Geometria e probabilità
Dato un poligono regolare di 40 lati, qual'è la probabilità, prendendo 3 vertici a caso, di costruire al suo interno un triangolo rettangolo?
Risposte
Praticamente andrebbe calcolata la probabilità che 2 dei 3 vertici siano diametralmente opposti.
$((40*38*2)/(3!))/(((40),(3))) ≈ 0.052$
puo' essere?
puo' essere?
"laura.todisco":
Praticamente andrebbe calcolata la probabilità che 2 dei 3 vertici siano diametralmente opposti.
ok, quindi prendendo il primo vertice a caso, il secondo ha la probabilità di $1/39$ di essere diametralmente opposto, il terzo vertice è uno qualsiasi, quindi il totale è $1/39$?
ripensandoci penso che sia $40*38*3$ e non $40*38*2$ dunque $((40*38*3)/(3!))/(((40),(3))) = 3/39 = 1 /13$
seguendo il tuo ragionamento penso che $1/39$ sia solo la probabilita' che il secondo sia diametricalmente opposto al primo, penso vada sommata la prob. che il primo sia diametricalmente opposto al terzo e che il secondo lo sia al terzo
ma potrei benissimo sbagliarmi
seguendo il tuo ragionamento penso che $1/39$ sia solo la probabilita' che il secondo sia diametricalmente opposto al primo, penso vada sommata la prob. che il primo sia diametricalmente opposto al terzo e che il secondo lo sia al terzo
ma potrei benissimo sbagliarmi
Condizione necessaria e sufficiente affinchè i tre vertici scelti formino un triangolo rettangolo è che due vertici siano diametralmente opposti.
Scelto un vertice, la probabilità che il secondo sia diametralmente opposto è $1/39$.
Scelto il secondo vertice, adesso tutti i restanti $38$ vanno bene, quindi la probabilità dovrebbe essere $1/39$.
NB: questo procedimento è giusto sse si pone che non è possibile scegliere due o più volte lo stesso vertice.
Scelto un vertice, la probabilità che il secondo sia diametralmente opposto è $1/39$.
Scelto il secondo vertice, adesso tutti i restanti $38$ vanno bene, quindi la probabilità dovrebbe essere $1/39$.
NB: questo procedimento è giusto sse si pone che non è possibile scegliere due o più volte lo stesso vertice.
non mi e' chiara una cosa: ma allora se io volessi la probabilita' di avere solo i primi due diametralmente opposti, quale sarebbe? perche' con questo procedimento dai comunque un ordinamento sui tre vertici, no?
"giuseppe87x":
Condizione necessaria e sufficiente affinchè i tre vertici scelti formino un triangolo rettangolo è che due vertici siano diametralmente opposti.
Scelto un vertice, la probabilità che il secondo sia diametralmente opposto è $1/39$.
Scelto il secondo vertice, adesso tutti i restanti $38$ vanno bene, quindi la probabilità dovrebbe essere $1/39$.
NB: questo procedimento è giusto sse si pone che non è possibile scegliere due o più volte lo stesso vertice.
La probabilità, come detto da Vl4d, è 1/13.
Scelto un vertice si ha 1/39 che il secondo sia diametralmente opposto. Se il secondo non è opposto al primo (38 volte su 39) si hanno ancora 2 possibilità su 38 che il terzo vertice sia opposto al primo o al secondo.
La probabilità totale è perciò:
$p=1/39+38/39*2/38=1/39+2/39=1/13$.
"MaMo":
Se il secondo non è opposto al primo (38 volte su 39) si hanno ancora 2 possibilità su 38 che il terzo vertice sia opposto al primo o al secondo.
Avevo trascurato questo dettaglio
scusate ma io la imposterei diversamente.
Fissato il primo vertice, per fare in modo che il secondo o il terzo siano diametralmente opposti al primo abbiamo una probabilità di $1/39$, poi che l'altro vertice nn lo sia è ovvio, nn si possono mica sovrapporre...
per cui secondo me l'unica cosa che conta è che uno dei vertici sia opposto, per cui 1 volta su 39. Se il secondo non è opposto al primo, lo si può prendere qualsiasi, e quindi il nostro "secondo vertice" diventa il terzo considerato nell'altro ragionamento...
