Gioco delle 3 scatole
Salve a tutti!
Mi sono imbattuto in un piccolo gioco di probabilità, l'ho trovato sia su un telefilm (numb3rs) che su dei quesiti dei test di ingresso alla Scuola Superiore di Catania. Esistono molte varianti. Il gioco consiste nel prendere 3 scatole, una contiene un premio e le altre 2 no. Se io scelgo una scatola ho 1/3 delle probabilità di vincere e i 2/3 di perdere e fin qui nessun dubbio.
Se una scatola delle 2 che nn ho scelto è sicuramente perdente, perchè cambiare scatola mi da i 2/3 delle probabilità di vincere anzichè 1/2?
Una volta uscita dal gioco 1 scatola ne rimangono 2 perciò avevo pensato che la probabilità fosse 1/2 ma quasi certamente non è così perchè sia nel telefilm che nel gioco vien detto che è più conveniente cambiare scatola perchè si hanno i 2/3 delle probabilità che sia quella buona...
Qualcuno può spiegarmi perchè è così?
Spero di essere stato chiaro e di non aver tralasciato nulla, ma se così non fosse sono quasi certo che sia un giochetto molto comune e perciò qualcuno potrà darmi qlk delucidazione.
Grazie a tutti coloro che risponderanno!
Mi sono imbattuto in un piccolo gioco di probabilità, l'ho trovato sia su un telefilm (numb3rs) che su dei quesiti dei test di ingresso alla Scuola Superiore di Catania. Esistono molte varianti. Il gioco consiste nel prendere 3 scatole, una contiene un premio e le altre 2 no. Se io scelgo una scatola ho 1/3 delle probabilità di vincere e i 2/3 di perdere e fin qui nessun dubbio.
Se una scatola delle 2 che nn ho scelto è sicuramente perdente, perchè cambiare scatola mi da i 2/3 delle probabilità di vincere anzichè 1/2?
Una volta uscita dal gioco 1 scatola ne rimangono 2 perciò avevo pensato che la probabilità fosse 1/2 ma quasi certamente non è così perchè sia nel telefilm che nel gioco vien detto che è più conveniente cambiare scatola perchè si hanno i 2/3 delle probabilità che sia quella buona...
Qualcuno può spiegarmi perchè è così?
Spero di essere stato chiaro e di non aver tralasciato nulla, ma se così non fosse sono quasi certo che sia un giochetto molto comune e perciò qualcuno potrà darmi qlk delucidazione.
Grazie a tutti coloro che risponderanno!
Risposte
A me sinceramente viene il contrario.Mi viene che se fai così hai 2/3 di perdere e 1/3 di vincere.
Non è comunque 1/2 perchè devi considerare anche la scelta che hai fatto prima e condizionare la tua probabilità sulla seconda scelta con quella precedente.
Probabilità di perdere= probabilità di avere scelto la prima volta una scatola che perde e cambiarla con una ancora perdente + probabilità di avere beccato la scatola giusta la prima volta e cambiare poi inesorabilmente con una scatola perdente= 2/3*1/2+1/3*1= 2/3 di perdere.
Per verificare se invece vinci vuol dire che hai scelto una sbagliata e poi la giusta cioè 2/3*1/2 = 1/3.
Dovresti cercare qualcosa sul torema di Beyes se non hai capito bene.
Non è comunque 1/2 perchè devi considerare anche la scelta che hai fatto prima e condizionare la tua probabilità sulla seconda scelta con quella precedente.
Probabilità di perdere= probabilità di avere scelto la prima volta una scatola che perde e cambiarla con una ancora perdente + probabilità di avere beccato la scatola giusta la prima volta e cambiare poi inesorabilmente con una scatola perdente= 2/3*1/2+1/3*1= 2/3 di perdere.
Per verificare se invece vinci vuol dire che hai scelto una sbagliata e poi la giusta cioè 2/3*1/2 = 1/3.
Dovresti cercare qualcosa sul torema di Beyes se non hai capito bene.
"spiritcrusher":
A me sinceramente viene il contrario.Mi viene che se fai così hai 2/3 di perdere e 1/3 di vincere.
Non è comunque 1/2 perchè devi considerare anche la scelta che hai fatto prima e condizionare la tua probabilità sulla seconda scelta con quella precedente.
Probabilità di perdere= probabilità di avere scelto la prima volta una scatola che perde e cambiarla con una ancora perdente + probabilità di avere beccato la scatola giusta la prima volta e cambiare poi inesorabilmente con una scatola perdente= 2/3*1/2+1/3*1= 2/3 di perdere.
Per verificare se invece vinci vuol dire che hai scelto una sbagliata e poi la giusta cioè 2/3*1/2 = 1/3.
Dovresti cercare qualcosa sul torema di Beyes se non hai capito bene.
Innanzi tutto grazie per la risposta, ma fortunatamente ho capito da solo. Calcolo delle probabilità a scuola mia ne abbiamo fatto davvero poco...
All'inizio avevo detto giusto ^_^ poi ho detto una cavolata
Purtroppo il teorema di Beyes nn l'ho mai studiato... è ora di studiarlo mi sa
Grazie ancora!
