Fibo, classico

[vl4dster]

classico ma sempre bello

$F_i = (\phi^i - \Phi^i)/\sqrt(5)$
dove $F_i$ e' l'i-esimo fibonacci,
$\phi = (1+\sqrt(5))/2$ e
$\Phi$ il coniugato di $\phi$

[Sk_Anonymous]

I termini della successione di Fibonacci soddisfano, per definizione, l'equazione alle differenze finite $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$, per $n \in NN$, con condizioni iniziali $F_0 = 0$ ed $F_1 = 1$. A questa resta associata la risolvente algebrica $x^2 - x - 1=0$, le cui radici sono, risp., $\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ e $\Phi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$. Allora, dalla teoria generale delle equazioni alle differenze finite a coefficienti costanti: $F_n = \alpha \phi^n + \beta \Phi^n$, per ogni $n \in NN$, dove $\alpha, \beta \in CC$ sono opportuni coefficienti determinati imponendo le condizioni iniziali. Si trova $0 = \alpha + \beta$ ed $1 = \alpha \phi + \beta \Phi$, da cui $\alpha = -\beta = \frac{1}{\sqrt{5}$.

[vl4dster]

si ma... gasp, hai tirato fuori il cannone

[Sk_Anonymous]

E' solo questione di estetica, temo - a me i conti dell'approccio induttivo non piacciono.

[TomSawyer1]

DavidHilbert mi ha bruciato sul tempo, ma propongo di dimostrare una forma ancora più compatta, ammettendo espressioni complesse: $F_n=i^(n-1)(sin(nz))/(sinz)$, con $z=pi/2+ilog((1+sqrt(5))/2)$.

[elgiovo]

L'espressione ricorsiva è $F_(n+1)=F_(n)+F_(n-1)$, $n=0,1,2,ldots$, $F_0=1$, $F_1=1$. Moltiplico per $x^n$ ambo i membri e sommo per tutti i valori di $n$ in cui l'espressione è valida:
$sum_(k=0)^(oo)F_(n+1)x^n=sum_(k=0)^(oo)F_(n)x^n+sum_(k=0)^(oo)F_(n-1)x^n$. Se $F(x)=F_0x^0+F_1x^1+F_2x^2+ldots$, si trova che $(F(x)-x)/x=F(x)+xF(x)$, da cui $F(x)=x/(1-x-x^2)$. Sviluppando in serie, $F(x)=1/sqrt(5){sum_(j>=0)phi^jx^j-sum_(j>=0)Phi^jx^j}$, onde per cui $F_n=1/sqrt5(phi^n-Phi^n)$.

[fu^2]

"DavidHilbert":I termini della successione di Fibonacci soddisfano, per definizione, l'equazione alle differenze finite $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$, per $n \in NN$, con condizioni iniziali $F_0 = 0$ ed $F_1 = 1$. A questa resta associata la risolvente algebrica $x^2 - x - 1=0$, le cui radici sono, risp., $\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ e $\Phi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$. Allora, dalla teoria generale delle equazioni alle differenze finite a coefficienti costanti: $F_n = \alpha \phi^n + \beta \Phi^n$, per ogni $n \in NN$, dove $\alpha, \beta \in CC$ sono opportuni coefficienti determinati imponendo le condizioni iniziali. Si trova $0 = \alpha + \beta$ ed $1 = \alpha \phi + \beta \Phi$, da cui $\alpha = -\beta = \frac{1}{\sqrt{5}$.

è off topic, ma l'ho letto qua e ne approfitto per chiedere...
la dimostrazione della formula $F_n = \alpha \phi^n + \beta \Phi^n$ non riesco a trovarla...
quella risolutiva per le equazioni alle differenze del primo tipo è immediata, ma questa non saprei come fare a dimostrarla, qualcuno potrebbe aiutarmi?...

[Sk_Anonymous]

"fu^2":
è off topic, ma l'ho letto qua e ne approfitto per chiedere...
la dimostrazione della formula $F_n = \alpha \phi^n + \beta \Phi^n$ non riesco a trovarla...
quella risolutiva per le equazioni alle differenze del primo tipo è immediata, ma questa non saprei come fare a dimostrarla, qualcuno potrebbe aiutarmi?...

Mutatis mutandis, tale e quale alla dimostrazione della formula usata per descrivere l'integrale generale di un'ODE lineare a coefficienti costanti di ordine $n$. Forse articolata, però elegante.