Giochi olimpici 2013, fase regionale
Domani mattina Gara di Febbraio. Che dite, secondo voi comincia ad emergere uno schema per i tipi di quesito più frequenti?
A suo tempo avevo notato una gran quantità di esercizi di mero calcolo combinatorio, probabilità, qualcuno abbastanza elementare di geometria, e gli immancabili quiz logici di Aldo, Berto, Carlo e Davide che dicono la verità oppure no.
Quest'anno volevo puntare già all'inizio sui dimostrativi, ma teoria dei numeri non ce n'è quasi mai (l'ultimo mi pare fosse due anni fa, "dimostrare che tutte le potenze di 3 hanno cifra delle decine pari"), per lo più sono soluzioni di equazioni a più incognite...
Ne dimentico qualcuno?
EDIT: Sono uscite le soluzioni delle prove. http://olimpiadi.dm.unibo.it/area-downloads/
A suo tempo avevo notato una gran quantità di esercizi di mero calcolo combinatorio, probabilità, qualcuno abbastanza elementare di geometria, e gli immancabili quiz logici di Aldo, Berto, Carlo e Davide che dicono la verità oppure no.
Quest'anno volevo puntare già all'inizio sui dimostrativi, ma teoria dei numeri non ce n'è quasi mai (l'ultimo mi pare fosse due anni fa, "dimostrare che tutte le potenze di 3 hanno cifra delle decine pari"), per lo più sono soluzioni di equazioni a più incognite...
Ne dimentico qualcuno?
EDIT: Sono uscite le soluzioni delle prove. http://olimpiadi.dm.unibo.it/area-downloads/
Risposte
"JPG":Le equazioni diofantee
...Ne dimentico qualcuno?
P.S.: Come risolveresti quel quesito sulle potenze di \(3\) e la parità della cifra delle decine senza fare troppi calcoli?
@j18eos
A proposito del tuo thread sulle equazioni diofantee, ricordo che alla prima gara di febbraio a cui ho partecipato al primo anno (se non erro febbraio 2002), c'era come quesito sul foglio bianco
"trovare tutti gli interi $a,b$ tali che $a^3 + b^3 =91$"
ricordo che a tentativi (ovvio) avevo trovato 2 soluzioni.
A proposito del tuo thread sulle equazioni diofantee, ricordo che alla prima gara di febbraio a cui ho partecipato al primo anno (se non erro febbraio 2002), c'era come quesito sul foglio bianco
"trovare tutti gli interi $a,b$ tali che $a^3 + b^3 =91$"
ricordo che a tentativi (ovvio) avevo trovato 2 soluzioni.
"j18eos":Le equazioni diofantee
[quote="JPG"]...Ne dimentico qualcuno?
P.S.: Come risolveresti quel quesito sulle potenze di \(3\) e la parità della cifra delle decine senza fare troppi calcoli?
[/quote]Azz, le diofantee! Maledizione, anche questa volta mi hanno fregato infatti
Il modo più semplice per le decine di $3^n$? Mi sembra per induzione e con un po' di aritmetica modulare, forse riesco a ricordarmela...
Okay, mi ricordo!
Beh, per $n=0$ ovviamente $3^0 = 1$, che ha cifra delle decine zero, e lo prendiamo per buono
Ora, assumendo che $3^n$ abbia cifra delle decine pari, consideriamo che $3^(n+1) = 3^n * 3$. Moltiplicando le cifre per 3, le decine rimangono ovviamente pari.
Sappiamo invece che le unità si ripetono a cicli di quattro (sono sempre, nell'ordine, con 1, 3, 9 e 7). Infatti:
$3^(n+4) = 3^n * 81$
$3^n * 81 -= 3^n * 1 (mod 10)$
Nel caso di 1 e di 3, moltiplicando per 3 otteniamo 3 e 9, che non ci accollano fastidiosi riporti. Per 9 e 7 invece abbiamo un riporto di 2 decine (27 e 21), e quindi come sopra. QED
Beh, per $n=0$ ovviamente $3^0 = 1$, che ha cifra delle decine zero, e lo prendiamo per buono
Ora, assumendo che $3^n$ abbia cifra delle decine pari, consideriamo che $3^(n+1) = 3^n * 3$. Moltiplicando le cifre per 3, le decine rimangono ovviamente pari.
Sappiamo invece che le unità si ripetono a cicli di quattro (sono sempre, nell'ordine, con 1, 3, 9 e 7). Infatti:
$3^(n+4) = 3^n * 81$
$3^n * 81 -= 3^n * 1 (mod 10)$
Nel caso di 1 e di 3, moltiplicando per 3 otteniamo 3 e 9, che non ci accollano fastidiosi riporti. Per 9 e 7 invece abbiamo un riporto di 2 decine (27 e 21), e quindi come sopra. QED
Basta solo mettere un pò di ordine tra i passi del ragionamento. 
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