Fissato il primo vertice, per fare in modo che il secondo o il terzo siano diametralmente opposti al primo abbiamo una probabilità di $1/39$, poi che l'altro vertice nn lo sia è ovvio, nn si possono mica sovrapporre...
per cui secondo me l'unica cosa che conta è che uno dei vertici sia opposto, per cui 1 volta su 39. Se il secondo non è opposto al primo, lo si può prendere qualsiasi, e quindi il nostro "secondo vertice" diventa il terzo considerato nell'altro ragionamento...
nel tuo ragionamento cosa succede se invece di avere il secondo diametralmente opposto al primo hai il terzo? tu non prendi in considerazione questo caso.
qual'e' la probabilita' di avere il primo diametricalmente opposto al secondo? e il secondo al terzo? e il primo al terzo? e' sempre 1/39. ma e' l'unione di questi tre eventi disgiunti che forma l'evento: "due dei tre nodi sono diametricalmente opposti"
tutto questo amenoche' io mi sbagli
qual'e' la probabilita' di avere il primo diametricalmente opposto al secondo? e il secondo al terzo? e il primo al terzo? e' sempre 1/39. ma e' l'unione di questi tre eventi disgiunti che forma l'evento: "due dei tre nodi sono diametricalmente opposti"
tutto questo amenoche' io mi sbagli
"vl4d":
nel tuo ragionamento cosa succede se invece di avere il secondo diametralmente opposto al primo hai il terzo? tu non prendi in considerazione questo caso.
qual'e' la probabilita' di avere il primo diametricalmente opposto al secondo? e il secondo al terzo? e il primo al terzo? e' sempre 1/39. ma e' l'unione di questi tre eventi disgiunti che forma l'evento: "due dei tre nodi sono diametricalmente opposti"
tutto questo amenoche' io mi sbagli
capito ma tu puoi ripetere questo ragionamento prendendo in considerazione come primo vertice ogni volta un vertice diverso. Cosicchè quando avrai preso in considerazione tutti i vertici e tutti i possibili accoppiamenti avrai dei ragionamenti ridondanti per vertici diversi.
Per esempio se per primo prendo il vertice A, per secondo B e per terzo C faccio un ragionamento, se prendo per primo C, secondo A e terzo B ne faccio un altro, ma cmq sia ho dei casi in comune, che essendo ridondanti non si sommano.
Non so se mi sono spiegato...
avrai dei ragionamenti ridondanti per vertici diversi
ammesso che abbia capito quello che dici, no. avrai solo trattato lo stesso problema da un altro punto di vista, comunque equivalente. perche' dovresti sommare le probabilita' dei vari punti di vista?
"vl4d":avrai dei ragionamenti ridondanti per vertici diversi
ammesso che abbia capito quello che dici, no. avrai solo trattato lo stesso problema da un altro punto di vista, comunque equivalente. perche' dovresti sommare le probabilita' dei vari punti di vista?
appunto...nn si dovrebbero sommare, e la risposta sarebbe univoca...visto che per ogni vertice c'è la possibilità di $1/39$ di trovarne uno opposto a se stesso, mi sembra più semplice dire che quindi la probabilità totale è di $1/39$...nn capisco dove sta l'errore nel mio ragionamento...
allora ti rifaccio questa domanda,pero' prova a rispondere: se la probabilita' che due(qualsiasi) dei tre vertici siano diametralmente opposti e' $1/39$ (come sostieni), qual'e' la probabilita' che _solo_ il primo e il secondo lo siano?
secondo me è sempre $1/39$ perchè non importa quali vertici si prendano, l'importante è che siano uno diametralmente opposto all'altro...e perchè se lo sono il primo e il secondo, il terzo non può esserlo al primo altrimenti sarebbe sovrapposto al secondo.
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