Sommariamente la soluzione è questa, ed è contenuta nel link di TomSawyer (grazie, è molto interessante) :
Questa è la domanda (che è la stessa cosa del problema posto da Cdr89):
Supponi di partecipare a un gioco a premi, in cui puoi scegliere tra tre porte: dietro una di esse c'è un'automobile, dietro le altre, capre. Scegli una porta, diciamo la numero 1, e il conduttore del gioco a premi, che sa cosa si nasconde dietro ciascuna porta, ne apre un'altra, diciamo la 3, rivelando una capra. Quindi ti domanda: "Vorresti scegliere la numero 2?" Ti conviene cambiare la tua scelta originale?
La soluzione può essere illustrata come segue. Ci sono tre scenari possibili, ciascuno avente probabilità 1/3:
Il giocatore sceglie la capra numero 1. Il conduttore sceglie l'altra capra. Cambiando, il giocatore vince l'auto.
Il giocatore sceglie la capra numero 2. Il conduttore sceglie l'altra capra. Cambiando, il giocatore vince l'auto.
Il giocatore sceglie l'auto. Il conduttore sceglie una capra, non importa quale. Cambiando, il giocatore trova l'altra capra.
Nei primi due scenari, cambiando il giocatore vince l'auto; nel terzo scenario il giocatore che cambia non vince. Dal momento che la strategia "cambiare" porta alla vittoria in due casi su tre, le chance di vittoria adottando la strategia sono 2/3.
Per una spiegazione + precisa visitate il link.. che io sto finendo di leggere.. Ma già questo punto mi ha chiarito tutto..
Questa è la domanda (che è la stessa cosa del problema posto da Cdr89):
Supponi di partecipare a un gioco a premi, in cui puoi scegliere tra tre porte: dietro una di esse c'è un'automobile, dietro le altre, capre. Scegli una porta, diciamo la numero 1, e il conduttore del gioco a premi, che sa cosa si nasconde dietro ciascuna porta, ne apre un'altra, diciamo la 3, rivelando una capra. Quindi ti domanda: "Vorresti scegliere la numero 2?" Ti conviene cambiare la tua scelta originale?
La soluzione può essere illustrata come segue. Ci sono tre scenari possibili, ciascuno avente probabilità 1/3:
Il giocatore sceglie la capra numero 1. Il conduttore sceglie l'altra capra. Cambiando, il giocatore vince l'auto.
Il giocatore sceglie la capra numero 2. Il conduttore sceglie l'altra capra. Cambiando, il giocatore vince l'auto.
Il giocatore sceglie l'auto. Il conduttore sceglie una capra, non importa quale. Cambiando, il giocatore trova l'altra capra.
Nei primi due scenari, cambiando il giocatore vince l'auto; nel terzo scenario il giocatore che cambia non vince. Dal momento che la strategia "cambiare" porta alla vittoria in due casi su tre, le chance di vittoria adottando la strategia sono 2/3.
Per una spiegazione + precisa visitate il link.. che io sto finendo di leggere.. Ma già questo punto mi ha chiarito tutto..
Ah ok...posto in questo modo la cosa cambia...pensavo che la scatola senza premio non fosse stata aperta....
In questo caso in effetti il giocatore vince se aveva scelto una pecora prima che l'altra pecora venisse svelata...quindi 2/3.
In questo caso in effetti il giocatore vince se aveva scelto una pecora prima che l'altra pecora venisse svelata...quindi 2/3.
Questo gioco è un ottimo esempio per mettere in luce quanto possa essere controintuitiva la statistica, e di come la psiche possa prevalere sulle capacità razionali quando si approccia, almeno in prima istanza, un problema statistico.
Infatti, basta vedere come si possa ottenere la risposta giusta in maniera immediata, solamente ponendo lo stesso problema in termini diversi.
Un esempio è il seguente.
Abbiamo sempre le tre scatole di cui una contenente un premio, e si suddividono queste scatole in due gruppi di cui, uno composto da una scatola sola, l’altro da due scatole. Se si chiede di scegliere uno dei due gruppi, chiunque sceglierebbe quello composto da due scatole, riconoscendo di avere così 2/3 di probabilità di successo. La cosa notevole è che questo scenario è esattamente equivalente a quello del problema iniziale, di fronte al quale è messa la persona alla quale viene offerta la possibilità di cambiare la scatola, dopo che una delle altre due è stata aperta e trovata vuota.
Vediamo, così, come il modo di presentare la cosa possa condizionare significativamente il giudizio, per lo meno quando si dà una risposta d’istinto.
Infatti, basta vedere come si possa ottenere la risposta giusta in maniera immediata, solamente ponendo lo stesso problema in termini diversi.
Un esempio è il seguente.
Abbiamo sempre le tre scatole di cui una contenente un premio, e si suddividono queste scatole in due gruppi di cui, uno composto da una scatola sola, l’altro da due scatole. Se si chiede di scegliere uno dei due gruppi, chiunque sceglierebbe quello composto da due scatole, riconoscendo di avere così 2/3 di probabilità di successo. La cosa notevole è che questo scenario è esattamente equivalente a quello del problema iniziale, di fronte al quale è messa la persona alla quale viene offerta la possibilità di cambiare la scatola, dopo che una delle altre due è stata aperta e trovata vuota.
Vediamo, così, come il modo di presentare la cosa possa condizionare significativamente il giudizio, per lo meno quando si dà una risposta d’istinto.
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