Fattori del fattoriale +1
Un problema che ho preso in un altro forum, dimostrare che esistono infiniti $n$ tali che $n!+1$ sia divisibile per almeno 2 numeri primi distinti.
Ciao e buone vacanze per l'Immacolata!
Ciao e buone vacanze per l'Immacolata!

Risposte
Proverò a dimostrare questa cosa.
Ciao
Ciao
"pigreco":
Proverò a dimostrare questa cosa
Qualche progresso?

Così ci hai dato la risposta 
Se per ogni primo $p>2$ vale $n! -=-1(modp)$ per $n=p-1$ allora $n!+1$ per infiniti $n$ è sempre divisibile per almeno un primo. Dato che $((p-1)!+1)/p=k$ è ovvio che $k$ è un numero primo o un prodotto di primi. Bisogna solo dimostrare che $k$ non sia uguale a $p$. Ma dato che $n!$ è di gran lunga più grande di $n^2$ ovviamente $n!+1$ non potrà essere uguale a $(n+1)^2$.
Cioè non sarebbe vero se $(p-1)!<= p^2$ che mi sembra assurdo per $p>5$.
Se qualcuno vuole dare una dimostrazione più accurata di questa ultima parte ben venga, ora devo scappare

Se per ogni primo $p>2$ vale $n! -=-1(modp)$ per $n=p-1$ allora $n!+1$ per infiniti $n$ è sempre divisibile per almeno un primo. Dato che $((p-1)!+1)/p=k$ è ovvio che $k$ è un numero primo o un prodotto di primi. Bisogna solo dimostrare che $k$ non sia uguale a $p$. Ma dato che $n!$ è di gran lunga più grande di $n^2$ ovviamente $n!+1$ non potrà essere uguale a $(n+1)^2$.
Cioè non sarebbe vero se $(p-1)!<= p^2$ che mi sembra assurdo per $p>5$.
Se qualcuno vuole dare una dimostrazione più accurata di questa ultima parte ben venga, ora devo scappare

Per il teorema di Wilson $(p-1)!-=-1 mod p$. Poniamo $n=p-1$ quandi $n!+1$ è divisbile per $n+1$, che è primo. Ora basta osservare che l'equazione $(p-1)!+1=p^m, m>1 in NN$ non ha soluzioni per nessun $m$, dunque $n+1$ è necessariamente divisibile per un secondo primo.
"Aethelmyth":
Bisogna solo dimostrare che $k$ non sia uguale a $p$.
Falso, e se $k=p^2$?
"Crook":
Ora basta osservare che l'equazione $(p-1)!+1=p^m, m>1 in NN$ non ha soluzioni per nessun $m$
In realtà non basta osservarlo, bisogna dimostrarlo

Questo problema mi ricorda qualcosa...
Carlo?!

"DavidHilbert":
Questo problema mi ricorda qualcosa...Carlo?!
Eh eh, lo hai proposto te su Oliforum e mi sembrava giusto riproporlo.
Si vuole dimostrare che $p^m-1!=(p-1)!$. La scriviamo così $(p^m-1)/(p-1)=(p-2)!$, cioè $1+p+p^2+...+p^(m-1)=(p-2)!$. L'equazione può essere vera solo se i gradi dei due polinomi sono uguali e se i coefficienti sono uguali fra di loro, ma questo è chiaramente falso, perché i coefficienti dei due polinomi saranno sempre diversi tra di loro.
"Crook":
[...] scriviamo così $(p^m-1)/(p-1)=(p-2)!$, cioè $1+p+p^2+...+p^(m-1)=(p-2)!$. L'equazione può essere vera solo se i gradi dei due polinomi sono uguali e se i coefficienti sono uguali fra di loro, ma questo è chiaramente falso, perché i coefficienti dei due polinomi saranno sempre diversi tra di loro.
Mostraci allora perché "i coefficienti dei due polinomi debbono essere sempre diversi tra di loro". Altrimenti suona un po' come dire che "Dio non esiste, perché non esiste". Ti pare?
Beh i coefficienti di $p^(m-2)$ (premettendo che i siano uguali), ad esempio, sono diversi, perché da una parte c'è $p^(m-2)$ e dall'altra $-2p^(m-2)$. Non so, forse sto dicendo grandi cavolate..
"Crook":
Beh i coefficienti di $p^(m-2)$ (premettendo che i siano uguali), ad esempio, sono diversi, perché da una parte c'è $p^(m-2)$ e dall'altra $-2p^(m-2)$. Non so, forse sto dicendo grandi cavolate..
Qualcosa non torna, Crook, se è vero - come è vero! - che $(5-1)! + 1 = 5^2$.
Ho perso di vista il problema, per un attimo. Io, ormai, volevo dimostrare che è vero per tutti gli $n in NN$ che $n!+1$ ha almeno due fattori primi distinti.
"Crook":
Ho perso di vista il problema, per un attimo. Io, ormai, volevo dimostrare che è vero per tutti gli $n in NN$ che $n!+1$ ha almeno due fattori primi distinti.
Giusto! E per dimostrarlo - riassumo - ti sei riportato a provare che esistono infiniti primi naturali $p > 2$ per cui l'equazione [E.1] $(p-1)! + 1 = p^k$ non ammette soluzione per $k \in NN$. Tenevo a sottolinearti - per via del mio intervento precedente - che l'argomento con cui avresti inteso raggiungere lo scopo, in qualche modo, non è efficace, visto che i) per $p = 5$, la [E.1] ammette soluzione; ii) il tuo argomento non riesce a distinguere per alcun verso fra il caso $p = 5$ e tutti gli altri. Ok?
"Crook":
Si vuole dimostrare che $p^m-1!=(p-1)!$. La scriviamo così $(p^m-1)/(p-1)=(p-2)!$, cioè $1+p+p^2+...+p^(m-1)=(p-2)!$. L'equazione può essere vera solo se i gradi dei due polinomi sono uguali e se i coefficienti sono uguali fra di loro, ma questo è chiaramente falso, perché i coefficienti dei due polinomi saranno sempre diversi tra di loro.
La spiegazione per cui il tuo ragionamento non funziona è semplice: applichi il principio di identità dei polinomi ad un'uguaglianza che coinvolge numeri, non polinomi. Ad es., benché le espressioni $x+1$ ed $x^2-x+1$ non siano eguali, se riguardate come polinomi nella variabile $x$, restituiscono tuttavia lo stesso valore quando $x = 2$.