Gara 2006, quesito 4: piove! - Precisazioni?

[tony19]

1) quando si chiede che la goccia più centrale sia a distanza x dal centro si intende esattamente x ? (e l'altra, esattamente x+y?)

2) nella dannata ipotesi che le gocce alla distanza x siano più d'una e che la successiva sia a x+y, come va intesa la seconda parte del quesito?
2a) come "seconda" goccia si considera una di quelle a "x", ignorando quindi quella ad "x+y"
oppure
2b) le "doppie" ad "x" non contano e come "seconda" si considera quella ad "x+y"

grazie degli eventuali chiarimenti

tony

[Cheguevilla]

Se il primo punto è "esattamente", il quesito è bello che risolto...

[Thomas16]

visto che pare divertente... e poi cose vuol dire la "componente radiale" della distanza tra la prima goccia e la seconda???

[_luca.barletta]

Cerco di rispondere a tutto:

premessa: la soluzione deve essere data come densità di probabilità, e questo potrebbe già implicitamente rispondere ai quesiti posti da tony. Comunque, tenete conto che la probabilità che in un pezzo infinitesimo di superficie cada più di una goccia è un infinitesimo di ordine superiore...
Quindi non rispondete P(D=x)=0...

Per il quesito sollevato da Thomas: per trovare la componente radiale della distanza tra le due gocce è sufficiente tracciare le circonferenze concentriche col tavolino e passanti per le due gocce; la componente radiale è la differenza tra i raggi delle due circonferenze così trovate.

[Thomas16]

Grazie luca... visto che sei stato così gentile vorrai sciogliere anche quest'altro mio dubbio... ti faccio domande perchè il quesito mi piace ... sarà l' (apparente) inutilità di certe materie che ogni tanto mi fa apprezzare qualche quesito un pò più pratico

cosa si intede per "densità di pioggia per unità di superficie?" Io la interpreto come: "numero di gocce sul tavolo/area tavolo". In tal caso d non può assumere valori a piacere visto che il numero di gocce è intero, right?

In tal caso la domanda sulla probabilità è riferita a quando sul tavolo ci sono abbastanza gocce per creare la "densità" "d"! Right??

Prometto che era l'ultima domanda... anche perchè il testo del problema è finito

[_luca.barletta]

Sì, per densità intendo il rapporto tra numero di gocce cadute e area. Questo non vuol dire che d assume solo valori discreti. d rimane un parametro del quesito, non c'è nessuna gabola su quello. La soluzione, evidentemente, sarà funzione anche del parametro d.
Insomma per non rendere il quesito senza senso puoi assumere pure che d>0.

sarà l' (apparente) inutilità di certe materie che ogni tanto mi fa apprezzare qualche quesito un pò più pratico

in effetti l'inutilità del calcolo probabilistico è solo apparente; il lato pratico del quesito: per uno che non ha voglia di asciugare il tavolino, può calcolarsi mediamente di quali dimensioni dovrebbe essere un centrotavola per non bagnarsi.

[tony19]

grazie per le precisazioni, luca.
mi resta un dubbio, puramente accademico:
la tua frase

"luca.barletta":... la probabilità che in un pezzo infinitesimo di superficie cada più di una goccia è un infinitesimo di ordine superiore...

è veramente corretta?

tony

[_luca.barletta]

Vale la seguente:

$P[N(deltas)>1]=o(deltas)$

ovvero la probabilità che cada più di una goccia nell'elemento infinitesimo di superficie $deltas$ è un o piccolo di $deltas$; questo per formalizzare in modo chiaro e univoco.

[Cheguevilla]

Luca, ho capito, ma il problema è che il testo chiede la probabilità che la distanza di un punto da un'altro sia x.
Non riesco a capire come possa essere diversa da zero questa probabilità.
Cioè, chiedere che la distanza tra una goccia e il centro significa prendere un valore preciso all'interno di uno spazio campionario continuo.
Per me, questa probabilità continua a restare 0.

[_luca.barletta]

se ti dà fastidio il termine probabilità, allora calcola la densità di probabilità della distanza del primo punto dall'origine e distanza tra primo punto e secondo punto (componente radiale).

[_luca.barletta]

Una cosa che può essere fraintesa dal testo: "minima distanza x" è da interpretare come "distanza x" e non tutte le distanze $x+r$ con $0

Cita

Segnala

[_luca.barletta]

La data di scadenza per presentare la risposta al quesito è slittata al 30/09.

[mircoFN1]

Caro Luca

vista la situazione (fraintendimenti e precisazioni) e considerando anche lo slittamento dei termini, posso consigliarti di riformulare l'esercizio in modo da fugare i problemi interpretativi?

ciao e grazie

[_luca.barletta]

Formulazione "unambiguous" del quesito:
consideriamo le distanze $X_i$ per $i>0$ delle gocce dal centro del tavolino, ordinate in ordine crescente, quindi $X_1$ è la goccia più vicina al centro del tavolino, $X_0$ identifica la distanza del centro del tavolino con sè stesso. Considerando:
$Y_1 = X_1-X_0$
$Y_2 = X_2-X_1$

Calcolare:
$f_(Y1,Y2)(Y1,Y2)$
come distribuzione di probabilità

[tony19]

scusa, Luca, ma sono disorientato:
mi pare che il quesito originale richiedesse DUE risultati:
la p della prima goccia in x: f1(x)
la p della seconda goccia in y assumendo che la prima sia in x: f2(x,y)

ora mi sembra che tu chieda un unico risultato
interpreto male?

inoltre, le soluzioni devono essere "in forma chiusa"?

grazie

tony

[_luca.barletta]

In realtà dal testo non era chiaro che si chiedesse una ddp, oltretutto congiunta delle due variabili casuali; comunque tengo per buona anche la soluzione con solo le ddp delle marginali, basta che il ragionamento sia corretto.

Le soluzioni devono essere in forma chiusa.

[MaMo2]

"luca.barletta":Sì, per densità intendo il rapporto tra numero di gocce cadute e area. Questo non vuol dire che d assume solo valori discreti. d rimane un parametro del quesito, non c'è nessuna gabola su quello. La soluzione, evidentemente, sarà funzione anche del parametro d.
Insomma per non rendere il quesito senza senso puoi assumere pure che d>0.
....

Questa precisazione non mi è chiara. Riformulo la domanda di Thomas.
Visto che il numero di gocce cadute sul tavolo è un numero intero si deve dare per scontato che anche $d*pi*r^2$ sia intero o bisogna ricorrere a funzioni particolari tipo "parte intera", "intero più vicino" ecc.

[_luca.barletta]

No, non perdetevi dietro funzioni di troncamento, rounding, ecc... la densità superficiale di pioggia è funzione dell'intensità di precipitazione, quindi è data a priori, dopo studi statistici. d può rappresentare una densità media in un certo periodo dell'anno.

[MaMo2]

Visto che il quesito è scaduto da un po' di tempo e non ho ricevuto alcuna risposta vorrei confrontare la mia soluzione con quella trovata dagli altri concorrenti.
Io ho ottenuto una densità di probabilità data da:

$P(x)=2*pi*d*x*e^(-pi*d*x^2)$

[_luca.barletta]

non ci si spazientisca, le correzioni sono work in progress.

[Thomas16]

non sarebbe ora di pubblicare la soluzione??? .... tra poco è Natale!!!!!!.................. e siamo tutti più buoni....