Funzione Omega
La funzione aritmetica $Omega(n)$ è definita come segue
$Omega(n)=sum_{p^alpha ||n} alpha$
dove la variabile $p$ è sempre un numero primo.
Calcolare $sum_{n=1}^infty {(-1)^(Omega(n))}/n$
Ciao Ciao
$Omega(n)=sum_{p^alpha ||n} alpha$
dove la variabile $p$ è sempre un numero primo.
Calcolare $sum_{n=1}^infty {(-1)^(Omega(n))}/n$
Ciao Ciao
Risposte
Non vorrei sbagliarmi ma credo sia 0. Essendo la funzione di Liouville $lambda(n)=(-1)^(Omega(n))$ è legata alla funzione Zeta di Riemann, da questa relazione: $(zeta(2s))/(zeta(s))=sum_{n=1}^{+oo}(lambda(n))/(n^s)$. Nel nostro caso abbiamo $s=1$, e quindi si ottiene: $(zeta(2))/(zeta(1))=sum_{n=1}^{+oo}(lambda(n))/n rarr 0=sum_{n=1}^{+oo}(lambda(n))/n$.
Ciao!
Ciao!
oddio... c'ho le vertigini...
"ubermensch":
oddio... c'ho le vertigini...
Perchè?
la Zeta di Riemann... io so sensibile a ste cose...
"leonardo":
Non vorrei sbagliarmi ma credo sia 0. Essendo la funzione di Liouville $lambda(n)=(-1)^(Omega(n))$ è legata alla funzione Zeta di Riemann, da questa relazione: $(zeta(2s))/(zeta(s))=sum_{n=1}^{+oo}(lambda(n))/(n^s)$. Nel nostro caso abbiamo $s=1$, e quindi si ottiene: $(zeta(2))/(zeta(1))=sum_{n=1}^{+oo}(lambda(n))/n rarr 0=sum_{n=1}^{+oo}(lambda(n))/n$.
Ciao!
Non sbagli, è $0$. Simpatico no? Per questo lo postato.
Ciao Ciao
PS solo una cosa, magari dimostrare $(zeta(2s))/(zeta(s))=sum_{n=1}^{+oo}(lambda(n))/(n^s)$?
"carlo23":
PS solo una cosa, magari dimostrare $(zeta(2s))/(zeta(s))=sum_{n=1}^{+oo}(lambda(n))/(n^s)$?
vabbeh,
Abbiamo per il prodotto di Eulero
$zeta(s)=prod_p 1/(1-p^(-s))$
quindi
$(zeta(2s))/(zeta(s))=prod_p 1/(1+p^(-s))=prod_p (1-p+p^2-p^3+p^4-...)=sum_{n=1}^{+oo}(lambda(n))/(n^s) $
Scusate la mia immensa ignoranza, ma cosa sono le funzioni di Liouville e la funzione Zeta di Riemann? Possono entrare nell'esame di maturità?
"Salamandra":
Scusate la mia immensa ignoranza, ma cosa sono le funzioni di Liouville e la funzione Zeta di Riemann? Possono entrare nell'esame di maturità?
ma no!!!
stai tranquillo/a....non stare qui a guardare cosa fanno questi "malati" 
Al massimo se cerchi qualcosa guarda nel forum medie e superiori!
"Salamandra":
Scusate la mia immensa ignoranza, ma cosa sono le funzioni di Liouville e la funzione Zeta di Riemann? Possono entrare nell'esame di maturità?
La funzione Zeta di riemann è definita come
$zeta(s)=sum_(n=1)^infty 1/(n^s)$
essendo ogni numero fattorizzabile in modo unico a meno dell'ordine dei fattori nel prodotto di numeri primi, teorema fondamentale dell'aritmetica, si ha
$zeta(s)=prod_p (1+1/(p^s)+1/(p^(2s))+1/(p^(3s))+...) = prod_p 1/(1-p^(-s))$
dove il prodotto è esteso a tutti e soli i numeri primi $p$. Questa funzione ha una grande importanza in Teoria dei Numeri poichè permette di trattare il problema della distribuzione dei numeri primi con metodi analitici, per $s=1$ abbiamo
$zeta(1)=1+1/2+1/3+1/4+...=2/(2-1) 3/(3-1) 5/(5-1) ...=infty$
dove il membro destro è la famosa serie armonica divergente, per cui segue che esistono infiniti numeri primi.
è possibile calcolare i valori di $zeta(2n)$ per $n$ intero in termini di potenze di $pi$ es $zeta(2)=(pi^2)/6$, invece il calcolo di $zeta(2n+1)$ non è affrontabile con lo stesso metodo.
Ciao Ciao
Grazie mille, tiro un gran sospiro di sollievo.
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