Far la strega è dura...

[xXStephXx]

Un prigioniero si trova al centro di un cerchio stregato e vuole uscirne. Ad ogni passo si può muovere di un metro in qualunque direzione. La fregatura sta nel fatto che ad ogni passo che fa, la strega può decidere di invertire il verso e quindi farlo muovere di un metro nel verso opposto a quello voluto.

Quanto deve essere grande il raggio della circonferenza per far sì che la strega riesca a non far mai uscire il prigioniero?

[axpgn]

Ciao Steph!

Com'è che funziona? Nel senso che lui fa il passo e poi la strega lo può invertire oppure la strega può invertire il senso PRIMA che venga effettuato?

Penso sia il secondo ...
In tal caso deve essere $r>=1$ (l'uguale nel caso la circonferenza venga considerata parte del cerchio).
Altrimenti, nel primo caso, non uscirebbe mai.

Cordialmente, Alex

[al_berto]

Interessante sarebbe sapere quanto deve essere grande il raggio della circonferenza per far si che il prigioniero possa uscirne.

direi meno di un metro

e quindi nel tuo caso con il raggio più grande di un metro non ne uscirebbe mai (o forse basta uguale ad un metro)

ciao.
aldo

[superpippone]

Ciao.
Non concordo con la soluzione di axpgn e al berto.
Se il raggio è di un metro, è ovvio che dopo il primo passo si trova esattamente sulla circonferenza.
A quel punto il secondo passo non lo fa nella stessa direzione del primo. Ma fa una "deviazione" ad angolo retto rispetto al primo. Perciò uscirebbe di un metro. Se la strega lo manda nella direzione opposta, esce di un metro dall'altra parte.
Per cui il raggio del cerchio dev'essere al minimo $sqrt2$ metri.
E forse non basterebbe ancora......

[axpgn]

@superpippone
Metti lo spoiler ...

[axpgn]

Mi sembrava troppo facile

Si deve estendere il ragionamento di superpippone e farlo diventare una serie infinita di "ipotenuse" e verificare se è convergente o meno ... ;.)

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Allora ...

Così a occhio mi sembra che il raggio dovrebbe essere qualcosa del genere ...

$r_n^2=r_(n-1)^2+1$ con $a_0=1$ e credo proprio che non sia convergente ...

Cordialmente, Alex

P.S.:

d'altronde è dura far la strega ...

[xXStephXx]

Ok

[kobeilprofeta]

@axpgn

Alex, potresti togliermi qualche dubbio: se io faccio il secondo tratto perpendicolare al primo, arrivo a $sqrt(2)$ dal punto di partenza. Ok. Ora che faccio? Di quanto devo variare l'inclinazione della direzione? Ad occhio direi $45^o$, ma non so se è giusto... Se cosí fosse, arriverei a dire (a caso) che all'i-esimo passo cambio direzione di $frac{pi}{2i}$... Ma non saprei dire perchè. Mi riesci a spiegare il ragionamento?

[xXStephXx]

Si deve muovere sempre perpendicolarmente alla tangente tracciata dal punto in cui si trova rispetto alla circonferenza che ha come raggio la sua distanza dal centro.

[kobeilprofeta]

Peprendicolarmente o parallelamente?

[axpgn]

Steph ha fatto un giro di troppo
Intendeva dire perpendicolare al raggio e quindi tangente ... raggio e distanza del prigioniero dal centro sono la stessa cosa ...
E' tutto chiaro quello che ho scritto?

Cordialmente. Alex

P.S.:
Esempio di "via di fuga"

[xXStephXx]

Si ok, intendevo lungo la tangente xD

[kobeilprofeta]

Ok chiaro. In pratica la tg è l'unica retta (non esterna) che non ha punti all'interno del cerchio e quinfi, indipendentemente dal rapporto tra il passo e l'area del cerchio, non finirà mai dentro...

@axpgn
[ot]Grazie alex. Chiaro anche il PM. Ti rispondo qua. Ciao.[/ot]

[Fail1]

Io sicuramente non ho capito il problema. Allora, se si trova in partenza al centro del cerchio, qualunque passo faccia in qualunque direzione si muoverà praticamente sul raggio del cerchio. A questo punto la strega lo rimanda indietro qualsiasi direzione il tizio abbia preso, riportandolo alla situazione di partenza. Procedendo così il prigionierio praticamente sarà sempre al centro. Ne uscirebbe solo se il raggio fosse r<1. Pertanto se r>1 il prigioniero non esce mai.

Boh, cos'è che non capisco del testo?

EDIT: leggendo le risposte: in pratica la strega effettua il "cambio" di verso PRIMA che il prigioniero si muova ma DOPO che lui abbia deciso come muoversi?

[axpgn]

Yes