Geometria sferica e probabilità (non troppo difficile)

[carlo232]

Un curioso problema, sia geometrico che probabilistico,

Data una sfera di raggio $r$ siano fissati a caso sulla sua superficie due punti $A$ e $B$, dato $d<=pi r$ qual è la probabilità che la distanza di $A$ e $B$ sulla sfera, cioè l'arco minimo di cerchio massimo passante per $A$ e $B$, sia $<=d$?

Ciao!

[MaMo2]

La probabilità è:
$P=(1-cos(d/r))/2$

[carlo232]

"MaMo":La probabilità è:
$P=(1-cos(d/r))/2$

devi dimostrarlo....

[mircoFN1]

Mi sa che sia un problema falso facile . Ha l'aspetto di uno di quei problemi basilari di probabilità in spazi campionari non numerabili che talvolta fregano.
Una soluzione, ma sono convinto che non è l'unica anche se forse è la più facile da ottenere, potrebbe essere questa (e non richiede la geometria sferica):
1) assumo A come polo (nord) della sfera
2) B può essere preso su un qualunque meridiano
3) mi metto sul meridiano di B
4) la distanza sul meridiano di tutti i punti validi deve essere minore di $d$
5) la latitudine è equiprobabile quindi la probabilità è $fracd(\pir)

ciao

[ficus2002]

"carlo23":
devi dimostrarlo....

assumendo per $A$ il polo nordo, affinchè la distanza di $B$ da $A$ sia minore di $d$, la quota di $B$ deve essere compresa tra $r+r cos (d/r)$ e $2r$. Quindi la probabilità è il rapporto tra a lunghezza dell'intervallo in cui la quota di $B$ può variare, cioè $(2r)-(r+r cos (d/r))$, e il dimametro $2r$.

Quindi $P=(r(1-cos (d/r)))/(2r)=(1-cos (d/r))/2$

[carlo232]

"ficus2002":[quote="carlo23"]
devi dimostrarlo....

assumendo per $A$ il polo nordo, affinchè la distanza di $B$ da $A$ sia minore di $d$, la quota di $B$ deve essere compresa tra $r+r cos (d/r)$ e $2r$. Quindi la probabilità è il rapporto tra a lunghezza dell'intervallo in cui la quota di $B$ può variare, cioè $(2r)-(r+r cos (d/r))$, e il dimametro $2r$.

Quindi $P=(r(1-cos (d/r)))/(2r)=(1-cos (d/r))/2$[/quote]

è giusto , come avevo detto non era troppo difficile.

"mirco59":Ha l'aspetto di uno di quei problemi basilari di probabilità in spazi campionari non numerabili che talvolta fregano.

La particolarità di questo tipo i problemi è proprio che si usano spazi non numerabili, quindi nei ragionamenti non si può dare un peso 1 a ogni combinazione degli elementi, si deve dargli un peso infinitesimo, si avrà quindi a che fare con lunghezze superfici e volumi.

Ciao , vedo se riesco a postare qualche problema simile più complesso...

[mircoFN1]

Ciao

OK Carlo, ma allora cosa c'è di sbagliato nella mia soluzione che è diversa e si basa sulla stessa ipotesi di equiprobabilità nel continuo?


ciao

[carlo232]

"mirco59":Ciao

OK Carlo, ma allora cosa c'è di sbagliato nella mia soluzione che è diversa e si basa sulla stessa ipotesi di equiprobabilità nel continuo?


ciao

è sbagliata la variabile che hai scelto, devi usare la quota come nelle soluzioni già proposte, è un pò difficile da spiegare se non hai un'idea delle coordinate sferiche, rileggi le dimostrazioni efai una picola ricerca sulle coordinate sferiche.

Ciao ciao!

[mircoFN1]

Credo di aver capito che il tuo metodo consiste nel fare il rapporto tra l'area della calotta (fino a $d$) e quella della sfera. Tuttavia non riesco a trovare la ragione per cui la mia scelta delle coordinate sia bagliata: Mi puoi chiarire?

Grazie

[MaMo2]

"mirco59":
......
5) la latitudine è equiprobabile quindi la probabilità è $fracd(\pir)

ciao

L'errore è questo. La latititudine non è equiprobabile in quanto la lunghezza dei paralleli è variabile.

[mircoFN1]

Grazie.
In effetti la probabilità è proporzionale alla distanza dall'asse polare (lunghezza del parallelo su cui si trova il punto generico) e quindi è chiaro il procedimento.
Il mio errore derivava dal ricordo di questo simile 'semplice' problema che vi lascio:

Data un corda qualunque AB di un cerchio, determinare la probabilità che la sua lunghezza sia maggiore del lato del triangolo equilatero inscritto.

Ciao a tutti