Frazione continua

[carlo232]

Dimostrare che data una successione $(a_n)_{n in N^0}$ si ha

$1/(1+x/(a_1-x+{a_1x}/(a_2-x+{a_2x}/(a_3-x+{a_3x}/(a_4-x+...)))))=1+sum_{n=1}^infty {(-1)^nx^n}/{a_1a_2a_3...a_{n-1}a_n}$

ovviamente sotto le condizioni di convergenza della serie a destra

Ciao Ciao

[eafkuor1]

Ah! Il tempo, il tempo!!! Appena posso provo a dimostrarlo

[carlo232]

"eafkuor":Ah! Il tempo, il tempo!!! Appena posso provo a dimostrarlo

Intanto mostro un elegante caso particolare con $x=1$ e $a_n=n$ si ricava

$e=2+2/(2+3/(3+4/(4+5/(5+6/(6+...)))))$

[carlo232]

Allora, faccio che postare la mia dimostrazione, il problema non è poi così difficile basta prenderlo per il verso giusto.

Sia $t_n=a_{n+1}-x+{a_{n+1} x}/{t_{n+1}}$

Allora possiamo scrivere

$1/(1+x/(a_1-x+{a_1x}/(a_2-x+{a_2x}/(a_3-x+{a_3x}/(a_4-x+...)))))=1/(1+x/{t_0})$

consideriamo che

${x^n}/{a_1a_2...a_{n-1}(a_n+{a_n x}/t_n)}={x^n(a_{n+1}-x+{a_{n+1} x}/{t_{n+1}})}/{a_1a_2...a_{n-1}(a_n(a_{n+1}-x+{a_{n+1} x}/{t_{n+1}})+a_n x)}={x^n}/{a_1a_2...a_n}-{x^{n+1}}/{a_1a_2...a_{n}(a_{n+1}+{a_{n+1} x}/t_{n+1})}$

ora abbiamo

$1/(1+x/{t_0})={a_1-x+{a_1}/{t_1}}/{a_1+{a_1}/{t_1} }=1-x/{a_1+{a_1}/{t_1}}=1-x/{a_1}+{x^2}/{a_1a_2}-{x^3}/{a_1a_2a_3}+...$

dove per ottenere l'ultimo membro abbiamo iterato l'uguaglianza sopra un numero infinito di volte.

Ciao Ciao

EDIT una piccola correzione, ripetevo due volte la stessa frase...

[eafkuor1]

complimenti, ci metterò un anno solo a capire la dimostrazione