Geometria sfere e piani

[fu^2]

Siano dati 5 punti nello spazio non complanari e non appartenenti a una medesima superficie sferica.
Determinare il numero N di sfere e piani equidistanti dai 5 punti.

[adaBTTLS1]

a 4 a 4 non complanari o solo 5 non complanari ?

[fu^2]

solo 5 non complanari.

[adaBTTLS1]

secondo me, esiste una ed una sola sfera con le caratteristiche richieste; il piano, se esiste, è unico, ma non esiste sempre: esiste solo in due casi, cioè se quattro punti sono complanari oppure se è possibile scegliere due dei cinque punti in maniera tale che la retta da essi individuata sia parallela al piano individuato dagli altri tre (oppure ad uno dei piani passanti per i tre punti, nel caso che questi siano allineati).
le risposte sono corrette?

[fu^2]

ti dico la risposa se vuoi così sai qual'è il risultato, la sfera non è unica... dipende che figure consideri tra i punti, ma di sfere equidistanti ne possono esistere più di una. Comunque poi devi dire quanti tra piani e sfere esistono in totale.

comunque si il ragionamento di trattare prima 4+1 punti e poi 3+2 punti è giusto

il risultato a conti penso giusti è 15

[adaBTTLS1]

forse non ho capito la domanda: se io distinguo i casi, considero gruppi di cinque punti diversi.
la somma invece la posso fare se, avendo cinque punti fissi, mi costruisco più di un piano e più di una sfera considerando le posizioni dei cinque punti abbinate in maniera diversa, ma comunque tutti i piani e tutte le sferee dovranno risultare equidistanti da tutt'e cinque i punti: questo è quello che ho capito io dal quesito, ed in questo senso ho distinto due casi di possibili risposte: 1+1=2, 1+0=1.
se è diversamente, puoi riformulare il testo? grazie.

[adaBTTLS1]

sono sempre del parere che urge un chiarimento sul testo, però ho cambiato idea sui casi per quanto riguarda le sfere: non ce n'è una sola, ma possono essere 5 o 4 o infinite a seconda che:
i punti siano a 4 a 4 non complanari,
4 siano complanari e non su una stessa circonferenza,
4 appartengono ad una stessa circonferenza.

che ne pensi? ciao.

[G.D.5]

Perdonatemi, ma c'è una cosa che non capisco, come fa una sfera a essere equidistante da cinque punti, non riesco a immaginarla equidistante manco da due...

[adaBTTLS1]

quattro punti non complanari individuano una sfera. se non ti convince ciò, chiedi spiegazioni al riguardo.
una volta individuata la sfera passante per questi quattro punti, puoi considerare la sfera, concentrica alla precedente, passante per il quinto punto. la sfera che ha raggio medio tra i due è equidistante dai cinque punti.
OK? ciao.

[fu^2]

sisi tutto abbastanza corretto, ti do un ultimo spunto: per quattro punti che prendi in considerazione passa o una sfera o un piano e a seconda di quello...

[G.D.5]

"adaBTTLS":quattro punti non complanari individuano una sfera. se non ti convince ciò, chiedi spiegazioni al riguardo.
una volta individuata la sfera passante per questi quattro punti, puoi considerare la sfera, concentrica alla precedente, passante per il quinto punto. la sfera che ha raggio medio tra i due è equidistante dai cinque punti.
OK? ciao.

E se avessi solo due punti al posto di cinque e volessi trovare la sfera equidistante da questi due punti? E' possibile? Esiste e come la trovo?
Grazie per la cortesia.

[adaBTTLS1]

distanza tra un punto e una figura è la lunghezza del percorso più breve che unisce il punto al punto "più vicino" della figura. cioè è il più piccolo tra tutti i segmenti che hanno per estremi il punto ed i vari punti della figura.

tutte le sfere che hanno il centro nel piano equidistante dai due punti sono equidistanti dai due punti. qual è il piano equidistante penso che tu lo sappia.

è chiaro? ciao.

[G.D.5]

OK. Chiaro. Come sempre. Grazie mille.

[adaBTTLS1]

prego!

