Gioco sulla probabilità.
Buongiorno a tutti, siccome oggi, compio gli anni, mi è venuto in mente questo esercizio-gioco, che vi sottoscrivo:
In una città ci sono 200000 abitanti. Qual è la probabilità che 4 di essi si ritrovino casualmente in un bar e scoprano di essere:
1) nati tutti lo stesso giorno.
2) nati tutti in giorni consecutivi.
E' possibile che si risolva semplicemente cosi?
$ 1) P = 200000 / 365^3 = 0,004112 = 1/243 $
$ 2) P = 200000 / (364 * 363 * 362) = 1/239 $
A prima vista mi pare che debba essere più probabile la 1) anziché la 2), tuttavia, ho postato una prova di risoluzione, come richiesto dal forum.
Grazie.
In una città ci sono 200000 abitanti. Qual è la probabilità che 4 di essi si ritrovino casualmente in un bar e scoprano di essere:
1) nati tutti lo stesso giorno.
2) nati tutti in giorni consecutivi.
E' possibile che si risolva semplicemente cosi?
$ 1) P = 200000 / 365^3 = 0,004112 = 1/243 $
$ 2) P = 200000 / (364 * 363 * 362) = 1/239 $
A prima vista mi pare che debba essere più probabile la 1) anziché la 2), tuttavia, ho postato una prova di risoluzione, come richiesto dal forum.
Grazie.
Risposte
La probabilità è indipendente dal numero degli abitanti della città.
La $p$ di 1) dovrebbe essere semplicemente $1/365^3$
la $p$ di 2) $3!$ volte maggiore
(salvo errori...)
La $p$ di 1) dovrebbe essere semplicemente $1/365^3$
la $p$ di 2) $3!$ volte maggiore
(salvo errori...)
Non so se intendesse quello cioè la probabilità che quattro persone date siano nate lo stesso giorno od invece intenda sapere quale sia la probabilità che quattro persone estratte da un insieme di duecentomila siano nate lo stesso giorno; in questo caso quale sarebbe?
En passant, un quesito più semplice: in una città di duecentomila abitanti quante sono come minimo le persone nate in uno stesso giorno dell'anno?
Cordialmente, Alex
En passant, un quesito più semplice: in una città di duecentomila abitanti quante sono come minimo le persone nate in uno stesso giorno dell'anno?
Cordialmente, Alex
Grazie nino_ e axpgn.
axpgn scrivi:
"in una città di duecentomila abitanti quante sono come minimo le persone nate in uno stesso giorno dell'anno?"
Possono essere anche duecentomila? Giusto?
axpgn scrivi:
"in una città di duecentomila abitanti quante sono come minimo le persone nate in uno stesso giorno dell'anno?"
Possono essere anche duecentomila? Giusto?
@alex
$[frac{200.000}{365}]$ (sarebbe la parte intera)
$[frac{200.000}{365}]$ (sarebbe la parte intera)
@kobe
Yes.
@ignorante
Sì, potrebbero essere anche duecentomila ma io ho chiesto il minimo non il massimo ...
Yes.
@ignorante
Sì, potrebbero essere anche duecentomila ma io ho chiesto il minimo non il massimo ...
OK, $ 200000/365 $ minimo al giorno, quindi passaggio successivo per rispondere alla tua 2° domanda è:
$ 4 * 365 / 200000 = 0,0073 $ ?
Comunque intendevo la prima domanda! Grazie!
$ 4 * 365 / 200000 = 0,0073 $ ?
Comunque intendevo la prima domanda! Grazie!
alex: secondo me il risultato è lo stesso in tutti e due i casi. Che tu prenda le prime quattro perone che incontri, che prendi quattro persone di Trieste (su 250.000), o quattro abitanti della Terra (su 7.000.000.000) il risultato non cambia.
Nino: sono indeciso tra $3!$ e $4!$........
Nino: sono indeciso tra $3!$ e $4!$........
@superpippone
... mmm ... dubito molto che sia la stessa, la vedo più complicata ... se hai un gruppo di duemila persone potrebbero essere nate tutte lo stesso giorno oppure all'altro estremo avresti una distribuzione grossolanamente uniforme di gruppi da cinque , quattro, ecc. persone nate lo stesso giorno e tutte le situazioni intermedie (in totale una marea di casi diversi); per ciascuna di queste situazioni la probabilità che quattro persone estratte a caso abbiano il compleanno in comune è sicuramente diversa e quindi come faresti ad affermare che la probabilità "globale" di tutte queste situazioni sia la stessa del caso di quattro persone date ?
Cordialmente, Alex
... mmm ... dubito molto che sia la stessa, la vedo più complicata ... se hai un gruppo di duemila persone potrebbero essere nate tutte lo stesso giorno oppure all'altro estremo avresti una distribuzione grossolanamente uniforme di gruppi da cinque , quattro, ecc. persone nate lo stesso giorno e tutte le situazioni intermedie (in totale una marea di casi diversi); per ciascuna di queste situazioni la probabilità che quattro persone estratte a caso abbiano il compleanno in comune è sicuramente diversa e quindi come faresti ad affermare che la probabilità "globale" di tutte queste situazioni sia la stessa del caso di quattro persone date ?
