Gioco con i dadi
Sul sito del prof. Scoleri ho trovato un problema proposto nel settembre del 2004:
Due giocatori tirano alternativamente un dado e il gioco continua fino a quando un giocatore supera il risultato ottenuto nell'ultimo lancio dall'avversario; quando uno dei due non riesce a superare l'avversario perde la partita. In particolare se il primo giocatore ottiene un 6 nel suo primo lancio vince la partita.
Con quale probabilità vince il primo giocatore?
La soluzione pubblicata, dallo stesso autore, non mi convince. Qualcuno vuole provare a risolverlo?
Due giocatori tirano alternativamente un dado e il gioco continua fino a quando un giocatore supera il risultato ottenuto nell'ultimo lancio dall'avversario; quando uno dei due non riesce a superare l'avversario perde la partita. In particolare se il primo giocatore ottiene un 6 nel suo primo lancio vince la partita.
Con quale probabilità vince il primo giocatore?
La soluzione pubblicata, dallo stesso autore, non mi convince. Qualcuno vuole provare a risolverlo?
Risposte
provo a fare un tentativo:
Qual'è la possibilità che il giocatore 2 superi il punteggio del giocatore 1?
P(B) = (6-n)/6
dove n è l'ultimo numero uscito con il dado (ovviamente dato che ora tocca a g2 vuol
dire che è g1 che ha tirato n con il dado).
in modo analogo la possibilità che il g1 superi il punteggio del giocatore2
è:
P(A) = (6-n)/6
quindi la possibilità
che il giocatore 1 vinca è data dalla possibilità che il giocatore 2 perda
ovvero dalla p che non si verifichi B.
1 - B = 1 - (6-n)/6
Chiamo C, il valore di B complementare, va notato che n in questo caso è il lancio ottenuto dal giocatore 1.
Quindi il g1 ha una probabilità di vincere che dipende dal numero tirato.
C = 1- (6-n)/6
C = n/6
Quindi se tira 6 vince subito (e mi sembra coerente con il testo dell'esercizio).
Se tira 5 ha 5/6 probabilità di vincere.
Se tira 4 ha 4/6 probabilità di vincere.
Prima di tirare il dado ovviamente non so ancora che numero uscirà
quindi farei una bella sommatoria, sommo tutte le probabilità che si verifichi C
e divido per il numero di lanci possibili.
$(1/6)*(\sum_{k=1}^6 (k/6)) = 0,58333...$
quindi direi che il giocatore 1 ha più possibilità di vincere,
esattamente ha
21/36 possibilità di vittoria..
è giusto?
Qual'è la possibilità che il giocatore 2 superi il punteggio del giocatore 1?
P(B) = (6-n)/6
dove n è l'ultimo numero uscito con il dado (ovviamente dato che ora tocca a g2 vuol
dire che è g1 che ha tirato n con il dado).
in modo analogo la possibilità che il g1 superi il punteggio del giocatore2
è:
P(A) = (6-n)/6
quindi la possibilità
che il giocatore 1 vinca è data dalla possibilità che il giocatore 2 perda
ovvero dalla p che non si verifichi B.
1 - B = 1 - (6-n)/6
Chiamo C, il valore di B complementare, va notato che n in questo caso è il lancio ottenuto dal giocatore 1.
Quindi il g1 ha una probabilità di vincere che dipende dal numero tirato.
C = 1- (6-n)/6
C = n/6
Quindi se tira 6 vince subito (e mi sembra coerente con il testo dell'esercizio).
Se tira 5 ha 5/6 probabilità di vincere.
Se tira 4 ha 4/6 probabilità di vincere.
Prima di tirare il dado ovviamente non so ancora che numero uscirà
quindi farei una bella sommatoria, sommo tutte le probabilità che si verifichi C
e divido per il numero di lanci possibili.
$(1/6)*(\sum_{k=1}^6 (k/6)) = 0,58333...$
quindi direi che il giocatore 1 ha più possibilità di vincere,
esattamente ha
21/36 possibilità di vittoria..
