Formula di Eulero-Wallis
Qualcuno di voi conosce la dimostrazione della formula di Eulero-Wallis
$sin(x)=x*\prod_{n=1}^{+oo} (1-x^2/(n^2\pi^2))$
EDIT: ho corretto la domanda.
>Qualcuno di voi conosce la dimostrazione della formula di Eulero-Wallis
>$\pi/2=2/1*2/3*4/3*4/5*6/5*6/7*8/7*8/9*\cdots$?
$sin(x)=x*\prod_{n=1}^{+oo} (1-x^2/(n^2\pi^2))$
EDIT: ho corretto la domanda.
>Qualcuno di voi conosce la dimostrazione della formula di Eulero-Wallis
>$\pi/2=2/1*2/3*4/3*4/5*6/5*6/7*8/7*8/9*\cdots$?
Risposte
"ficus2002":
Qualcuno di voi conosce la dimostrazione della formula di Eulero-Wallis
$\pi/2=2/1*2/3*4/3*4/5*6/5*6/7*8/7*8/9*\cdots$?
Ecco a lei: http://it.wikipedia.org/wiki/Prodotto_di_Wallis
Ciao!
Scusam ho sbagliato! La formula di Eulero-Wallis è questa
$sin(x)=x*\prod_{n=1}^{+oo} (1-x^2/(n^2\pi^2))$
è di questa formula che cerco la dimostrazione.
$sin(x)=x*\prod_{n=1}^{+oo} (1-x^2/(n^2\pi^2))$
è di questa formula che cerco la dimostrazione.
"ficus2002":
Scusam ho sbagliato! La formula di Eulero-Wallis è questa
$sin(x)=x*\prod_{n=1}^{+oo} (1-x^2/(n^2\pi^2))$
è di questa formula che cerco la dimostrazione.
Sia $P_(2n+1)(x)$ un polinomio che ha $2n+1$ zeri, essi sono $0,pi,2pi,3pi...npi$ e $-pi,-2pi,-3pi...-npi$.
Abbiamo $lim_(n rightarrow infty) P_(2n+1)(x) = Ksin(x)$ per una costante $K$ indipendente da $x$.
Del resto possiamo fattorizzare $P$ ottenendo $P_(2n+1)(x)=K' x prod_(k=1)^n (1-(x^2)/(pi^2k^2))$ per un altra costante $K'$ indipendente da $x$.
Quindi $lim_(n rightarrow infty) P_(2n+1)(x) =K' x prod_(k=1)^infty (1-(x^2)/(pi^2k^2))=Ksin(x)$
$prod_(k=1)^infty (1-(x^2)/(pi^2k^2))=(K/K')(sin(x)/x)$
ora facendo tendere $x$ a $0$ e usando il limite notevole $lim_(x rightarrow 0)(sin(x))/x =1$ troviamo $K/(K')=1$.
Ciao Ciao
"carlo23":
Abbiamo $lim_(n rightarrow infty) P_(2n+1)(x) = Ksin(x)$ per una costante $K$ indipendente da $x$.
mmm... non andrebbe dimostrato???
.... non mi pare sia ovvio che due funzioni con gli stessi zeri debbano essere una multiplo dell'altra...
mmm.... dite cosa pensate, eh!!
cmq se volete posso propinarvi la dimostrazione che conosco io... (un pò lunghetta...)
cmq se volete posso propinarvi la dimostrazione che conosco io... (un pò lunghetta...)
@Thomas: se la posti la leggo volentieri; so che esistono diverse dimostrazioni di questa formula, quindi più ne postate meglio è 
Beh... non ho molto tempo... posto la traccia:
- Si consideri il polinomio $P_n(z)=1/2[(1+z)^(2n)-(1-z)^(2n)]$. Grazie alle radici dell'unità con un pò di calcoli si ottengono i suoi zeri in forma complessa che sono $-i*tg( (k\pi)/(2n) )$ con $-n
- si può allora scrivere, visto che due polinomi con le stesse radici differiscono per una costante e regolando questa costante
$P_n(z)=2nz\prod_{k=1}^{n-1}(1+z^2/(tg^2( (k\pi)/(2n) )))$ [1]
(notare come sono stati accoppiati i termini);
- Si metta nel polinomio $z=z/(2n)$ (ovvero si ridefinisca $z$) e nella [1] si faccia tendere n ad infinito. A sinistra si otterrà $1/2*(e^z-e^(-z))$, mentre a destra
$z\prod_{k=1}^{+oo} (1+z^2/(\pi^2k^2) )$. (c'è da dimostrare che si può passare al limite dentro la produttoria con una specie di convergenza dominata).
- Ponendo ora $z=\pi it$, e riconoscendo a sinistra quasi la forma esponenziale di $sen(\pi t)$, si ottiene il risultato voluto;
scusa ma era troppo lunga da scrivere bene e non ho molto tempo... se non è chiaro la chiarisco in seguito, ficus2002, ok??
- Si consideri il polinomio $P_n(z)=1/2[(1+z)^(2n)-(1-z)^(2n)]$. Grazie alle radici dell'unità con un pò di calcoli si ottengono i suoi zeri in forma complessa che sono $-i*tg( (k\pi)/(2n) )$ con $-n
- si può allora scrivere, visto che due polinomi con le stesse radici differiscono per una costante e regolando questa costante
$P_n(z)=2nz\prod_{k=1}^{n-1}(1+z^2/(tg^2( (k\pi)/(2n) )))$ [1]
(notare come sono stati accoppiati i termini);
- Si metta nel polinomio $z=z/(2n)$ (ovvero si ridefinisca $z$) e nella [1] si faccia tendere n ad infinito. A sinistra si otterrà $1/2*(e^z-e^(-z))$, mentre a destra
$z\prod_{k=1}^{+oo} (1+z^2/(\pi^2k^2) )$. (c'è da dimostrare che si può passare al limite dentro la produttoria con una specie di convergenza dominata).
- Ponendo ora $z=\pi it$, e riconoscendo a sinistra quasi la forma esponenziale di $sen(\pi t)$, si ottiene il risultato voluto;
scusa ma era troppo lunga da scrivere bene e non ho molto tempo... se non è chiaro la chiarisco in seguito, ficus2002, ok??
grazie mille! è chiarissima!
"Thomas":
$z\prod_{k=1}^{+oo} (1+z^2/(\pi^2k^2) )$. (c'è da dimostrare che si può passare al limite dentro la produttoria con una specie di convergenza dominata).
Magari potresti mettere, se hai tempo, qualche suggerimento per questo passaggio? grazie
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