[adaBTTLS1]

continuo a non avere idea di come tu possa ottenere 15 sommando sfere e piani...
il caso più "numeroso" ma finito che sono riuscita a trovare è quello dei cinque punti disposti ai vertici di un parallelepipedo in questo modo: in un vertice, nei tre vertici adiacenti e nel vertice opposto (al primo): in questo caso dovrebbe essere N=8 (cinque sfere e tre piani).... ma veniamo ai vari casi:
tre punti allineati e gli altri due su una retta sghemba rispetto alla precedente (se non fosse sghemba i cinque punti sarebbero complanari): N=4 (3s+1p)
quattro punti complanari (ma non sulla stessa circonferenza) ed il quinto esterno al piano: N=5 (4s+1p)
punti a 4 a 4 non complanari: in tal caso le sfere sono cinque, i piani uno per ogni disposizione tale che due di essi formano una retta parallela al piano individuato dagli altri tre: N=5, 6, 7, 8 (5s+?p): caso limite, N=8 (già descritto).
quattro punti appartenenti ad una stessa circonferenza ed il quinto punto esterno al piano di essa: in tal caso il piano è 1, ma le sfere sono infinite: N=$oo$ ?
che ne pensi? puoi postare la tua soluzione completa? l'ultimo tuo suggerimento mi era sfuggito... ciao.

[fu^2]

"adaBTTLS":continuo a non avere idea di come tu possa ottenere 15 sommando sfere e piani...
il caso più "numeroso" ma finito che sono riuscita a trovare è quello dei cinque punti disposti ai vertici di un parallelepipedo in questo modo: in un vertice, nei tre vertici adiacenti e nel vertice opposto (al primo): in questo caso dovrebbe essere N=8 (cinque sfere e tre piani).... ma veniamo ai vari casi:
tre punti allineati e gli altri due su una retta sghemba rispetto alla precedente (se non fosse sghemba i cinque punti sarebbero complanari): N=4 (3s+1p)
quattro punti complanari (ma non sulla stessa circonferenza) ed il quinto esterno al piano: N=5 (4s+1p)
punti a 4 a 4 non complanari: in tal caso le sfere sono cinque, i piani uno per ogni disposizione tale che due di essi formano una retta parallela al piano individuato dagli altri tre: N=5, 6, 7, 8 (5s+?p): caso limite, N=8 (già descritto).
quattro punti appartenenti ad una stessa circonferenza ed il quinto punto esterno al piano di essa: in tal caso il piano è 1, ma le sfere sono infinite: N=$oo$ ?
che ne pensi? puoi postare la tua soluzione completa? l'ultimo tuo suggerimento mi era sfuggito... ciao.

questo esercizio l'ho trovato effettivamente tra degli esercizi di calcolo combinatorio, parto per 5 giorni, quindi lascio la traccia della soluzione senza possibilità di parlarne

perchè dici alla fine che le sfere sono infinite? non è vero se 4 punti sono su una circonferenza e il quinto è esterno... la circonferenza dovrebbe esistere ed essere unica (che è l'unica che si può collocale in maniere equidistante da tutti i punti nel tetraedro in generale non regolare che i cinque punti creano; quindi esistono 4 faccie triangolari:su ognuna di esse esiste una mediana quindi hai trovato 4 punti che sono equidistanti ognuno da tre punti, bene ora considera la sfera che ci passa per quei tre punti... esiste ed è unica e risponde alle esigenze cercate).
Il piano in questa situazione equidistante dai 5 punti non esiste (o almeno spiegami quale sceglieresti). Se invece per i quattro punti passa un piano e non una sfera, la situazione è ribaltata cioè esiste il piano ma non la sfera.

questo ragionamento lo puoi fare su ogni insieme da quattro punti, quindi tra le sfere e piani che si possono ottenere sono al più combinazioni di 4+1 punti cioè ($((5),(4))=5$)

Ora questo discorso però lo puoi fare con le coppie di 3+2 punti e ci sono due casi da distinguere: mettiamo che per i tre punti presi passi un piano, bene se per gli altri due punti passa una retta parallela al piano allora esiste un unico piano equistante, se invece la retta interseca il piano esiste un'unica sfera (indovina quale...)
quindi questo discorso lo puoi fare con ogni combinazione di 3+2 quindi piani e sfere sono in totale $((5),(3))=10$.

in totale hai al più 15 tra piani e sfere che esistono.

Per i sottocasi più degeneri basta rigirare, ma l'idea rimane sempre questa del caso più numeroso con opportune modifiche.

ps spero di non avere detto scemenze, dimmi cosa ne pensi così se ne può discutere, tra 5 giorni

ciao!

[adaBTTLS1]

sul 5 come risultato del coefficiente binomiale sono perfettamente d'accordo (nel caso in cui 4 punti siano complanari esiste un piano..., nel caso in cui siano non complanari esiste una sfera...), sul 10 decisamente no: presupporrebbe che comunque scegli tre punti, i rimanenti due formano una retta parallela al piano (o a uno dei piani nel caso i primi tre siano allineati) individuato dai primi tre...?...
quanto al caso particolare infinito, è abbastanza evidente: se esiste una circonferenza passante per quattro punti, esistono infinite superfici sferiche aventi tale circonferenza come sezione piana. per ognuna di esse, si può ripetere il ragionamento fatto per i quattro punti non complanari e per il quinto punto...
anch'io penso di assentarmi prossimamente per qualche giorno. quindi forse ci risentiremo un po' più in là.
ciao.