è giusto?
La soluzione proposta sul sito che citavo è al link:
http://www.matefilia.it/scolerivolftp/s ... mbre04.pdf
ma invero ho qualche incertezza.
http://www.matefilia.it/scolerivolftp/s ... mbre04.pdf
ma invero ho qualche incertezza.
la mia precedente soluzione è errata.
Il risultato è (arrotondando per difetto) 0,66.
Il risultato è (arrotondando per difetto) 0,66.
La soluzione sembra essere 0,66, ma il mio dubbio è sulla prodedura usata dall'autore, che a me non è chiara. Se qualcuno ha visto il sito che ho indicato troverà anche la soluzione, vi è chiara?
bo. a me non sembra tanto chiara, mq penso di averla capita, prima di tutto l'autore inizia a trovare casi generali di cui sa cacolare la probabilità. Da solo non penso che sarei riuscito ad arrivarci.
ad esempio trova che
P(6) = 1
poi trova che
P(5) = 5/6
in particolare il terzo passaggio è fondamentale,
se il giocatore tira n=4 l'avversario ha 3 possibilità
ovvero tira 4 o di meno e in tal caso perde. (con una probabilità di 4/6)
oppure tira 5 e la partita continua
oppure tira 6 e vince la partita..
il fatto che l'avversario tiri un 5 lo mette in una condizione
gia prevista a priori ovvero P(5). (ovviamente devi mettere Y al posto di X dato che è il tiro dell'avversario.)
quindi a questo punto Y ha P(5) di vincere, mentre X ha ovviamente 1-P(5) di vincere.
Quindi fai tutta la somma:
P(4)=
4/6 probabilità di vincere per X
1/6 probabilità di vincere con probabilità 1-P(5) per X
1/6 probabilità di vincere per Y
ignoriamo la probabilità di vittoria di Y
allora quella di vittoria per X sarà (visto che P(5)=5/6):
$(4/6)+(1/6)*(1-5/6)$
quella di vittoria per Y sarà
$(1/6)+(1/6)*(5/6)$
fa lo stesso per P(3)
e ogni qual volta trova che l'avversario tira un numero 3< n <6 sostituisce quel ramo con uno gia precedentemente calcolato.
per P(2) ci sarà un altro ramo aggiuntivo e così via.
ad esempio trova che
P(6) = 1
poi trova che
P(5) = 5/6
in particolare il terzo passaggio è fondamentale,
se il giocatore tira n=4 l'avversario ha 3 possibilità
ovvero tira 4 o di meno e in tal caso perde. (con una probabilità di 4/6)
oppure tira 5 e la partita continua
oppure tira 6 e vince la partita..
il fatto che l'avversario tiri un 5 lo mette in una condizione
gia prevista a priori ovvero P(5). (ovviamente devi mettere Y al posto di X dato che è il tiro dell'avversario.)
quindi a questo punto Y ha P(5) di vincere, mentre X ha ovviamente 1-P(5) di vincere.
Quindi fai tutta la somma:
P(4)=
4/6 probabilità di vincere per X
1/6 probabilità di vincere con probabilità 1-P(5) per X
1/6 probabilità di vincere per Y
ignoriamo la probabilità di vittoria di Y
allora quella di vittoria per X sarà (visto che P(5)=5/6):
$(4/6)+(1/6)*(1-5/6)$
quella di vittoria per Y sarà
$(1/6)+(1/6)*(5/6)$
fa lo stesso per P(3)
e ogni qual volta trova che l'avversario tira un numero 3< n <6 sostituisce quel ramo con uno gia precedentemente calcolato.
per P(2) ci sarà un altro ramo aggiuntivo e così via.
La partita finisce quando uno dei due supera l'altro, quindi se uno realizza 4 e l'altro 5 vince il secondo. Mi pare quindi che se X realizza il 4, con P= 1/6, perchè vinca basta che Y realizzi 1,2,3,4 con P= 4/6. E poi così via.....