Cordialmente, Alex
Se delle 4 persone, o del gruppo non sai assolutamente niente, la probabilità è la stessa.
No, del gruppo tu sai qualcosa a prescindere ... per esempio a seconda della dimensione sei sicuro che ci saranno due, tre, ecc. persone nate lo stesso giorno, ma non solo ...
Prendi come caso un gruppo di $10$ persone: potrebbero essere nate tutte lo stesso giorno e in questo caso hai una certa probabilità che quattro prese a sorte siano nate lo stesso giorno (per inciso il $100%$); oppure $9$ hanno il compleanno in comune e una no, la probabilità delle quattro persone è diversa ma pesa in modi diverso sul totale perché avrò $364$ casi di questo tipo; oppure $8$ e $2$ od anche $8$ e $1$ e $1$ e così via ... fino al caso in cui tutte e dieci hanno un compleanno diverso e quindi la probabilità delle quattro è zero ma pesa in modo ancora diverso ...
Quindi, detto questo, riesci a dimostrarmi che la probabilità che quattro persone prese a caso tra QUESTE dieci sia uguale a $1/365^3$ ? ... a me sembra difficile ...
Cordialmente, Alex
Prendi come caso un gruppo di $10$ persone: potrebbero essere nate tutte lo stesso giorno e in questo caso hai una certa probabilità che quattro prese a sorte siano nate lo stesso giorno (per inciso il $100%$); oppure $9$ hanno il compleanno in comune e una no, la probabilità delle quattro persone è diversa ma pesa in modi diverso sul totale perché avrò $364$ casi di questo tipo; oppure $8$ e $2$ od anche $8$ e $1$ e $1$ e così via ... fino al caso in cui tutte e dieci hanno un compleanno diverso e quindi la probabilità delle quattro è zero ma pesa in modo ancora diverso ...
Quindi, detto questo, riesci a dimostrarmi che la probabilità che quattro persone prese a caso tra QUESTE dieci sia uguale a $1/365^3$ ? ... a me sembra difficile ...
Cordialmente, Alex
Posso assicurarti che se hai voglia (io no di certo.....) di fare tutti i calcoli (esattamente....), e di perdere una giornata di tempo, il risultato sarà sempre lo stesso.
"superpippone":
Nino: sono indeciso tra $3!$ e $4!$........
Mi sa che sia meglio $4!$
O.K. Ci ho pensato su stamattina, ed mi ero convinto che la soluzione fosse $4!$
Saluti.
Luciano
P.S. per la domanda di Alex $200.000/365=547,95=548$ Si arrotonda sempre all'intero superiore.
P.S. P.S. Chissà poi perchè tutti abbiamo sempre preso sempre in considerazione 365, e non 366.....
Saluti.
Luciano
P.S. per la domanda di Alex $200.000/365=547,95=548$ Si arrotonda sempre all'intero superiore.
P.S. P.S. Chissà poi perchè tutti abbiamo sempre preso sempre in considerazione 365, e non 366.....
@superpippone
Siccome non sono d'accordo c'ho provato
Prendiamo un gruppo di $5$ persone, che possiamo suddividere in sottogruppi in base al loro genetliaco ed avremo la seguente casistica:
a) $(5)$, b) $(4,1)$, c) $(3,2)$, d) $(3,1,1)$, e) $(2,2,1)$, f) $(2,1,1,1)$, e g) $(1,1,1,1,1)$.
In ciascuno possiamo estrarre $5$ quartetti.
La probabilità che nel caso a) un qualsiasi quartetto sia composto da persone nate nello
stesso giorno è pari al $100%$, mentre nel caso b) è pari al $20%$ ed è zero negli altri.
Adesso proviamo a calcolarci la probabilità "globale" ...
Nel caso a) la situazione è unica mentre nel b) e nel c) avremo $364$ situazioni diverse, che
diventano $364*363=132.132$ nei casi d) ed e) e poi sono $364*363*362=47.831.784$ in f) ed
infine in g) ne abbiamo $364*363*362*361=17.267.274.024$.
Dato che per ogni tipo abbiamo $5$ quartetti diversi i casi possibili sono
$5*17.267.274.024=86.336.370.120$.
I casi favorevoli sono $5*1=5$ nel caso a) e $1*364=364$ nel caso b) per un totale di $369$.
La probabilità perciò sarà $369/(86.336.370.120)=4.27*10^(-9)$ mentre $1/365^3=2.06*10^(-8)$.
Ergo sono diverse.
Cordialmente, Alex
P.S.:
Per non complicarci ulteriormente la vita ...