[adaBTTLS1]

forse mi è venuto in mente il ragionamento che porta a "fare 5+10=15", anche se ho parecchie perplessità.
aggiungo queste riflessioni per ripercorrere quella che mi pare l'idea dell'autore, con le cose che non mi convincono:

scelgo 4 dei 5 punti a caso (posso farlo in 5 modi):
allora, se i quattro punti sono complanari (non possono essere tutti allineati, altrimenti i 5 punti sarebbero complanari), prendo il piano, parallelo al precedente, passante per il quinto punto: esiste ed è unico il piano equidistante dai due piani paralleli;
altrimenti, se i quattro punti non sono complanari, prendo la superficie sferica che passa per i quattro punti e la superficie sferica, concentrica alla precedente, che passa per il quinto punto. esisterà una ed una sola superficie sferica equidistante dalle due superfici sferiche concentriche.

scelgo poi 3 dei 5 punti a caso (posso farlo in 10 modi):
allora, se questi tre punti sono allineati, la retta individuata da essi dovrà essere sghemba rispetto alla retta individuata dai due punti rimanenti (perché altrimenti i 5 punti sarebbero complanari). basta prendere il piano passante per i primi tre punti e parallelo alla retta individuata dagli altri due, prendere inoltre il piano parallelo a questo e passante per la retta dei due punti: esisterà uno ed un solo piano equidistante dai due piani paralleli;
altrimenti, se i primi tre punti non sono allineati, allora essi individuano uno ed un solo piano ed anche una ed una sola circonferenza. distinguiamo due casi:

se i rimanenti due punti formano una retta parallela al piano individuato dai primi tre, allora, analogamente al caso precedente, basta prendere il piano parallelo al precedente e passante per la retta degli ultimi due punti: esisterà uno ed un solo piano equidistante dai due piani paralleli;

se invece la retta individuata dai restanti due punti non è parallela al piano, allora possiamo considerare:
la retta passante per il centro della circonferenza individuata dai primi tre punti e perpendicolare al piano stesso, e il piano equidistante dai restanti due punti;
il punto d'intersezione certamente esiste, perché il piano equidistante dai due punti è perpendicolare alla retta stessa, e quindi non può essere parallelo all'altra retta che abbiamo preso in considerazione: possiamo prendere le superfici sferiche che hanno come centro tale punto, una passante per i primi tre, ed una passante per gli altri due; esisterà una ed una sola superficie sferica equidistante dalle due superfici sferiche concentriche.


sicuramente l'autore si è fermato qui. però, per fermarsi qui, nel testo si dovrebbero escludere i casi particolari che non rispettano la precedente trattazione, o che, pur rispettandola, sono costruiti in maniera tale che alcune sfere o alcuni piani coincidano.
inoltre così non è contemplato il caso particolare che porta ad un numero infinito di soluzioni (quello trovato da me, ma non escludo che potrebbero anche esserci altri casi particolari).

nel caso di quattro punti complanari, si è partiti con la "certezza" dell'esistenza di un piano equidistante e si è esclusa la "possibilità" dell'esistenza di una sfera. in realtà, se i quattro punti sono i vertici di un quadrilatero non inscrivibile in una circonferenza, può essere escluso che possa esistere una superficie sferica che passa per i quattro punti, ma nel caso che il quadrilatero sia inscrivibile in una circonferenza, addirittura, esistono infinite superfici sferiche che passano per i quattro punti...

spero di essere stata chiara, ed anche esauriente.
a risentirci. ciao.

[fu^2]

buon giorno, rieccomi qua

noto con piacere che hai dato una bella spiegazione, mi piace!

stavo pensando all'ultimo punto e ho pensato che sostituendo l'ipotesi di 5 punti non complanari con l'ipotesi 5 punti non complanari 4 a 4 questo ultimo caso particolare si elimina, cioè si ha sempre una situazione dove esiste una sfera almeno così si tolgono alcuni casi particolari e il risultato generale massimo è più conforme con la mia (e tua ultima) soluzione, cosa ne pensi?

ciao

[adaBTTLS1]

"adaBTTLS":a 4 a 4 non complanari o solo 5 non complanari ?

grazie per i complimenti. mi faccio risentire dopo un po'.
penso, effettivamente, che l'autore, dicendo non complanari, se ha pensato di fare 5+10=15, avesse in mente "a 4 a 4 non complanari".
così dovrebbe funzionare. ciao.