirlo scegliendo in parte gli arcieri piu' precisi e in parte gli arcieri piu' veloci. Dipende, magari, da come saranno le "operazioni militari". Questo si collega al punto precedente.
Chiosa finale. La formula e' l'ultimo dei problemi. Sembri un ingegnere che voglia a tutti i costi avere un numero senza sapere bene a cosa gli serva.
Per rispondere a Fioravante Patrone, il mio scopo è trovare il modo per definire il valore di fitness (ossia il parametro che determina la probabilità riproduttiva di un individuo in un algoritmo genetico) di una serie di individui-soluzione i cui soli attributi sono appunto i due parametri che ho sempre chiamato sparo-centro e che se anche possono apparire fantasiosi in realtà rendono bene il senso della situazione. Non vi è nulla di metafisico e ciò che cerco è solo una formula (appunto).
Per testare le possibili soluzioni uso un set di dati su foglio elettronico, costituito da due colonne con qualche migliaio di coppie di dati “spari”-“centri”. In un’altra colonna “punti” inserisco la formula costituente la soluzione da testare, poi ordino i dati in base a tale colonna.
A questo punto valuto (al momento soggettivamente) se l’ordinamento ottenuto mostra ai primi posti coppie di dati che presentano una rilevanza statistica (molti spari) e contemporaneamente una qualità di risultati (molti centri).
Il problema è che tutti i metodi fin qui adottati portano a premiare (ossia a mettere in ordine decrescente di punteggio) coppi di dati del tipo: 10 centri con 10 spari, …, 13 centri con 15 spari, …, 30 centri con 35 spari (ossia i perfetti o quasi perfetti tiratori ma statisticamente poco significativi), e molto dopo pongono coppie quali 500 centri con 300 spari, …, 2000 centri con 1000 spari, … (ossia tiratori discreti ma statisticamente più validi).
Per andreo
Scusa sono stato un po’ criptico. Intendevo che 1 centro con 1 sparo mi da un punteggio maggiore di 10 centri con 11 spari ecc (per i criteri detti sopra) , pur variando il valore di t nell’intervallo 0-1.
La formula che ho usato era quella giusta, ma l’ho trascritta male sulla mia risposta sul forum.
Ho provato anche l’altra (con centri/centri_giocatore_migliore) ma mi da lo stesso risultato.
Per Aeiourini
Idea semplice ma efficace: proprio quello che cerco! Con un qualche correttivo potrebbe funzionare.
Per testare le possibili soluzioni uso un set di dati su foglio elettronico, costituito da due colonne con qualche migliaio di coppie di dati “spari”-“centri”. In un’altra colonna “punti” inserisco la formula costituente la soluzione da testare, poi ordino i dati in base a tale colonna.
A questo punto valuto (al momento soggettivamente) se l’ordinamento ottenuto mostra ai primi posti coppie di dati che presentano una rilevanza statistica (molti spari) e contemporaneamente una qualità di risultati (molti centri).
Il problema è che tutti i metodi fin qui adottati portano a premiare (ossia a mettere in ordine decrescente di punteggio) coppi di dati del tipo: 10 centri con 10 spari, …, 13 centri con 15 spari, …, 30 centri con 35 spari (ossia i perfetti o quasi perfetti tiratori ma statisticamente poco significativi), e molto dopo pongono coppie quali 500 centri con 300 spari, …, 2000 centri con 1000 spari, … (ossia tiratori discreti ma statisticamente più validi).
Per andreo
Scusa sono stato un po’ criptico. Intendevo che 1 centro con 1 sparo mi da un punteggio maggiore di 10 centri con 11 spari ecc (per i criteri detti sopra) , pur variando il valore di t nell’intervallo 0-1.
La formula che ho usato era quella giusta, ma l’ho trascritta male sulla mia risposta sul forum.
Ho provato anche l’altra (con centri/centri_giocatore_migliore) ma mi da lo stesso risultato.
Per Aeiourini
Idea semplice ma efficace: proprio quello che cerco! Con un qualche correttivo potrebbe funzionare.
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo