Foglio appeso

[axpgn]

Ho un foglio di carta rettangolare.

Ne taglio via un angolo partendo da un vertice per finire in un certo punto $H$ sul lato lungo opposto, in modo tale che, se appendo ad un filo, nel punto $H$, il foglio tagliato, il lato lungo rimane perfettamente orizzontale.

Se prendo un altro foglio rettangolare con dimensioni qualsiasi, come trovo il nuovo punto $H$? Dove si trova?

Cordialmente, Alex

[ghira1]

Se ho fatto bene i calcoli, il punto H sta a $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ dal bordo sinistro. (Come frazione / proporzione del bordo superiore.)

Più dettagli dopo.

Comunque, il momento del rettangolo al sinistra è uguale al momento del triangolo a destra.
Centro di massa del rettagnolo al centro. Cento di massa del triangolo ad 1/3 dal bordo. Poi algebra
che potrei aver sbagliato.

Magari torno dopo ma qualcuno mi batterà quasi sicuramente.

[axpgn]

Yes, il punto è quello

Esiste un modo geometrico per determinarlo


Cordialmente, Alex

[gio73]

Ok
Io l ho sbagliato
Vi espongo il ragionamento

per fare in modo che il lato orizzontale resti orizzontale è necessario che il centro di massa sia lungo la perpendicolare che congiunge H con la base del rettangolo. Se noi tagliamo via un pezzo di rettangolo quello che ci resta è un trapezio rettangolo. Per trovare il baricentro devo tracciare le médiane. Quella che congiunge il lato verticale e il lato obliquo del trapezio è parallela alle due basi del trapezio. L altra congiunge il punto medio della base minore del trapezio (b) che è quel che mi resta del lato maggiore del rettangolo e il punto medio della base maggiore (B) che è il lato maggiore del rettangolo

Sto scrivendo dal cellulare, quando raggiungo un PC faccio il disegno su geogebra

[axpgn]

@gio73

Il problema sta nel fatto che tu trovi il baricentro di UN trapezio rettangolo mentre la richiesta consiste nel trovare il punto che ti permette di costruire IL trapezio rettangolo con quella caratteristica.

Cordialmente, Alex

[gio73]

Sisi l ho capito

volevo impostare le condizioni per avere il baricentro sulla perpendicolare che congiunge H alla base

Come detto appena raggiungo un PC faccio il disegno con geogebra

[gio73]

[axpgn]

Non è quello il punto cercato (e come l'hai trovato?)
Non si trova ad un terzo dal vertice (o a due terzi dal vertice mancante)
Prova a costruirlo così e vedi se ti rimane orizzontale ...

Cordialmente, Alex

[gio73]

"gio73":Ok
Io l ho sbagliato

Non ho messo in dubbio la soluzione di ghira, ho detto di aver sbagliato, ma nn capisco la falla del mio ragionamento...

le due aree in cui si divide il trapezio con l'altezza tracciata da H, una quella rettangolo di base b e altezza h e l'altra del triangolo rettangolo di base 2b e altezza h sono equivalenti, quindi divrebbero avere lo stesso "peso"

[axpgn]

È vero che le due parti hanno lo stesso peso ma una distribuzione differente dello stesso; se calcoli il momento rispetto ad $H$ preso come polo, vedrai che non è lo stesso per entrambe, pende dalla parte del triangolo.
Invece con le misure trovate da ghira, i momenti coincidono.

Cordialmente, Alex

[ghira1]

"axpgn":Come trovo il nuovo punto $H$? Dove si trova?

Tre modi per farlo.

Il metodo che userei se volessi fare davvero questa operazione:

Calcolo i momenti del rettangolo a sinistra e il triangolo a destra intorno a H.

Un altro metodo simile che secondo me è leggermente più complicato:

Calcolo la media ponderata delle coordinate $x$ dei centri di massa del rettangolo a sinistra e il triangolo a destra. I pesi sono le aree delle due forme.

Un metodo puramente geometrico ma secondo me più incasinato degli altri due:

Divido il trapezio in due triangoli. Trovo i loro centri di massa. Il centro di massa del trapezio è da qualche parte sul segmento che unisce questi due punti. Dove?
Divido il trapezio in due triangoli nell'altro modo. Unisco i centri di massa di questi due triangoli. L'intersezione dei due segmenti deve essere il centro di massa del trapezio. Voglio che sia sotto H. A questo punto mi suicido.

[axpgn]

Senza calcoli e geometricamente ...

Disegno il triangolo equilatero $ABE$.
Fisso il punto $G$ tale che sia $\bar(CG)=\bar(CB)$.
Traccio la semiretta $BG$.
Chiamo $K$ l'intersezione tra quest'ultima e $AE$.
Traccio la parallela a $BC$, passante per $K$.

L'intersezione tra quest'ultima e $AB$ è il punto $H$ cercato.

Cordialmente, Alex

[ghira1]

Però!

[axpgn]

Una dimostrazione che la costruzione inserita nel mio ultimo messaggio produce effettivamente il punto cercato è la seguente:

Faccio riferimento al disegno nel mio ultimo post.

Il triangolo $ABK$ ha gli angoli pari a $60°$ in $A$, a $45°$ in $B$ e a $75°$ in $K$, quindi

$sin(75°)=sin(45°+30°)=sin(45°)cos(30°)+cos(45°)sin(30°)$

$sin(75°)=sqrt(2)/2*sqrt(3)/2+sqrt(2)/2*1/2=(sqrt(2)sqrt(3)+sqrt(2))/4=(sqrt(2)(sqrt(3)+1))/4$

Usando il teorema dei seni, abbiamo $sin(75°)/(AB)=sin(45°)/(AK)\ ->\ AK=sin(45°)/sin(75°)*AB$ e sostituendo $AK=[sqrt(2)/2]/[(sqrt(2)(sqrt(3)+1))/4]*AB=sqrt(2)/2*4/(sqrt(2)(sqrt(3)+1))*AB=2/(sqrt(3)+1)*AB$

Ma $AH$ è la metà di $AK$ quindi $AH=1/(sqrt(3)+1)*AB$.

Razionalizziamo ed otteniamo $(sqrt(3)-1)/2*AB$, che coincide con quanto calcolato da ghira.

Cordialmente, Alex

[ghira1]

"axpgn":Senza calcoli e geometricamente ...

Il calcolo seguente, ok.

Ma perché questa costruzione dovrebbe trovare un punto sopra il centro di massa del trapezio?

[axpgn]

Non so se ho compreso bene la tua domanda ma ...

Il punto di equilibrio, come hai correttamente scritto, si trova a una distanza $(sqrt(3)-1)/2L$ dal vertice rimasto (dove $L$ è la lunghezza del lato orizzontale); quella costruzione determina sempre un punto che si trova ad una distanza $(sqrt(3)-1)/2L$ dal vertice rimasto (come ho dimostrato) ovvero i due punti coincidono, sempre.

Cordialmente, Alex

[ghira1]

"axpgn":Non so se ho compreso bene la tua domanda ma ...

Il calcolo va bene. Ma con solo la tua soluzione perché dovrei credere che H sia il punto giusto? Si trova sopra il centro di massa del trapezio? Perché?

[axpgn]

Allora ho compreso bene ma la risposta l'ho già data:

Quella costruzione determina SEMPRE un punto che si trova SEMPRE a quella distanza dal vertice.
Se tagli via un angolo come descritto nel problema (e passante per quel punto) e calcoli dove si trova il centro di massa del trapezio risultante, troverai che si trova sulla verticale passante per quel punto.
Oppure vista al contrario: taglia un angolo del rettangolo come descritto, calcola dove si trova il centro di massa del trapezio risultante; quand'è che il centro di massa del trapezio si trova sulla verticale passante per il vertice alto risultante dal taglio? Quando quel vertice si trova a quella ben precisa distanza che è la stessa che risulta da quella costruzione.

Cordialmente, Alex

[ghira1]

"axpgn":Allora ho compreso bene ma la risposta l'ho già data:

Non capisco. Davvero non capisco.

Se mostro la tua soluzione a qualcuno devo usare anche la mia per convincere il qualcuno che il tuo H è giusto?

Immagino di no. Si capisce dalla tua costruzione che il punto ottenuto è sopra il centro di massa del trapezio? Magari sì. Ma come?

[axpgn]

"ghira":Se mostro la tua soluzione a qualcuno devo usare anche la mia per convincere il qualcuno che il tuo H è giusto?

Sì, perché la costruzione NON è una dimostrazione (che quello è il punto di equilibrio) ma un modo per per trovare facilmente il punto (senza calcoli e approssimazioni).
Basta dimostrarla una volta e poi la usi sempre
Battute a parte, funziona così per qualsiasi costruzione: per trovare il punto medio di un segmento usi una tecnica millenaria ma quel metodo non dimostra che il punto medio sia proprio quello, la dimostrazione è a parte.
Tu avevi già dimostrato dove avrebbe dovuto trovarsi il punto di equilibrio, quindi solo dopo ho postato la "tecnica" (e poi la dimostrazione che lega le due cose).
Se nessuno l'avesse fatto, allora avrei postato tutto.

Ok?

Cordialmente, Alex

[ghira1]

"axpgn":
Sì, perché la costruzione NON è una dimostrazione

Immaginavo che fosse intesa come una dimostrazione. E non la capivo.