Giochi internazionali 2014

[marmi1]

Propongo un problema dei Campionati internazionali di giochi matematici. Non sono riuscito a trovare una soluzione "rapida".
Dividendo un numero di tre cifre per 11, il risultato -esatto- della divisione è uguale alla somma dei quadrati delle tre cifre del numero di partenza.
Quali numeri soddisfano queste condizioni?
Saluti, Marmi

[Gi81]

$n=100a+10b+c$, con $a,b,c in {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}$ e $a!=0$.
Dato che $n$ è divisibile per $11$, si ha che $a-b+c$ è multiplo di $11$.
Sono possibili solo due casi: $a-b+c=0$ oppure $a-b+c=11$.

1) $b=a+c$
Si ha $n= 100a+10(a+c)+c= 110 a +11c$, da cui $n/11= 10a+c$
Inoltre $a^2+b^2+c^2= a^2+c^2+(a+c)^2= 2(a^2+c^2+ac)$

Deve valere $10a+c= 2(a^2+c^2+ac)=> 2a^2+a(2c-10)+2c^2-c=0=> 2a^2+2a(c-5)+c(2c-1)=0$
$Delta/4= (c-5)^2-2c(2c-1)= c^2-10c+25-4c^2+2c= 25-3c^2-8c$

E' accettabile solo $ c=0 $ (perchè altrimenti $Delta$ non è un quadrato perfetto)$=> 10a=2a^2=> 5a=a^2=> a=5$,
quindi ${(a=5),(b=5),(c=0):}$ cioè $n=550$(e va bene, perchè $550/11=50= 5^2+5^2+0^2$);


2) $b= a+c-11$
Come prima $n=100a+10(a+c-11)+c= 110a+11c-110$, da cui $n/11= 10a+c-10$.

Se $c$ è pari non ci sono soluzioni, perchè $a$ e $b$ hanno diversa parità e dunque $a^2+b^2+c^2$ è dispari mentre $n/11$ è pari.

Se $c$ è dispari, $n$ è uno di questi:
$319, 429, 407, 539, 517, 649, 627, 605, 759, 737, 715, 869, 847, 825, 803,979, 957, 935, 913$

Se $n$ ha almeno un $9$, deve essere almeno $81*11= 891$. Escludiamo quelli più piccoli. Rimangono
$ 407, 517, 627, 605, 737, 715, 847, 825, 803,979, 957, 935, 913$

L'unico che va bene (se non ho sbagliato i conti) è $n=803$, dal momento che $8^2+0^2+3^2= 64+0+9=73= 803/11$.

[marmi1]

Ottimo.
Forse calcolando $ Delta/4$ anche nel secondo caso la soluzione si trova piu' rapidamente.
$ a^2+b^2+c^2= a^2+c^2+(a+c-11)^2= 2(a^2+c^2+ac) +121-22a-22c=10a-10+c$

$ 2a^2+2a(c-16) +2c^2+131-23c=0$
$ Delta/4=-3c^2+14c-6$
$c $ dispari . Si vede che $c=3$

Saluti