Siccome non sono d'accordo c'ho provato
Prendiamo un gruppo di $5$ persone, che possiamo suddividere in sottogruppi in base al loro genetliaco ed avremo la seguente casistica:
a) $(5)$, b) $(4,1)$, c) $(3,2)$, d) $(3,1,1)$, e) $(2,2,1)$, f) $(2,1,1,1)$, e g) $(1,1,1,1,1)$.
In ciascuno possiamo estrarre $5$ quartetti.
La probabilità che nel caso a) un qualsiasi quartetto sia composto da persone nate nello
stesso giorno è pari al $100%$, mentre nel caso b) è pari al $20%$ ed è zero negli altri.
Adesso proviamo a calcolarci la probabilità "globale" ...
Nel caso a) la situazione è unica mentre nel b) e nel c) avremo $364$ situazioni diverse, che
diventano $364*363=132.132$ nei casi d) ed e) e poi sono $364*363*362=47.831.784$ in f) ed
infine in g) ne abbiamo $364*363*362*361=17.267.274.024$.
Dato che per ogni tipo abbiamo $5$ quartetti diversi i casi possibili sono
$5*17.267.274.024=86.336.370.120$.
I casi favorevoli sono $5*1=5$ nel caso a) e $1*364=364$ nel caso b) per un totale di $369$.
La probabilità perciò sarà $369/(86.336.370.120)=4.27*10^(-9)$ mentre $1/365^3=2.06*10^(-8)$.
Ergo sono diverse
.Cordialmente, Alex
P.S.:
"superpippone":
... Chissà poi perchè tutti abbiamo sempre preso sempre in considerazione 365, e non 366.....
Per non complicarci ulteriormente la vita ...
Tu non tieni conto della probabilità che un gruppetto di 5 persone sia composto in quella maniera.
Ad esempio che siano nati tutti e 5 lo stesso giorno è: $1/365^4$
Che sia 4-1 $1/365^3*364/365*5$
Che sia 3-2 $1/365^2*364/365^2*10$
Etc.....
A noi interessano solo i primi due casi.
Allora, se si verifica il 1° la probabilità è certa. Se si verifica il secondo la probabilità è $1/5$. Se si verificano gli altri, la probabilità è zero.
Perciò la probabilità da noi cercata è:
$1/365^4+1/365^3*364/365*5*1/5$
$1/365^4+364/365^4=(1+364)/365^4=365/365^4=1/365^3$
Come vedi, il risultato non cambia......
Ad esempio che siano nati tutti e 5 lo stesso giorno è: $1/365^4$
Che sia 4-1 $1/365^3*364/365*5$
Che sia 3-2 $1/365^2*364/365^2*10$
Etc.....
A noi interessano solo i primi due casi.
Allora, se si verifica il 1° la probabilità è certa. Se si verifica il secondo la probabilità è $1/5$. Se si verificano gli altri, la probabilità è zero.
Perciò la probabilità da noi cercata è:
$1/365^4+1/365^3*364/365*5*1/5$
$1/365^4+364/365^4=(1+364)/365^4=365/365^4=1/365^3$
Come vedi, il risultato non cambia......
Beh, sì che ne tengo conto, infatti ho detto che la frequenza dei diversi gruppi non è la stessa ... se (sottolineo se) ho trovato tutti i casi possibili e tutti quelli favorevoli dov'è l' errore?
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
5 persone possono essere nate in $365^5$ modi diversi.
Quando il tuo numero di casi possibili coinciderà con questo risultato, allora si potrà pensare ai casi favorevoli.....
Quando il tuo numero di casi possibili coinciderà con questo risultato, allora si potrà pensare ai casi favorevoli.....
Ricapitolo:
Tu, in pratica, hai fatto la media ponderata delle tre probabilità possibili ($100%, 20%, 0%$) usando la "fetta" percentuale che essi hanno sul totale; in teoria, anch'io ho cercato di fare la stessa cosa, contando quante fossero le occorrenze di ciascun tipo, tralasciando però un dato (per la verità l'ho omesso di proposito perché non ero convinto se dovessi utilizzarlo o meno ...): per esempio nel caso a) la situazione è unica ma il giorno in cui sono nati i cinque può essere ciascuno dei $365$; idem per il caso b), per lo stesso motivo avrei dovuto moltiplicare per $365$, ecc.
Ok, dovrei esserci ...
Cordialmente, Alex
Tu, in pratica, hai fatto la media ponderata delle tre probabilità possibili ($100%, 20%, 0%$) usando la "fetta" percentuale che essi hanno sul totale; in teoria, anch'io ho cercato di fare la stessa cosa, contando quante fossero le occorrenze di ciascun tipo, tralasciando però un dato (per la verità l'ho omesso di proposito perché non ero convinto se dovessi utilizzarlo o meno ...): per esempio nel caso a) la situazione è unica ma il giorno in cui sono nati i cinque può essere ciascuno dei $365$; idem per il caso b), per lo stesso motivo avrei dovuto moltiplicare per $365$, ecc.
Ok, dovrei esserci ...
Cordialmente, Alex
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