From here to eternity ...

[axpgn]

A quanto ammonta la somma di tutte le cifre di tutti gli interi da $1$ a $1.000.000.000$ ?

Cordialmente, Alex

[Дэвид1]

Ero contento perché finalmente conoscevo la risposta a questa domanda, dopo un po' di tempo che studio per le OliMat e continuo ad andare miseramente nelle simulazioni. Ma no, nemmeno questa volta. È la somma delle cifre. Non degli interi!

Questo problema però si approccia definendo caso a caso vero? Si potrebbe contare la somma delle cifre dei numeri da 1 cifra, e sommarla per ogni caso aggiungendo la possibile seconda cifra, poi sommare tutte quelle aggiungendo un'altra cifra...
Ad esempio conosco $0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45$, per passare alle due cifre ottenendo i nuovi numeri da $10$ a $99$. Noto che le decine (seconda cifra $0$) contano da sole, quindi:
\[
\begin{aligned}
&(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9)+\\
&+(10+11+12+13+14+15+16+17+18+19)\\
&=2(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9)
\end{aligned}
\]
Gli altri numeri sono tutte le possibilità di accoppiare cifre da $1$ a $9$...
Dovrei capire se:
1) È una buona strada
2) diventa facile "aggiungere una nuova cifra" in modo di arrivare rapidamente applicando la formula ancora e ancora fino ad arrivare a quel numerone.
Curiosità: si potrebbe trovare una formula che dato $n$ trova la somma delle cifre di tutti gli interi?
Mi prende questo problema.

[orsoulx]

$ 45 \cdot 9 \cdot 10^8 +1=40500000001 $

Ciao
B.

[veciorik]

$1+111.111.111*45=4.999.999.996$

[axpgn]

@orsoulx
Bene.

Metodo usato?


@veciorik
No.

@David
Premesso che non sono sicuro di aver compreso il tuo metodo, sommare le cifre delle unità e poi quelle delle decine e così via è un metodo che può funzionare ma è lungo ed è facile sbagliare ...

Cordialmente, Alex

[nino_12]

1 - 9 ---->45*1

1 - 99 -----> 45*20

1 - 999 -----> 45*300

1 - 9.999 -----> 45*4.000

1 - 99.999 -----> 45*50.000

1 - 999.999 -----> 45*600.000

1 - 9.999.999 -----> 45*7.000.000

1 - 99.999.999 -----> 45*80.000.000

1 - 999.999.999 -----> 45*900.000.000

1 - 1.000.000.000 -----> 1 + 45*900.000.000 = 40.500.000.001

Ciao
Nino

[orsoulx]

"axpgn": Metodo usato?

Non mi sarei aspettato questa richiesta, visto che avevo pure indicato l'impostazione del calcolo. E allora generalizziamo.
In una base di numerazione $ b $ qualsiasi, quanto vale $ S(b,n) $ la somma delle cifre occorrenti per scrivere i $ b^n $ numeri dell'intervallo $ [0, b^n-1] $ ?

Aggiungendo l'opportuno numero di zeri iniziali, possiamo pensare ai $ b^n $ numeri come stringhe di lunghezza $ n $ corrispondenti alle disposizioni con ripetizione dei $ b $ simboli (le cifre). In ciascuna delle $ n $ posizioni ogni cifra comparirà esattamente $ b^n/b $ volte, e allora visto che la somma delle $ b $ cifre $ [0, b-1] $ è $ frac {b(b-1)} 2 $, sarà $ S(b,n)= frac {b(b-1)} 2 n b^{n-1}=frac 1 2 b^n(b-1)n $

Ciao
B.

[axpgn]

L'ho capito quando ho visto i numeri di nino, ma non dai tuoi ... che vuoi farci ...
Comunque era il calcolo che avevo fatto inizialmente (ma senza usare la combinatoria, non mi viene spontaneo ... ), però poi ho trovato un metodo più "furbo" (va beh, questo lo dico io, perdonamelo ... )

Possiamo accoppiare i numeri così $999.999.999$ e $0$, $999.999.998$ e $1$, $999.999.997$ e $2$, ...
In ognuna di queste coppie la somma delle cifre fa $81$, ci sono mezzo miliardo di coppie, perciò il totale è quaranta miliardi e mezzo più uno ...

Cordialmente, Alex