Quindi per X nel caso di uscita 4, si dovrebbe avere: (1/6)*(4/6), o no?
Quindi per X nel caso di uscita 4, si dovrebbe avere: (1/6)*(4/6), o no?
"gengo":
La partita finisce quando uno dei due supera l'altro, quindi se uno realizza 4 e l'altro 5 vince il secondo. Mi pare quindi che se X realizza il 4, con P= 1/6, perchè vinca basta che Y realizzi 1,2,3,4 con P= 4/6. E poi così via.....
Quindi per X nel caso di uscita 4, si dovrebbe avere: (1/6)*(4/6), o no?
Il testo del problema in effetti non è molto chiaro.
Io alla fine ho inteso che la partita prosegue se il successivo supera il precedente e finisce, al contrario, appena uno non riesce a superare l'altro.
Se uno realizza 4 e l'altro 5 la partita prosegue, non è finita.
Restando al tuo esempio:
Vince il primo: 4-1 o 4-2 o 4-3 o 4-4 o 4-5-6
Vince il secondo: 4-6 o 4-5-1 o 4-5-2 o 4-5-3 o 4-5-4 o 4-5-5
(ho indicato le sequenze primo giocatore-secondo giocatore-primo giocatore)
Intanto effettivamente non è chiaro il testo, perchè a me sembrava che "non appena" uno dei due supera l'altro vince. Così mi pare sia scritto. Ma veniamo al caso n=4.
Dice che X "ottiene" 4 e Y "ottiene" 5 ..... e mi pare banale che vinca Y e invece Y vincerebbe solo con P(5) e X con 1-P(5), ma X non ha già perso? non dice che si passa alla successiva fase. Ho chiesto all'autore del sito, prof. Scoleri un aiuto ma invano.
P(5) cosa è? non è la probabilità che esca 5, ma 5 non è già uscito?
Boh.
Dice che X "ottiene" 4 e Y "ottiene" 5 ..... e mi pare banale che vinca Y e invece Y vincerebbe solo con P(5) e X con 1-P(5), ma X non ha già perso? non dice che si passa alla successiva fase. Ho chiesto all'autore del sito, prof. Scoleri un aiuto ma invano.
P(5) cosa è? non è la probabilità che esca 5, ma 5 non è già uscito?
Boh.
Il testo recita
Dice che il gioco continua fintanto che un giocatore supera l'altro.
Con X=4 e Y=5 la partita continua!
Poi dice, coerentemente, che il gioco finisce quando uno non riesce a superare l'altro.
Guarda questa partita:
A:=1; B=2; A=3; B=4; A=6
Il gioco continua sempre perchè riesci sempre a superare il precedente.
Quando A ottiene l'ultimo 6 ha vinto, è inutile che B tira in quanto con nessun risultato riuscirà a fare proseguire la partita (gli occorrerebbe un numero maggiore di 6, impossibile).
La soluzione nel file che hai indicato è coerente con questa interpretazione. Perciò non ti trovi con i conti.
Due giocatori tirano alternativamente un dado e il gioco continua fino a quando un giocatore supera il risultato ottenuto nell'ultimo lancio dall'avversario; quando uno dei due non riesce a superare l'avversario perde la partita.
Dice che il gioco continua fintanto che un giocatore supera l'altro.
Con X=4 e Y=5 la partita continua!
Poi dice, coerentemente, che il gioco finisce quando uno non riesce a superare l'altro.
Guarda questa partita:
A:=1; B=2; A=3; B=4; A=6
Il gioco continua sempre perchè riesci sempre a superare il precedente.
Quando A ottiene l'ultimo 6 ha vinto, è inutile che B tira in quanto con nessun risultato riuscirà a fare proseguire la partita (gli occorrerebbe un numero maggiore di 6, impossibile).
La soluzione nel file che hai indicato è coerente con questa interpretazione. Perciò non ti trovi con i conti.
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